FIIFEI-10 Obvody stejnosměrných a střídavých proudů II složitější http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_10.ppt 25.2.2007 Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026) 02. 12. 2014

Hlavní body Složitější obvody Sítě rezistorů Obecná topologie obvodů Krichhoffovy zákony, fyzikální význam a užití Theveniova poučka Ideální a reálné zdroje Princip superpozice Metoda obvodových proudů 02. 12. 2014

r + r = rc(ra + rb)/(ra + rb + rc) Obecná síť rezistorů U nejjednodušších obvodů vypočteme celkový odpor a použijeme Ohmova zákona. Nejprve nahradíme rezistory zapojené sériově, potom ty zapojené paralelně. Zapojení do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy : r = rbrc/(ra + rb + rc) Tento vztah vyplývá z cyklické záměny : r + r = rc(ra + rb)/(ra + rb + rc) 02. 12. 2014

Příklad I (26-29) Nejsnažší řešení je nahradit např. levý trojúhelník hvězdou s odpory 9.09, 3.64, 4.55 . Potom přičteme odpory z pravého trojúhelníka a najdeme celkový odpor sítě Rt = 12.12  a celkový proud It = 0.495 A. Potom postupujeme nazpátek. Najdeme postupně napětí ve všech bodech a vypočítáme proudy: Ux = 1.491 V, I = 0.229 A, I = 0.266 A, atd. 02. 12. 2014

Příklad II (26-19) U1 = 45 V; Ri = 100 Ω Připojení R2 znamená zvětšení proudu I1 stejně jako napětí U1 a výkonu dodávaného zdrojem. Napětí U3 = U4 musí klesnout. Před připojením I1 = 45/150 = 0.3 A a I3 = I4 = I1/2 = 0.15 A; P = UI1= 13.5 W; I2= 0; U2= 0. Po připojení I1a = 45/133.3 = 0.3375 A; I2a= I3a= I4a= I1a/3; P = UI1a= 15.2 W atd. 02. 12. 2014

Obecná topologie obvodů Složitější obvody řešíme sofistikovanějšími metodami. Při jejich volbě posuzujeme nejprve jejich topologii. Obvody se obecně skládají z : Větví – vodiče se zdroji a rezistory, obecně impedancemi Uzlů – body, kde jsou propojeny alespoň tři větve. Smyček – všechny možné uzavřené cesty rozličnými větvemi a uzly, které se neprotínají. 02. 12. 2014

Řešení obvodů Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich. Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik. Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy. 02. 12. 2014

Kirchhoffovy zákony Kirchhoffovy zákony jsou vhodné hlavně pro ilustraci fyzikálního základu řešení obvodů. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole. V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být snadno zobecněny pro určité typy polí časově proměnných, např. pro střídavé proudy harmonického průběhu. Pro praktické použití hodí jen ve speciálních případech, protože vedou na stejný počet rovnic jako je větví nebo proudů, což je obvykle zbytečně mnoho. 02. 12. 2014

I. Kirchhoffův zákon První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících. Je to speciální případ zákona zachování náboje. Obecně je vyjádřen rovnicí kontinuity náboje. Ta popisuje navíc směrové záležitosti a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu. 02. 12. 2014

II. Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule. Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu, které je obecně konzervativní a zachování potenciální energie ve smyčce . Přeneseme-li jistý náboj dq po libovolné uzavřené smyčce, musíme vykonat celkově nulovou práci. 02. 12. 2014

Použití Kirchhoffových zákonů I Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví : Nejprve si označíme všechny proudy a každému přiřadíme určitý směr. Nevadí, pokud se zmýlíme, pouze nám vyjde na závěr příslušný proud záporný! Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom již dostali lineárně závislou rovnici. Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky. 02. 12. 2014

Příklad III-1 Obvod má 3 větve, 2 uzly a 3 smyčky, z nichž 2 jsou nezávislé. Protože zdroje jsou ve dvou větvích, nemůžeme problém jednoduše převést na sério-paralelní zapojení rezistorů. U1 = 10V R1 = 5 R3 = 20 a b U2 = 6V R2 = 10 02. 12. 2014

Příklad III-2 Nazveme proudy a přiřadíme jim směr. Nechme např. všechny opouštět uzel a, takže alespoň jeden musí vyjít záporný. Označme polarity na rezistorech podle předpokládaných směrů proudů. Sestavme rovnici pro první uzel a : I1 + I2 + I3 = 0. 02. 12. 2014

Příklad III-3 Snadno ověříme, že rovnice pro uzel b by vyšla stejná, takže další nezávislé rovnice musíme najít ze smyček. Vyjdeme např. z bodu a větví 1 a vrátíme se větví 3 : -U1 + R1I1 – R3I3 = 0 Potom podobně z a větví 2 a nazpět 3: U2 + R2I2 – R3I3 = 0 02. 12. 2014

Příklad III-4 Při cestě kolem smyčky musíme zachovat určitý systém, například psát všechny výrazy na jednu stranu rovnice se znaménkem rovným polaritě elektrody, ke které u příslušného prvku přijdeme nejprve. To je fyzikálně ekvivalentní práci, kterou by vykonalo pole pro přenesení jednotkového náboje příslušným směrem daným prvkem. Řešíme : z první rovnice vyjádříme : -I3 = I1 + I2 a dosadíme do dalších dvou : U1 = (R1 + R3)I1 + R3I2 -U2 = R3I1 + (R2 + R3)I2 02. 12. 2014

Příklad III-5 Numericky : 25I1 + 20I2 = 10 20I1 + 30I2 = -6 Můžeme řešit několika způsoby a nakonec dostaneme : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A Řešení ověříme, např. tím, že napětí Uab=Ub-Ua musí vyjít pro každou větev stejně 4V. Nebo tím, že součet napětí ve smyčce, kterou jsme nepoužili k výpočtu, je také nulový. Vidíme, že proudy I2 a I3 mají opačný směr, než jsme původně předpokládali. 02. 12. 2014

Použití Kirchhoffových zákonů II Pro praktické řešení obvodů nejsou Kirchhoffovy zákony příliš užitečné, protože vedou k sestavení a řešení stejného počtu rovnic, jako je počet větví. Lze ale ukázat, že k úplnému řešení obvodu postačí stejně rovnic, jako je počet nezávislých smyček, což je obecně méně. 02. 12. 2014

Příklad IV-1 Již v našem předchozím, jednoduchém příkladu jsme museli řešit systém tří rovnic, který je praktickou hranicí, kterou lze vyřešit relativně jednoduše ručně. Ukážeme, že pro nepatrně komplikovanější obvod by již počet rovnic byl příliš velký na ruční řešení. 02. 12. 2014

Příklad IV-2 Nyní máme 6 větví, 4 uzly a 7 smyček, z nichž jsou 3 nezávislé. Kirchhoffovy zákony nám poskytnou 3 nezávislé rovnice pro uzly a 3 pro smyčky. Máme tedy systém 6 rovnic o 6 neznámých. Řešení je principiálně samozřejmě možné, ale velmi obtížné. Probereme základy efektivnějších metod. 02. 12. 2014

Princip superpozice I Princip superpozice spočívá ve faktu, že každý zdroj pracuje nezávisle na ostatních. Postupně vypínáme (= zkratujeme, ale ponecháme vnitřní odpory) všechny zdroje až na j-tý a najdeme proud Iij v každé i-té větvi. Opakujeme to postupně pro všechny zdroje a nakonec celkový proud jistou i-tou větví : Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + … 02. 12. 2014

Princip superpozice II Jednoduchá ilustrace: Máme zdroj 12 V, jeho kladná elektroda je spojena s kladnou elektrodou druhého zdroje 6 V. Záporné elektrody obou zdrojů jsou spojeny přes odpor 3  . První zdroj generuje proud I1 = +4 A Druhý zdroj generuje proud I2 = –2 A Oba zdroje působí současně, tedy celkový proud je: I = I1 + I2 = +2 A 02. 12. 2014

Příklad III-6 Vraťme se k našemu příkladu III: Ponechme první zdroj a zkratujme druhý. Získáme jednoduché serio-paralelní zapojení rezistorů, v němž snadno nalezneme parciální proudy : I11= 6/7 A; I21= -4/7 A; I31= -2/7 A 02. 12. 2014

Příklad III-7 Opakujeme totéž s druhým zdrojem : I12= 12/35 A; I22= -3/7 A; I32= 3/35 A Celkově tedy dostaneme : I1= 1.2 A; I2= -1 A; I32= -0.2 A Výsledek je zřejmě stejný jako předchozí. Princip superpozice je užitečný, řešíme-li otázku typu: Co se stane změníme-li napětí nebo vnitřní odpor některého zdroje? 02. 12. 2014

Théveniova poučka I Mějme jistou větev spojující dva uzly A a B libovolně složité sítě v jsou ale obsaženy pouze pasivní prvky: zdroje a rezistory. Potom lze ukázat, že celá síť se vůči naší větvi chová jako jeden ideální zdroj elektromotorického napětí s jedním odporem zapojeným do série nebo ideální zdroj proudu s paralelní vnitřní vodivostí. 02. 12. 2014

Théveniova poučka II Toto elektromotorické napětí je principiálně možné zjistit odpojením větve a změřením napětí mezi body A a B ideálním voltmetrem naprázdno. Vnitřním odpor se určí nepřímo vydělením elektromotorického napětí zkratovým proudem, který by větví tekl, kdyby obsahovala pouze ideální ampérmetr - rezistor s nulovou rezistancí. Obě veličiny a zvláště zkratový proud se ale obvykle nedají měřit přímo. Získávají se ale extrapolací tzv. zatěžovací charakteristiky. 02. 12. 2014

Théveniova poučka III Příkladem na využití Théveniovy poučky je výpočet vlastností zatíženého odporového děliče. Mějme dva rezistory R1 a R2 zapojené do série s ideálním zdrojem napětí. Napětí mezi jednou elektrodou zdroje a bodem mezi odpory je k celkovému napětí v určitém poměru. 02. 12. 2014

Théveniova poučka IV Napětí naprázdno je jednoduše: Ue = U0R2/(R1+R2) Zkratový proud je: Is = U0/R1 A tedy vnitřní odpor je: Ri = Ue/Is = R1R2/(R1 + R2) což je odpor kombinace R1 paralelně s R2 02. 12. 2014

Reálné zdroje I Elektrické zdroje obsahují síly neelektrické povahy, které kompenzují vybíjení, když je dodáván proud tak, aby napětí bylo konstantní. Reálné zdroje nejsou schopny kompenzovat vybíjení úplně a jejich svorkové napětí se stává klesající funkcí proudu, který dodávají. Obvykle mají zdroje lineární chování , což je v souladu s Théveniovou poučkou. Jejich vlastnosti tedy můžeme popsat dvěma parametry. 02. 12. 2014

Reálné zdroje II Obvyklým modelem reálného zdroje je sériová kombinace ideálního zdroje s jistým konstantním napětím a ideálního rezistoru. Svorkové napětí takové kombinace v závislosti na proudu je : U(I) = U - RiI Porovnáme-li chování tohoto modelu s chováním reálného zdroje, vidíme, že U je svorkové napětí při nulovém odebíraném proudu, tzv. elektromotorické napětí a vnitřní odpor Ri je záporně vzatý sklon celé závislosti. 02. 12. 2014

Reálné zdroje III Napětí U může být nalezeno pouze extrapolací k nulovému proudu. Vidíme také, že vnitřní odpor Ri lze chápat jako míru, kterou se reálný zdroj blíží zdroji ideálnímu. Čím je jeho hodnota nižší, tím více se závislost U(I) blíží konstantní a zdroj zdroji ideálnímu. Model lze použít, i když je zdroj např. nabíjen. 02. 12. 2014

Reálné zdroje IV Model s U a Ri je vhodný i když zdrojem teče proud v opačném smyslu než by odpovídalo jeho elektromotorickému napětí, například při nabíjení. Polarita napětí na vnitřním odporu závisí jako u každého odporu na směru proudu. Příklad : Během nabíjení olověného akumulátoru se 6 články bylo dosaženo proudu Ic = 10 A při napětí nabíječky Uc = 13.2 V. Během jeho vybíjení bylo při svorkovém napětí Ud = 9.6 V dosaženo proudu Id = 20 A. Najděte U a Ri. 02. 12. 2014

Reálné zdroje V Nabíjení : Uc = U + Ic Ri Vybíjení : Ud = U - Id Ri Tedy zde : U + 10 Ri = 13.2 U - 20 Ri = 9.6 U = 12 V a Ri = 0.12  Na jeden článek : U = 2 V a Ri = 0.02  02. 12. 2014

Metoda obvodových proudů Existuje několik pokročilejších metod, které používají pouze nezbytný počet rovnic, potřebných k vyřešení daného obvodu. Nejelegantnější a nejjednodušší na použití i pamatování je metoda obvodových proudů. Je založena na myšlence, že obvodem tečou proudy v nezávislých smyčkách a proud v každé větvi je jejich superpozicí. 02. 12. 2014

Příklad III-8 V našem příkladě III jsou dva nezávislé obvodové proudy, např. I ve smyčce a(1)(3) a I ve smyčce a(2)(3). Proudy v jednotlivých větvích mohou být považovány za jejich superpozici, tedy : I1= I I2= I I3= -I  - I 02. 12. 2014

Příklad III-9 Nyní stačí řešit jen dvě rovnice pro smyčky : (R1 + R3)I + R3I = U1  25I + 20I = 10 R3I + (R2 + R3) I = -U2  20I + 30I = -6 Po dosazení numerických hodnot máme : I = 1.2 A a I = -1A, které dají opět stejné proudy proudy v obvodech jako jiná řešení : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A 02. 12. 2014

Příklad III-10 Výsledek je opět stejný, ale nyní jsme řešili pouze soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Vyhnuli jsme se substituci proudu I3. Výhoda je ještě lépe vidět na složitějším příkladu příkladu IV-2. 02. 12. 2014

Příklad IV-3 K řešení nám stačí pouhé tři obvodové proudy: I ve smyčce DBAD I ve smyčce DCBD a I ve smyčce CABC. Potom : I1 = I - I  I2 = I - I I3 = I - I I4 = -I I5 = I I6 = I 02. 12. 2014

Příklad VI-4 Smyčková rovnice v DBAD by byla : -U1 + R1(I - I) – U3 + R3(I - I) + R5I = 0 (R1 + R3 + R5)I - R1I - R3I  = U1 + U3 Podobně ve smyčkách DCBD a CABC: -R1I + (R1 + R2 + R4)I - R2I  = U4 - U1 – U2 -R3I - R2I +(R2 + R3 + R6)I  = U2 - U3 Rovnice se sestavují poněkud obtížněji ale jsou jenom tři, takže je můžeme vyřešit ručně! 02. 12. 2014

Příklad VI-5 Numericky máme : 12 –2 –5  I = 51  -2 14 –10  I = -16 X*I=U -5 –10 25  I = 25 Řešením (např. v Matlabu I=X\U) dostaneme I = 5.7 A, I = 1.68 A, I = 2.81 A a na a s jejich pomocí nakonec vypočteme proudy v jednotlivých větvích I1 , I2 … 02. 12. 2014

Princip superpozice I Zdroj U1 napájí odpor r1 zapojený do série s paralelní kombinací odporů r2 a r3. Čili celkový odpor je r1 + r2r3/(r2+r3) = 20/3 . I11= 6/7 A. Proudy I21 a I31 získáme pomocí napětí Uab = Ub – Ua = U1 – r1I11= 40/7 V. Tedy I21 = - 4/7 A a I31 = - 2/7 A ^

Princip superpozice II Zdroj U2 napájí odpor r2 zapojený do série s paralelní kombinací odporů r1 a r3. Čili celkový odpor je r2 + r1r3/(r1+r3) = 4 . I22= -3/7 A. Proudy I12 a I32 získáme pomocí napětí Uab = Ub – Ua = U2 – r2I22= -12/7 V. Tedy I12 = 12/35 A a I13 = 3/35 A ^