Experimentální fyzika I. 2 Chyby měření Zpracování měření

Druhy chyb Měřené veličině odpovídá JEDINÁ správná hodnota (pokud se nejedná o měření v kvantové oblasti) Při realizacích měření však dostáváme různé hodnoty Chyba absolutní - X=X-X´, kde X je správná hodnota a X´ hodnota naměřená. X má rozměr měřené veličiny Chyba relativní - X = X/X, je to veličina bezrozměrná, udává se často v % a lépe vystihuje přesnost měření Chyby náhodné Chyby systematické – vyskytující se pravidelně ve všech realizacích měření. Jsou důsledkem použité měřicí metody nebo vlastností měřicího přístroje Chyby hrubé –např. omyl experimentátora, měření je třeba vyřadit Obvyklé vyjádření výsledku s uvedením chyb

Systematická chyba a náhodný rozptyl Teorie nahodilých chyb elementární chyby x m elementárních chyb n v kladném směru, m-n v záporném pravděpodobnost chyby p nezávislé procesy počet kombinací výsledná pravděpodobnost výsledná chyba Binomické rozdělení nespojité (diskrétní)

Binomické rozdělení m=5,p=0.2 m=20,p=0.2 m=40,p=0.2 Výskyt kladných a záporných elementárních chyb stejně pravděpodobný Výskyt větších chyb pravděpodobný méně než výskyt chyb menších Střední hodnota Rozptyl m=5,p=0.2 m=20,p=0.2 m=40,p=0.2

Binomické rozdělení II p=0.5 m=5 m=12 m=17

Poissonovo a Gaussovo rozdělení pravděpodobnost jednoho jevu malá (p << 0.1) Počet pokusů velký (m >> 30) Přechod binomické-Poissonovo r. m   a x  0 Přechod ke Gaussovu (normálnímu) rozdělení Hustotu pravděpodobnosti každé náhodné veličiny, jejíž hodnoty lze vyjádřit jako součet mnoha nezávislých ale jinak libovolně rozdělených náhodných veličin lze vyjádřit normálním rozdělením = Centrální limitní teorém

Poissonovo rozdělení =2  =5 =7

Gaussovo (normální) rozdělění

Gaussovo rozdělení II

Zpracování přímých měření Z n hodnot naměřených za stejných podmínek stanovíme průměr Stanovíme odchylky jednotlivých měření od průměru Stanovíme střední kvadratickou chybu (směrodatnou odchylku) Stanovíme relativní chybu měření Pro N rovnost platí

Určení chyby nepřímých měření Sledovaná veličina W je funkcí několika dalších, jejichž chyby známe Změna W při změně parametrů je dána totálním diferenciálem Maximální chyba je dána sumou chyb způsobených jednotlivými parametry Kvadrát střední chyby je dána kvadratickou sumou jednotlivých chyb

Přehled vyjádření absolutních chyb Součtu Součinu Podílu Mocniny Odmocniny

Přehled vyjádření relativních chyb Součtu Součinu Podílu Mocniny Odmocniny

Zpracování výsledků měření početními metodami Optimální využití naměřených dat (metoda postupných měření) Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost Stanovení jeho koeficientů (skupinová a eliminační metoda) Metody početní interpolace (lineární interpolace, Newtonův vzorec)

Metoda postupných měření

Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

Stanovení koeficientů mnohočlenu Skupinová metoda

Stanovení koeficientů mnohočlenu Skupinová metoda 3 neznámé koeficienty Provedeme seskupení do 3 skupin a v rámci skupin rovnice sečteme Algebraickým řešením obdržíme Hodnoty koeficientů Z možných seskupení vybereme to, které má nejmenší sumu kvadrátů odchylek hodnoty naměřené od hodnoty vypočtené z polynomu

Stanovení koeficientů mnohočlenu Eliminační metoda Sudý počet rovnic Odečteme první od druhé atd…. Tak postupujeme až jsou eliminovány všechny koeficienty až na poslední Zpětně dosadíme a zjistíme hodnoty zbývajících koeficientů Pak přejdeme zpět od t

Početní interpolace Lineární interpolace Newtonův interpolační vzorec Určování hodnot veličiny mezi Změřenými hodnotami jestliže jsou si veličiny x a y přímo úměrné dá-li se závislost přímkou aproximovat je-li interval x dostatečně malý N měření (x,y) Ekvidistantně v x s krokem d

Zpracování výsledků měření grafickými metodami Správné a nesprávné proložení čáry měřenými body

Zpracování výsledků měření grafickými metodami Vynesení funkce dvou proměnných

Vyrovnání jednoduchých závislostí Nalezení nejpravděpodobnější hodnoty a přesnosti jejího určení na základě měření zatížených chybou Grafická metoda těžišť skupin měření

Metoda nejmenších čtverců Pro nejpravděpodobnější a nejsprávnější výsledek je součet čtverců odchylek od měřených hodnot minimální. Předpokládejme lineární závislost veličin Odchylky pak můžeme vyjádřit následovně Kvadráty odchylek obdržíme umocněním, sečteme

Metoda nejmenších čtverců II Parciální derivace podle parametrů a,b položíme = 0 Řešením obdržíme Pokud vhodně transformujeme proměnné lze na obdobný problém převést i řešení závislostí exponenciálních, mocninných a.p.

Některé vzorce pro přibližný výpočet