Formalní axiomatické teorie Teorie relací

Teorie Formální teorie je dána Jazykem formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina dobře utvořených formulí – DUF) Množinou axiomů je podmnožinou DUF a skládá se z: množiny logických axiomů (logicky pravdivé) množiny speciálních axiomů (pravdivé v zamýšlené interpretaci) Množinou dedukčních pravidel množina dedukčních pravidel daného kalkulu Formální teorie je množina všech formulí, které lze dokázat z axiomů teorie. Teorie relací

Teorie Důkaz formule A v teorii T (T| A) je posloupnost kroků (DUF) takových, že: poslední krok je formule A každý krok důkazu je buď logický axiom nebo speciální axiom nebo formule získána aplikací dedukčního pravidla na některou z předchozích formulí posloupnosti Hilbertův kalkul a přirozená dedukce jsou speciální typy teorií (bez speciálních axiomů, pouze logické axiomy a korektní ded. pravidla) => dokazovat lze pouze logicky pravdivé formule. Teorie relací

Teorie Nejdůležitější teorie Teorie aritmetiky Teorie relací Robinsonova aritmetika (Q), Peanova aritmetika (PA) viz: minulá přednáška Teorie relací teorie uspořádání teorie ekvivalence Atd. Algebraické teorie teorie grup, okruhů a těles teorie svazů Teorie relací

Teorie ostrého uspořádání Teorie ostrého uspořádání verze 1: speciální znaky: =, < binární predikáty Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu Speciální axiomy: O1. x (x = x) reflexivita O2. x y [(x=y)  (y=x)] symetrie O3. x y z [(x=y  y=z)  (x=z)] transitivita O4. x y z [(x=y  x<z)  (y<z)] O5. x y z [(x=y  z<x)  (z<y)] O6. x y [(x<y)  (y<x)] asymetrie O7. x y z [(x<y  y<z)  (x<z)] transitivita O8. x y [x=y  x<y  y<x] O9. x y [x<y] O10.x y [y<x] O11.x y [x<y  z [x<z  z<y]] Teorie relací

Teorie ostrého uspořádání Teorie ostrého uspořádání verze 2 speciální znaky =, < binární predikáty Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu Speciální axiomy: V1. x y [x<y  (y<x)] asymetrie V2. x y z [(x<y  y<z)  x<z] transitivita V3. x y [x=y  x<y  y<x] V4. x y [x<y] V5. x y [y<x] V6. x y [x<y  z [x<z  z<y]] Teorie rovnosti: O1-O3 Teorie ostrého uspořádání (O1-O7) nebo (V1-V2) Teorie lineárního ostrého uspořádání: O1-O8 nebo V1-V3 Teorie hustého uspořádání: O1-O11 nebo V1-V6 Teorie relací

Příklady, modely Teorie rovnosti (ekvivalence) O1. x (x = x) reflexivita O2. x y [(x=y)  (y=x)] symetrie O3. x y z [(x=y  y=z)  (x=z)] transitivita Každá teorie T definuje množinu svých modelů, tj. interpretací, ve kterých jsou pravdivé axiomy teorie („teorie v kostce“). Příklad modelů: Universum = množina přirozených čísel Symbol ‘=‘ je interpretován jako identita čísel. Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „modulo 5“ (mít stejný zbytek po dělení 5) Universum = množina individuí Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejně vysoký“ Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejné hmotnosti“ Universum = množina DUF jazyka PL1 Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace ekvivalence formulí (tj. mít přesně stejné modely) atd. Teorie relací

Příklady, modely Teorie ostrého uspořádání Příklady modelů: V1. x y [x<y  (y<x)] asymetrie V2. x y z [(x<y  y<z)  x<z] transitivita Příklady modelů: Universum = množina přirozených čísel Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace ostře menší (<) Universum = potenční množina 2M (kde M je libovolná množina, např. individuí) Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace  (být vlastní podmnožinou) Universum = množina individuí Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace „být potomkem“

Příklady, modely Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ostrého uspořádání, platí, že R je: Ireflexivní (žádný prvek není v relaci sám se sebou) Asymetrická (je-li R(a, b) pak není R(b, a)) Transitivní Důkaz, že ostré uspořádání je ireflexivní (rezoluční metodou): A1: x y [x<y  (y<x)] (asymetrie) --------------------------------------- x (x<x) (ireflexivita)  x (x<x) A1  x y [(x<y)  (y<x)] 1. (x<y)  (y<x) 3. (a<a) 4. (a<a) 1., 3. x/a, y/a 5. # 3., 4. Negovaný závěr je ve sporu s předpokladem, tedy původní závěr vyplývá, tedy v dané teorii je platná ireflexivita. Teorie relací

Příklady, modely Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ireflexivity a transitivity, platí, že R je asymetrická: Tedy ostré uspořádání opravdu stačí definovat pouze dvěma z výše uvedených tří axiomů (transitivita je nutná, + ireflexivita nebo asymetrie) Důkaz (rezoluční metodou): A1: x (x<x) ireflexivita A2: x y z [(x<y  y<z)  x<z] transtitivita --------------------------------------- x y [(x<y)  (y<x)] asymetrie důkaz rezoluční metodou: 1. (x<x) 2. (x<y)  (y<z)  (x<z) 3. (a<b) negovaný 4. (b<a) závěr + skolemizace 5. (b<z)  (a<z) 2.,3.: x/a, y/b 6. (a<a) 4., 5.: z/a 7. Spor 1., 6.: x/a Negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní závěr vyplývá.

Částečné (neostré) uspořádání Teorie částečného uspořádání speciální znaky:  binární predikát Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu Speciální axiomy: PO1. x (x  x) reflexivita PO2. x y [((x  y)  (y  x))  x=y] anti-symetrie PO3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita ‘=’ znak pro identitu Každá struktura U, R, která je modelem této teorie, se nazývá částečně uspořádaná množina. Příklady: N, , kde N je množina přirozených čísel a  je relace menší nebo rovno na číslech. 2M, , kde 2M je množina všech podmnožin dané množiny M a  je relace být (vlastní či nevlastní) podmnožinou Teorie relací

Quasi uspořádání Někdy se stává, že chceme zavést částečné uspořádání R na množině M, ale relace R není antisymetrická. Potom můžeme využít teorii quasi uspořádání: speciální znaky:  binární predikát Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu Speciální axiomy: PO1. x (x  x) reflexivita PO3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Struktura U, R, která je modelem této teorie, kde relace R není antisymetrická, se nazývá quasi-uspořádaná množina. Příklad: U = množina všech DUF, kde relace R je definována jako: F1, F2  DUF, R(F1, F2) =df F2 |= F1 Tato relace není asymetrická, neboť, je-li F2 |= F1 a F1 |= F2, pak jsou sice formule F1, F2 ekvivalentní, F1  F2 (mají stejné modely), ale není pravda, že jsou identické. Např. formule p  q, p  q jsou ekvivalentní, ale nejsou to identické formule. Teorie relací

Teorie ekvivalence F1  F2 právě když speciální znaky:  binární predikát Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu Speciální axiomy: Ek1. x (x  x) reflexivita Ek2. x y [((x  y)  (y  x))] symetrie Ek3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Příklad modelu: relace ekvivalence nad množinou DUF, kde F1  F2 právě když (F1, F2  DUF, F1 |= F2  F2 |= F1) Teorie relací

Rozklad na množině Jestliže máme quasi-uspořádanou množinu <M, >, a relace  není antisymetrická, pak můžeme částečně uspořádat dle  množinu ekvivalenčních tříd, neboť každá ekvivalence definuje rozklad na množině M: Definice: rozklad na množině A je množina X = { Xi ; i  I } taková že: Xi  A pro i  I (Xi jsou vzájemně disjunktní Xi  Xj = Ø pro i,j  I, i  j podmnožiny A) Xi = A (sjednocení Xi pokrývá celou A) Xi – třídy rozkladu Definice: Nechť  je relace ekvivalence na množině A. Nechť [x] = {y  A; y  x}. Pak A/ = {[x]; x  A} se nazývá faktorová množina množiny A podle ekvivalence . Věta: Množina A/ je rozklad na množině A. Teorie relací

Faktorová množina, rozklad [1] [3] [0] {x; x0} [1] {x; x1} [2] {x; x2} [3] {x; x3} [4] {x; x4} [4] [0] [2]

Rozklad na množině: příklad Definujeme relaci ekvivalence 5 (modulo 5) na množině celých čísel Z takto (5  ZZ): 5 = {(x,y); 5 dělí x-y }. (Ověřte, že je to ekvivalence!) Pak Z/5 {[0], [1], [2], [3], [4]}, kde [0] = {…-5, 0, 5, 10, 15, …} [1] = {…-9, -4, 1, 6, 11, …} [2] = {... -8, -3, 2, 7, 12, 17, ... } [3] = {... -7, -2, 3, 8, 13, 18, ... } [4] = {... -6, -1, 4, 9, 14, 19, ... } Je rozklad na množině Z. Teorie relací

Částečné uspořádání faktorové množiny Příklad (pokračování): Definujeme částečné uspořádání 5 na množině Z/5 z předchozího příkladu: [x]  [y] iff (x/5)zb  (y/5)zb, kde (i/5)zb= r a i=k*5+r; x, y je libovolný reprezentant dané třídy. Důkaz, že definice je korektní (nesmí záviset na výběru reprezentantů): [x]=[x’], [y]=[y’] a [x]  [y] pak musí být [x’]  [y’]: Je-li [x]=[x’], pak x=k*5 + r1, x’=k’*5 + r1 Je-li [y]=[y’], pak y=l*5 + r2, y’=l’*5 + r2 Tedy [x]  [y] iff [r1]  [r2] iff [x’]  [y’]. Důkaz, že takto definovaná relace je částečným uspořádáním – cvičení.

Teorie relací, shrnutí příkladů quasi uspořádání „množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X||Y| (kardinalita X je menší nebo rovna kardinalitě Y) relace dělitelnosti na množině celých čísel „nebýt starší“ na množině lidí částečné uspořádání relace množinové inkluze (  ) na množině množin relace dělitelnosti na množině přirozených čísel relace částečného uspořádání nad množinou DUF/  , kdy F1, F2  DUF, [F1]  [F2] právě když F2 |= F1 ekvivalence relace ekvivalence na množině DUF, kdy F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F1 |= F2 a F2 |= F1. Teorie relací

Teorie relací Obecně speciální axiomy zapisujeme ve tvaru: x R(x,x) reflexivita x R(x,x) i-reflexivita x y [R(x,y)  R(y,x)] symmetrie x y [R(x,y)  R(y,x)] asymmetrie x y z [(R(x,y)  R(y,x))  x=y)] anti-symentrie x y z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)] transitivita R je zde binární relace a víme, že každý speciální axiom je pravdivý v zamýšlené interpretaci. Ani jeden speciální axiom však není logicky pravdivá formule! (Snadné ověření v libovolném korektním kalkulu) Teorie relací

Dokazování v teorii Dokazování v teorii teorie je budována nad kalkulem, tedy samotné dokazování se provádí v daném kalkulu, kdy jako předpoklady klademe speciální axiomy teorie Např.: Mějme teorii T={reflexivita, transitivita} dokažte, že v dané teorii platí symetrie x R(x,x) xy z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)] --------- x y [R(x,y)  R(y,x)] Teď již záleží nad jakým kalkulem (rezoluční, přirozená dedukce, Hilbertův kalkul) svou teorii budujeme a podle toho ověřujeme logickou platnost úsudku. Teorie relací

Dokazování v teorii x R(x,x)  x R(x,x) xyz[(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)]  xyz[R(x,y)  R(y,z)  R(x,z)] --------- x y [R(x,y)  R(y,x)]  x y[R(x,y)  R(y,x)] K důkazu použijeme rezoluční metodu 1. R(x,x) 2. R(x’,y’)  R(y’,z’)  R(x’,z’) 3. R(a,b) 4. R(b,a) 5. R(a,y’)  R(y’,b) 2., 4. x’/b, z’/a 6. R(a,b) 1., 5. x/a, y’/a 7. # Rezoluční metodou jsme dokázali, že negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní nenegovaný závěr log. vyplývá, tedy úsudek je platný. Teorie relací

Teorie funkcí Funkce jako relace každá n-ární funkce je (n+1)-ární relace F: a bc ([R(a,b)  R(a,c)]  b=c) Parciální F: ke každé n-tici prvků aM...M existuje nanejvýš jeden prvek bM. pokud vezmeme formuli F jako speciální axiom, tak můžeme hovořit o teorii funkcí příklady: modely budou interpretace splňující tuto formuli (R můžeme interpretovat jako relaci, kdy 2. prvek každé dvojice je výsledek po dělení prvků dvojice a.) {1,1,1,2,1,2, 2,2 ,1, …, 4,2,2, …} Teorie relací

Teorie funkcí Funkce jako relace Totální funkce F: A  B: Ke každému prvku aA existuje právě jeden prvek bB takový, že F(a)=b: a b F(a,b)  abc [(F(a,b)  F(a,c))  b=c] Modelem této teorie tedy bude interpretace splňující danou formuli (danou relaci F můžeme interpretovat jako množinu všech dvojic, kdy 2. prvek je následníkem prvku a), funkce sčítání, násobení, … Teorie relací

Teorie funkcí Funkce (zobrazení) Zobrazení f : A  B je surjekce (zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b  B existuje a  A takový, že f(a)=b. b [B(b)  a (A(a)  F(a,b))]. Zobrazení f : A  B je injekce (prosté zobrazení A do B), jestliže pro všechna aA, bA taková, že a  b platí, že f(a)  f(b). a b [(A(b)  A(a)  (a  b))  c d (F(a,c)  F(b,d)cd)]. Zobrazení f : A  B je bijekce (prosté zobrazení A na B), jestliže f je surjekce a injekce. Teorie relací

Isomorfismus vzhledem k relaci R Definice (isomorfní množiny): Uspořádané množiny (A, 1), (B, 2) se nazývají isomorfní, jestliže existuje bijekce f: A  B taková, že x,yA: x 1 y právě když f(x) 2 f(y) Například množiny N a množina sudých kladných čísel jsou isomorfní vzhledem k uspořádání čísel dle velikosti – existuje funkce f (např. 2x) Dále bude isomorfismus nad (DUF/, ), kde, F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F2 |= F1 a funkce f bude identita. Teorie relací

Úplnost x neúplnost teorie Definice: teorie T je úplná, právě když rozhoduje každou formuli F, tj. T | F nebo T | F Zároveň víme, že pro (např.) Hilbertův kalkul platí silná věta o úplnosti kalkulu (neplést úplnost teorie s úplností kalkulu!): A | F  T | F, kde A je množina speciálních axiomů teorie T. Tedy teorie dokazuje vše, co z ní vyplývá. Je-li teorie T neúplná, pak existují nezávislé sentence F (které T nerozhoduje). Pak ovšem F nemůže vyplývat z T. Tedy existuje model M teorie T, ve kterém F není pravdivá. Proto, V případě, že existují aspoň 2 neisomorfní modely (M1, M2) dané teorie T, pak existuje aspoň jedna nezávislá sentence F, pro níž platí: M1| A a M1| F, M2| A a M2| F, pak je tato teorie T neúplná. Teorie relací

Úplnost x neúplnost teorie M1 M2 (N,) (P({a,b,c}),) A x R(x,x) x y [(R(x,y)  R(y,x))  x=y] x y z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)] … {a,b,c} | 2 {a,b} {a,c} {b,c} 1 {a} {b} {c}  F: x y [R(x,y)  R(y,x)] Teorie relací

Úplnost x neúplnost teorie Obecně: Pokud je teorie úplná, pak má všechny modely vzájemně izomorfní (vzhledem k axiomům teorie) Teorie částečného uspořádání je neúplná. Teorie lineárního uspořádání je úplná. Teorie relací