Teorie grafů

Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými a neřešitelnými „v rozumném čase“? Jaké jsou vztahy složitostních tříd? Jak jsou definovány třídy P a NP? Jaký je jejich vztah? Co jsou to NP-úplné problémy? Uveďte příklady NP-úplných problémů.

Osnova Teorie grafů Opakování: Definice, pojmy, vlastnosti, izomorfismus, implementace Stromy a jejich aplikace Grafové algoritmy (cesty, kostry,…) Aplikace grafů (párování, barvení,…) Sítě a toky v sítích Algoritmy hledání maximálního toku

Proč grafy Mají velmi užitečné aplikace nejen v informatice Historie Problém sedmi mostů města Královce Počet izomerů uhlovodíků Problém obarvení mapy čtyřmi barvami Elektrifikace měst, minimální kostry Problém obchodního cestujícího Grafy usnadňují vyhledávání, třídění, řazení, kódování GIS – mapy, … Elektrotechnika, kybernetika, logistika, management, chemie, biologie, matematika, informatika

Literatura Gross, Yellen: Handbook of Graph Theory Gross, Yellen: Graph Theory and its Applications Nešetřil, J.: Teorie grafů Plesník, J.: Grafové algoritmy Wikipedia Google…

Definice grafu Graf je uspořádaná trojice (U, H, f), kde U je množina uzlů H je množina hran f je incidenční zobrazení f: H  U2 Je-li f(h) = (x,y), nazýváme x počáteční a y koncový uzel hrany h o těchto uzlech říkáme, že jsou s hranou h incidentní. Uzly x a y nazýváme sousední Je-li x = y, říkáme, že h je smyčka Alternativní definice: Graf je dvojice (U, H), kde H  V2 je množina hran množina hran je tedy relací na množině uzlů umožňuje definovat pouze prosté grafy Hypergraf je graf, v němž hrany spojují více uzlů

(Ne)orientovaný graf Graf podle definice je orientovaný (digraf) Jestliže ke každé hraně h existuje protisměrná hrana h’, říkáme, že graf je neorientovaný Tj. hH takové, že f(h) = (x, y) h‘H takové, že f(h’) = (y,x), Dvojici hran {h,h‘} pak považujeme za jedinou neorientovanou hranu, u níž nemluvíme o počátečním a koncovém uzlu Jestliže do orientovaného grafu G přidáme protisměrné hrany, vzniklý neorientovaný graf se nazývá symetrizace grafu G.

Prostý graf Definice incidenčního zobrazení připouští existenci dvou různých hran h1 a h2 f(h1) = f(h2) = (x,y) Hovoříme o násobných hranách Graf bez násobných hran se nazývá prostý protože incidenční zobrazení je prosté graf, který není prostý, se označuje jako multigraf Prostý graf bez smyček se nazývá jednoduchý Prostý graf určuje relaci na množině U tato relace je symetrická  graf je neorientovaný

Charakteristiky uzlů v grafu V+G(x) = {zU | hH: f(h) = (x,z)} je množina následníků uzlu x V-G(x) = {zU | hH: f(h) = (z,x)} je množina předchůdců uzlu x VG(x) = V+G(x)  V-G(x) je množina sousedů uzlu x H+G(x) = {hH | uU: f(h) = (x,u)} je výstupní okolí uzlu x H-G(x) = {hH | uU: f(h) = (u,x)} je vstupní okolí uzlu x HG(x) = H+G (x)  H-G (x) je okolí uzlu x d+G(x) = |H+G(x)| je výstupní stupeň uzlu x d-G(x) = |H-G(x)| je vstupní stupeň uzlu x dG(x) = d+G(x) + d-G(x) je stupeň uzlu x Uzel se stupněm 0 se nazývá izolovaný.

Speciální případy grafů Nekonečný graf množina U je nekonečná Prázdný (nulový graf) množina uzlů (a tedy i množina hran) jsou prázdné Diskrétní graf graf s neprázdnou množinou uzlů, ale prázdnou množinou hran stupeň každého uzlu je 0 graf obsahuje pouze izolované uzly

Každé dva uzly jsou spojeny právě jednou hranou Značení: Kn Úplné grafy Každé dva uzly jsou spojeny právě jednou hranou Značení: Kn Počet hran je ½*n*(n-1) Stupeň každého uzlu je roven n-1 Zdroj: altermundus.com Zdroj: mathworld.wolfram.com

Množina uzlů je rozložena na dvě disjunktní třídy Bipartitní grafy Množina uzlů je rozložena na dvě disjunktní třídy U = U1  U2 U1  U2 =  Hrany spojují jen uzly z různých tříd hH: f(h)  (U1 U2  U1 U2) Úplný bipartitní graf značíme Km,n kde m=|U1|, n=|U2|

Podgraf, faktor Podgraf je “část grafu” Z množiny uzlů vybereme podmnožinu i  nebo celou množinu uzlů Vybereme podmnožinu hran spojujících vybrané uzly opět připouštíme i  nebo všechny možné hrany Formálně: Nechť G = (U,H,f) je graf. Podgrafem grafu G nazveme graf G‘ = (U‘, H‘, f‘), kde U‘  U H‘  H taková, že hH‘ : f(h) U‘2 f‘ = f/H‘ Je-li U‘U, hovoříme o vlastním podgrafu Podgraf, kde U‘ = U se nazývá faktor. Př. diskrétní faktor G‘ = (U,  , )

Sled Sled (anglicky walk = procházka) je střídavá posloupnost uzlů a hran tvaru u0, h1, u1, h2, u2, … hk, uk, kde f(hi) = (ui-1, ui) i = 1..k Uzel u0 nazýváme počátečním uzlem sledu, uzel uk koncovým uzlem sledu. Číslo k nazýváme délka sledu Triviální sled je sled pouze o jednom uzlu tj. má délku 0 Je-li u0 = uk, říkáme, že sled je uzavřený

Sled II. Sled nelze definovat jen jako “posloupnost uzlů a hran” využití incidenčního zobrazení je nezbytné jinak by i posloupnost AgEiCkB byla sledem! Na sled nejsou kladeny žádné další omezující požadavky uzly i hrany se mohou opakovat Sled je jednoznačně určen posloupností hran uzly jsou nadbytečné, vždy je lze doplnit

Tah, cesta, kružnice, cyklus Tah je sled, v němž se žádná hrana neopakuje Cesta je sled, v němž se neopakuje žádný vnitřní uzel Může však nastat u0 = uk  uzavřená cesta Věta: Cesta je tah Uzavřená cesta v neorientovaném grafu se nazývá kružnice Uzavřená orientovaná cesta se nazývá cyklus Graf, který neobsahuje kružnice (cykly) se nazývá acyklický

Eulerovský tah Eulerovský tah je takový tah, který obsahuje každou hranu právě jednou Problém sedmi mostů města Královce Graf, v němž existuje Eulerovský tah, se nazývá Eulerovský Podmínka: Všechny uzly mají sudý stupeň, nebo právě dva uzly mají lichý stupeň (tah není uzavřený) Použití: kreslení jedním tahem, trasa popelářů, sypačů, pošťáků, atd.

Hamiltonovská cesta Hamiltonovská cesta je cesta procházející každým uzlem uzly se neopakují => projde každým právě jednou Hamiltonovská kružnice je uzavřená Hamiltonovská cesta Graf je Hamiltonovský, jestliže v něm existuje Hamiltonovská cesta Ta existuje, jestliže (uU) (d(u) |U|/2) Postačující, nikoliv nutná podmínka Problém obchodního cestujícího Nalézt nejkratší Hamiltonovskou kružnici NP-úplný problém

Souvislost grafu Neorientovaný graf nazveme souvislý, jestliže mezi každými dvěma uzly existuje sled. Orientovaný graf nazveme (slabě) souvislý, jestliže jeho symetrizace je souvislý graf silně souvislý, jestliže mezi každými dvěma uzly existuje (orientovaný) sled. Každý maximální souvislý podgraf se nazývá komponenta Počet komponent je důležitá charakteristika grafu

Uzlové ohodnocení grafu Je zobrazení k: U  R Číslo k(u) nazveme klíčem uzlu u, též hovoříme o hodnotě nesené uzlem u Aplikace: Řazení Vyhledávání Kódování

Hranové ohodnocení grafu Je zobrazení d: H  R+, někdy připouštíme i nulu nebo záporné hodnoty Číslo d(h) nazveme délkou hrany h, též hovoříme o vzdálenosti uzlů Délku sledu lze v hranově ohodnoceném grafu předefinovat jako součet délek hran Aplikace: Minimální kostra Nejkratší cesta Toky v sítích

Příklad dvou izomorfních grafů: Izomorfismus grafů Grafy jsou tedy izomorfní právě tehdy, pokud se liší jen pojmenováním uzlů a nakreslením. Musí tedy mít stejnou strukturu Příklad dvou izomorfních grafů:

Zobrazení zachovávající strukturu Řekneme, že zobrazení zachovává strukturu grafu, právě tehdy, když pro každou dvojici uzlů platí, že počet hran mezi nimi je roven počtu hran mezi jejich obrazy. Včetně počtu smyček Zobrazení zachovávající strukturu zachovává sousednost uzlů zachovává nesousednost uzlů

Definice izomorfismu Řekneme, že grafy G1 = (U1, H1, f1) a G2 = (U2, H2, f2) jsou izomorfní a píšeme G1  G2, právě tehdy, když existuje zobrazení : U1  U2 takové, že  je bijekce  zachovává strukturu grafu tj. počet hran (i nulový) mezi každými dvěma uzly u,vU1: |{h1H1|f1(h1)=(u,v)}| = |{h2H2|f2(h2)=((u),(v))}| Je-li prostý graf definován jako G = (U, HU2), pak zachování struktury grafu vyjádříme jako (u,vU1) ([u,v]  H1 [(u),(v)]  H2)

Homomorfismus grafů Řekneme, že grafy G1 = (U1, H1, f1) a G2 = (U2, H2, f2) jsou homomorfní a píšeme G1  G2, právě tehdy, když existuje taková dvojice zobrazení U: U1  U2 a H: H1  H2 , že U zachovává sousednost uzlů, tj. (u,vU1) (((h1H1)(f1(h1)=(u,v)))  ((h2H2)(f1(h2)=((u),(v))))) H je indukované hranové zobrazení, tj. H(uv) = U(u)V(v) Prostý homomorfismus se nazývá vnoření

Izomorfismus K3,3 a Möbiova žebříku Möbiův žebřík – grafová analogie Möbiova pásku vezmi žebřík v jeho rovině jej ohni a spoj vrchní a spodní okraj mezi libovolnými dvěma šprušlemi překřiž svislé tyče Úplný bipartitní graf K3,3 je izomorfní s Möbiovým žebříkem ML3 důkaz nerovinnosti K3,3

Nutné podmínky izomorfismu I. Nutné, nikoliv postačující podmínky G1G2  následující podmínky Podmínky neplatí  grafy nejsou izomorfní |U1| = |U2| |H1| = |H2| Jsou-li u, v sousední uzly, pak i (u), (v) jsou sousední uzly Grafy mají stejnou posloupnost stupňů uzlů

Nutné podmínky izomorfismu II. Jsou dány izomorfní grafy G1 a G2. Pak pro každý uzel vU1 platí stupeň uzlu v je roven stupni uzlu φ(v) množina stupňů sousedů uzlu v je rovna množině stupňů sousedů uzlu φ(v) Pak pro každý sled platí obraz sledu je opět sled obraz tahu je opět tah obraz cesty je opět cesta délka sledu zůstává zachována

Další vlastnosti izomorfismu Izomorfismus i homomorfismus zachovávají cesty a tedy i souvislost grafu a komponenty homomorfismus může navíc různé komponenty propojovat Izomorfismus grafů určuje relaci ekvivalence na množině všech grafů

Implementace grafů Problém: Jak implementovat graf, abychom mohli co nejefektivněji naprogramovat požadované algoritmy? Grafy jsou prostředkem k řešení problémů reálného světa Jejich implementaci je vždy potřeba přizpůsobit řešenému problému Základní struktury Statické (matice sousednosti, matice incidence) Dynamické (seznam sousedů)

Matice sousednosti Je dán prostý graf G = (U, H, f) Matice sousednosti je čtvercová matice řádu |U| taková, že ai,j = 1 pokud hH: f(h) = (ui, uj) 0 jinak Matice sousednosti je symetrická  graf je neorientovaný Zřejmě platí, že

Mocniny matice sousednosti U multigrafů do matice sousednosti píšeme počet hran mezi dvěma uzly Je dán graf G a jeho matice sousednosti AG. Pak platí, že AGr[i,j] je rovno počtu sledů délky r mezi uzly i a j. kde AGr vyjadřuje r-tou mocninu matice AG

Ověřování izomorfismu grafů pomocí matice sousednosti Grafy G a H mají stejné matice sousednosti  jsou izomorfní Algoritmus ověření izomorfismu hrubou silou: Seřaď uzly grafu G a vytvoř matici AG Pro všechna seřazení uzlů grafu H vytvoř matici AH pokud AG = AH, grafy jsou izomorfní Pokud se žádná matice neshodovala, grafy izomorfní nejsou Pro n! všech seřazní porovnáváme n2 prvků matice sousednosti…

Matice incidence Je dán graf G = (U,H,f) Matice incidence je obdélníková matice |U|  |H| taková, že ai,j = +1 pokud Hj  H+(ui) -1 pokud Hj  H-(ui) 0 pokud Hj  H(ui) 2 pokud f(Hj) = (ui,ui) Jestliže graf neobsahuje smyčky, pak součet každého sloupce je roven nule součet kladných hodnot v řádku = výstupní stupeň součet záporných hodnot v řádku = vstupní stupeň Pozor!!! Mnohá literatura uvádí opačnou signaturu

Zobecnění matice incidence Hranově ohodnocený graf bez smyček Místo 1 ukládáme n Nulový součet každého sloupce je zachován Matice incidence umožňuje implementaci grafů, v nichž hrana prochází přes více uzlů Matice sousednosti i matice incidence obsahují většinou nuly  neefektivní využití paměti

Tabulka incidentních hran Tabulka vycházejících hran Vlastnosti tabulek u: a b h každý řádek tab. inc. hran je sjednocením příslušných řádků předchozích tabulek v: c f w: neorientovaný graf  všechny tabulky jsou shodné x: d e g Tabulka vcházejících hran u: a b c v: d e w: g h x: f Tabulka incidentních hran u: a b c h . v: c d e f x: d e f g

Dynamický seznam sousedů type PUzel = ^TUzel; PSoused = ^TSoused; TSoused = record uzel : PUzel; {další informace o hraně} dalsi: PSoused; TUzel = record jmeno | hodnota | klic | … sousede : PSoused; dalsi : PUzel;

Dynamický seznam uzlů a hran type PUzel = ^TUzel; TUzel = record jmeno | hodnota | klic | … sousede : PSoused; dalsi : PUzel; PHrana = ^THrana; THrana = record delka : real; zacatek, konec: PUzel; dalsi : PHrana;

Jakou implementaci zvolit? Matice sousednosti se vyplatí u hustých grafů Matice incidence se vyplatí u multigrafů a hypergrafů Pro běžné použití jsou nejvýhodnější dynamické seznamy ev. s pomocí hashů a indexů