Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce Vlastnosti funkcí

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definice Jsme v matematice, a tak i pojem funkce budeme posuzovat z pohledu matematického, byť pojem funkce či „být funkční“ nebo naopak „být nefunkční“ nás provází každodenně běžným životem. Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Že tomu vůbec nerozumíš? Neboj, ještě trochu teorie a pak příkladů, na kterých vše pochopíš a zjistíš, že byť to složitě zní, nic složitého to není. Co to znamená „právě jedno číslo“?

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definice Asi byste dokázali říct, co znamená „nejméně jedno“. Mám pravdu? Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Co to znamená „právě jedno číslo“? Jsme v matematice, a tak i pojem funkce budeme posuzovat z pohledu matematického, byť pojem funkce či „být funkční“ nebo naopak „být nefunkční“ nás provází každodenně běžným životem. Ano. Jde o jedno, dvě a více. Asi byste dokázali také říct, co znamená „nejvýše jedno“. Mám pravdu? Ano. Jde o jedno nebo žádné.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definice Ale co znamená právě a jen jedno? Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Co to znamená „právě jedno číslo“? Jsme v matematice, a tak i pojem funkce budeme posuzovat z pohledu matematického, byť pojem funkce či „být funkční“ nebo naopak „být nefunkční“ nás provází každodenně běžným životem. Přesně to, co slyšíte. Jen jedno a právě jedno. To znamená, že čísel nemůže být více než jedno, zároveň se ovšem nemůže stát, že by nebylo žádné. Znamená to tedy, že musí být vždy a právě jen jedno jediné.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: nebo ve tvaru: y = f(x), např.: y = x 2 f : y = x 2 kde proměnná x je argument funkce.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. f : y = x 2 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – definiční obor U každé funkce také musíme určit definiční obor. Je to množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat. Značí se: D(f) Definiční obor může být dle typu funkce zadán jako množina všech reálných čísel: D(f) = R nebo jinak zapsáno x  R, nebo jako část této množiny, tedy její podmnožina: např. D(f) = R + nebo x > 0 nebo x  (0;  )

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f) Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x).

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí): Možné tvary: y = f(x) (např. y = 2x + 1) f : y = 2x + 1 x  2x + 1 Nebo ještě jednou pro jinou funkci: y = f(x) (např. y = x 2 ) f : y = x 2 x  x 2

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – zadání, zápis funkce 2) Tabulkou: Pro příklad naší první funkce: x-2012 y-3135 y = f(x) (např. y = 2x + 1) f : y = 2x + 1 x  2x + 1

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – zadání, zápis funkce 2) Tabulkou: A i tabulka ještě jednou pro naši druhou funkci: x-2012 y41014 y = f(x) (např. y = x 2 ) f : y = x 2 x  x 2

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – zadání, zápis funkce 3) Grafem: Opět nejdříve pro příklad naší první funkce: x-2012 y-3135 y = f(x) (např. y = 2x + 1) f : y = 2x + 1 x  2x + 1

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – zadání, zápis funkce 3) Grafem: Graf ještě jednou pro naši druhou funkci: x-2012 y41014 y = f(x) (např. y = x 2 ) f : y = x 2 x  x 2

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 1) Je dán graf. Určete, zda se jedná o graf funkce.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 1) Je dán graf. Určete, zda se jedná o graf funkce. Jedná se o graf funkce, jelikož je splněna podmínka, že každé hodnotě čísla x je přiřazena právě jedna hodnota y.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 2) Je dán graf. Určete, zda se jedná o graf funkce.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 2) Je dán graf. Určete, zda se jedná o graf funkce. Nejedná se o graf funkce, jelikož není splněna podmínka, že každé hodnotě čísla x je přiřazena právě jedna hodnota y.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 3) Je dána tabulka. Určete, zda tabulka určuje funkci, či nikoli. x y

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 3) Je dána tabulka. Určete, zda tabulka určuje funkci, či nikoli. x y Jedná se o tabulku funkce, jelikož je ke každému číslu x přiřazeno právě jedno číslo y (jedna funkční hodnota).

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 4) Je dána tabulka. Určete, zda tabulka určuje funkci, či nikoli. x y

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 4) Je dána tabulka. Určete, zda tabulka určuje funkci, či nikoli. x y Nejedná se o tabulku funkce, jelikož se v ní vyskytuje číslo x, ke kterému jsou přiřazeny dvě různé hodnoty y.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 5) Je dán předpis. Rozhodněte, zda se jedná o předpis funkce, či nikoli. f(x) : y =  x; x  0;  )

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 5) Je dán předpis. Rozhodněte, zda se jedná o předpis funkce, či nikoli. f(x) : y =  x; x  0;  ) Jedná se o předpis funkce, jelikož každému číslu x  0;  ) je přiřazena právě jedna hodnota y (jedna funkční hodnota).

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 6) Je dán předpis. Rozhodněte, zda se jedná o předpis funkce, či nikoli. f(x) : y = ±  x; x  0;  )

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce – příklady k procvičení 6) Je dán předpis. Rozhodněte, zda se jedná o předpis funkce, či nikoli. f(x) : y = ±  x; x  0;  ) Nejedná se o předpis funkce, jelikož každému číslu x  0;  ), s výjimkou nuly, jsou přiřazeny dvě hodnoty y!