FII-02 Elektrické pole a potenciál 24. 4. 2006

Hlavní body Konzervativní pole. Existence elektrického potenciálu. Práce vykonaná na náboji v elektrickém poli. Vztah mezi potenciálem a intenzitou. Gradient. Elektrické siločáry a ekvipotenciální plochy. Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli. 24. 4. 2006

Konzervativní pole V přírodě existují speciální pole, ve kterých je celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule. Nazývají se poli konzervativními. Taková pole například jsou : Gravitační – pro hmotné částice Elektrostatické – pro nabité částice 24. 4. 2006

Existence elektrického potenciálu Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá potenciál . 24. 4. 2006

Práce vykonaná na částici I Přesune-li nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice práci : W(A->B)  q[(B)-(A)] 24. 4. 2006

Práce vykonaná na částici II Obecně platí : Ep(B)=Ep(A)+W(A->B) Tuto definici srovnáme s předchozím vztahem : W(A->B)=q[(B)-(A)] =Ep(B)-Ep(A) Tedy vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep : 24. 4. 2006

Práce vykonaná na částici III Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. Hovoříme o něm jako o napětí U : UBA  (B)-(A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UBA 24. 4. 2006

Práce vykonaná na částici IV Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUBA Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem 24. 4. 2006

Důsledky existence potenciálu Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů : Stačí nám jen třetina informací Superpozice vede na prostý aritmetický součet Některé výrazy lépe konvergují 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou I Tento vztah je stejný jako vztah potenciální energie a síly, který se názorněji vysvětluje. Mějme nabitou částici, na kterou pole působí silou . Když se částice posune o vykoná pole práci dW’ : 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou II Znaménko práce závisí na vzájemné orientaci projekce vektoru posunu do vektoru síly. Je-li projekce posunu ve směru síly, práci koná pole a tento posun se může uskutečnit bez zásahu vnějších sil. Nejedná se ale o “samovolný” posun. Existuje na úkor poklesu potenciální energie částice : Můžeme tedy bez újmy na obecnosti rovnou hovořit přímo o posunu do nebo proti směru síly. 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou III Při posunu nabité částice do směru síly tedy práci koná pole. Při posunu proti směru síly musí práci vykonat vnější činitel : dochází při tom ke zvýšení potenciální energie částice. pole principiálně může při jiné příležitosti vynaloženou práci vrátit. Proto se tento typ energie nazývá energie potenciální. 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou IV Práci uskutečněnou polem pro jistou cestu A->B tedy získáme integrací : Po vydělení nábojem dostáváme hledaný vztah mezi intenzitou a potenciálem : 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou V Mějme částici nabitou kladným jednotkovým nábojem čili síla je číselně rovna intenzitě a potenciální energie je číselně rovna potenciálu. Je nutné ale mít na paměti, že intenzita a potenciál jsou vlastnosti pole síla a potenciální energie jsou vlastnosti, týkající se částice a jejich rozměr se liší [*C]. 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou VI Posuňme náš náboj (1C) ve směru intenzity o . Platí : Tedy : (B) = (A) - Edl potenciál klesá ve směru intenzity a tedy i siločar. Také: Ep(B) = Ep(A) - W’ = Ep(A) – qEdl 24. 4. 2006

Vztah mezi potenciálem a intenzitou VII Intenzitu můžeme vyjádřit jako změnu potenciálu: Vidíme, že potenciál souvisí s integrálními vlastnostmi intenzity a naopak intenzita s derivací potenciálu. 24. 4. 2006

Homogenní pole I Nejjednodušší elektrostatické pole je pole homogenní, v němž všechny vektory intenzity mají stejnou velikost a směr. V něm se také odvozené vlastnosti pole nejsnáze ilustrují. Potenciál se mění jen ve směru intenzity, což je v tomto poli jediný důležitý směr. Siločáry jsou paralelní přímky. 24. 4. 2006

Homogenní pole II Nyní platí vše, co bylo uvedeno výše, a to dokonce pro libovolnou vzdálenost d : Intenzitu můžeme tedy chápat jako strmost přímky, která vyjadřuje spád potenciálu. 24. 4. 2006

Homogenní pole III Chceme-li zjistit práci potřebnou k přenesení náboje nebo naopak potenciální energii, kterou ztratí a kinetickou energii, kterou získá při určitém posunu, je třeba kromě vlastností pole vzít ještě v úvahu, o jaký náboj jde. Velký náboj cítí spád své potenciální energie strmější než malý. Záporný náboj cítí spád potenciálu pole jako růst své potenciální energie. 24. 4. 2006

Jednotky Jednotkou potenciálu  a napětí U is 1 Volt. [ ] = [Ep/q] => V = J/C [E] = [/d] = V/m [] = [kq/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1 24. 4. 2006

Sféricky symetrické pole I Sféricky symetrické pole, např. pole bodového náboje je další důležitý typ pole, kde může být vztah mezi potenciálem  a intenzitou E snadno ilustrován. Mějme bodový náboj Q v počátku. Již víme, že intenzity jsou radiální a pole má kulovou symetrii : 24. 4. 2006

Sféricky symetrické pole II Velikost intenzity E závisí pouze na poloměru r Přesuňme testovací jednotkový náboj q z nějakého bodu A do jiného bodu B. Změna potenciálu závisí pouze na tom jak se změnil radius tedy vzdálenost od centrálního náboje. Je tomu tak proto, že během posunu při konstantním poloměru se nekoná práce. 24. 4. 2006

Sféricky symetrické pole III Závěr : Potenciál  sféricky symetrického pole závisí pouze na poloměru r a klesá s jeho reciprokou hodnotou 1/r Přesuneme-li v tomto poli náboj q , musíme opět brát v úvahu jeho potenciální energii 24. 4. 2006

Obecný vztah Obecný vztah je analogický jako u gravitačního pole: Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost. 24. 4. 2006

Vztah v homogenním poli V homogenním poli se potenciál mění (klesá) pouze podél siločar. Ztotožníme-li tento směr s osou x našeho souřadněho systému, obecné vztahy se zjednodušší na : 24. 4. 2006

Vztah v centrosymetrickém poli V centrosymetrickém poli se obecný vztah zjednodušší na : Tento vztah může být například užit pro ilustraci obecného tvaru potenciální energie a jeho vliv na síly mezi částicemi hmoty. 24. 4. 2006

Ekvipotenciální plochy Ekvipotenciální plochy jsou plochy, na kterých je potenciál konstantní. Pohybuje-li se nabitá částice po ekvipotenciální ploše, je práce vykonaná polem i vnějším činitelem rovna nule. To je možné jen ve směru kolmém k siločarám. 24. 4. 2006

Ekvipotenciální křivky a siločáry Každé elektrické pole můžeme zviditelnit soustavou ekvipotenciálních křivek, což jsou průsečíky ekvipotenciálních ploch s nákresnou, a siločar. V homogenním poli jsou ekvipotenciální křivky přímky kolmé k siločárám. V centrosymetrickém poli jsou ekvipotenciální křivky kružnice se středem v náboji a siločáry jsou radiály. Reálná a imaginární část analytických komplexních funkcí má vztah stejný. 24. 4. 2006

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. Z druhého Newtonova zákona : V nerelativistickém případě : 24. 4. 2006

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. elektron, positron |q/m| = 1.76 1011 C/kg proton, antiproton |q/m| = 9.58 107 C/kg (1836 x) -částice (He jádro) |q/m| = 4.79 107 C/kg (2 x) Další ionty … Akcelerace elementárních částic může být obrovská! Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí 24. 4. 2006

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli III Problémy lze řešit buď přes síly nebo energie. Postup přes energie je obvykle pohodlěnjší. Využívá zákon zachování energie a faktu, že v elektrostatickém poli existuje potenciální energie. 24. 4. 2006

Pohyb ... IV energetický přístup Je-li volná nabitá částice v určitý okamžik v bodě A elektrostatického pole a za nějakou dobu v libovolném bodě B, musí mít v obou bodech stejnou celkovou energii bez ohledu na čas, dráhu a složitost pole : 24. 4. 2006

Pohyb ... V energetický přístup Změna potenciální energie tedy musí být kompenzována změnami energie kinetické Ve fyzice vysokých energií se často používá jako jednotka energie 1 eV . 1eV = 1.6 10-19 J. 24. 4. 2006

Potenciál centrosymetrického pole A->B Dosadíme za E(r) a integrujeme : Vidíme, že  se chová jako 1/r ! ^

Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os . Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

Zrychlení elektronu Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = 2 . 104 V/m ? a = E q/m = 2 . 104 1.76 1011 = 3.5 1015 ms-2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s2] Pro srovnání: Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s , tedy a = 7.5 ms-2 ^

Relativistické efekty při urychlování elektronu Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= 3 107 ms-2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv2/2 = q U U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV ! ^

Relativistický přístup Při relativistických rychlostech musíme použít slavnou Einsteinovu rovnici : E je celková a EK kinetická energie, m je relativistická a m0 klidová hmotnost ^

Analytické funkce komplexní proměnné Riemann Cauchyho podmínky I Komplexní funkci f(z), kde z = x + jy, můžeme chápat jako dvojici funkcí dvou proměnných: f(z) = P(x, y) + jQ(x,y) Její derivace je vlastně derivací složené funkce: Je-li tato funkce analytická, má vlastnosti potenciálu. Její přírustek tedy nezávisí směru .

Analytické funkce RC podmínky II Pravá strana předchozí rovnice je poměr dvou lineárních závislostí. Má-li být konstantní, musí být směrnice v čitateli i jmenovateli stejné: Rovnost v oboru komplexních čísel znamená ale rovnost reálné i imaginární složky.

Analytické funkce RC podmínky III Funkce P a Q tedy splňují Riemann-Cauchyho podmínky: Ty znamenají, že funkce jsou na sebe kolmé a navíc z nich vyplývá, že každá Laplaceovu rovnici, stejně jako potenciál: ^