Okénková Fourierova transformace střední široké úzké

 t Time rozlišení: separace 2 „špicí“ v časové oblasti  f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních komponent Obě rozlišení nemohou být libovolně velké! Intervaly Heisenbergův princip  t *  f > 1/(4  ) Gaborův princip neurčitosti

Historie Wavelet  1909 Alfred Haar- Haar báze.  1946Gabor - ne-orthogonální neomezené wavelety  1976 Croisier, Esteban a Galand- filter banks pro dekompozici a rekonstrukci signálu  1982 JeanMorlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů

Komprese Odstraňování šumu a poškození Detekce struktur Problematika rozmazání Registrace Fúze dat s různým rozlišením

„Laplacian“ pyramida - time scale space O co tady jde ? Analýza signálu - time frequency space

O co tady jde ?

Haarova waveleta kompaktní dyadická ortonormální

g = [, - ] h = [, ]

g* = [ -, ] h* = [, ]

Okno proměnné šířky –analýza vysokých frekvencí  úzké okno pro lepší „time“ rozlišení –analýza nízkých frekvencí  širší okno pro lepší „frequency“ rozlišení Wavelet transformace

Okénková Fourierova transformace waveletová transformace translace, dilatace a > 0,  R   R

h a,  =>  a,b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave... osciluje - ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle -   = 0 -  |  | 2 <  - FT(  ) a,b v 0 - 0, v  něco jako band-pass filtr ve FT Waveletová transformace  a,b  x - b a > 0,  R b  R, normalizace přes škály < ∞ 2

c - záleží na  Spojitá waveletová transformace  a,b * a, b  a,b a, b a > 0,  R b  R REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b WF(a,b) =  f (t),  a,b 

Dyadická waveletová transformace - waveletové řady -  < m, n <  m, n  Z Přeurčenost binární škálování - zmenšování o faktor 2 dyadický posun - posun o k/2 j  m,n - ortonormální báze L 2 (R)   m,n,  k,l  =  m,k  n,l f(x) =   c m,n,  m,n c m,n =  f (x),  m,n  -   

Diskrétní waveletová transformace - cesta Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x),  m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval jj j = 2 m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2 j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2 m  j, n = j - 2 m Diskretizace f … f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  -   spojité

Diskrétní waveletová transformace Kompaktní dyadická waveleta jj Diskretizace f …. f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  =  f(x)  j 1 N 1 N diskrétní

Waveletová dekompozice funkce f základ +  detaily různého měřítka VjVj V j0 W J-1

Mutliresolution analysis (MRA) - postup pro konstrukci ortonormálních bází - L 2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů V i - každé V i odpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovací funkce 

Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance

funkce  ij (x), kde tvoří ortonormální bázi V i …škálovací funkce „father wavelet“ P i (f) - ortonormální projekce f do V i, pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) V i+1 - V i ortonormální doplněk W i shift invariance

každý W i je generován posuny  i, j waveleta Platí: škálová invariance translační invariance ortonormalita W i a W k waveletové koeficienty

Waveletová transformace - dekompozice V j0 VjVj W j0 W j-1

waveletové koeficienty  …vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový   (=1) -   = 0 -  a FT(  ) dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní ,  - nulové krom určitého konečného intervalu škálovací koeficienty

dilatační rovnice V 0  V 1 V0V0 V1V1 W 0  V 1 V0V0 V1V1 W0W0

Haar waveleta g = [, - ] h = [, ]