Lineární zobrazení

Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak, že f(x) = y

Zobrazení f: U  W je lineární (U, W jsou vektorové prostory ) f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) u, v  U a a  R

Příklady lineárního zobrazení Zobrazení, které přiřadí každé matici matici k ní transponovanou. (aA + bB)T = aAT + bBT Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho první derivaci. (af + bg)´ = a (f´ ) + b (g´ ) Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho druhou derivaci.

Obraz nulového vektoru Obrazem nulového vektoru je v lineárním zobrazení opět nulový vektor

Nechť U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení. f(U) = {y  W: y = f(x), x  U } Označme f(U) = Im f f(U) je podprostor ve W Nazývá se obraz vektorového prostoru U v zobrazení f a značí se Im f. Jeho dimenzi nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí tedy: hod f = dim f(U).

Zobrazení je určeno obrazy vektorů báze Nechť B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze vektorového prostoru U a nechť w1, w2, …, wn jsou vektory z prostoru W. Pak existuje právě jedno zobrazení f: U  W takové, že f(bi) = wi, i = 1, 2, ..., n.

Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory. Lineární zobrazení může lineárně nezávislým vektorům přiřadit vektory lineárně závislé.

U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f. Značíme: Ker f = {x  U: f(x) = oW } Jádro lineárního zobrazení je podprostor v U Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f. def f = dim Ker f

Matice lineárního zobrazení Nechť f: U  W je lineární zobrazení, B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze vektorového prostoru U a F = f1, f2, …, fm je uspořádaná báze vektorového prostoru W. Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F: f(b1) = a11f1 + a12f2 + … + a1mfm f(b2) = a21f1 + a22f2 + … + a2mfm f(bn) = an1f1 + an2f2 + … + anmfm Matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B, F

Najděte matici tohoto lineárního zobrazení Lineární zobrazení f: R3  R3 je definováno vztahem f((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 – 3x2 + x3) Najděte matici tohoto lineárního zobrazení Najdeme obrazy vektorů kanonické báze prostoru R3. (1, 0, 0)  (0, 2, 1) (0, 1, 0)  (1, 0, –3) (0, 0, 1)  (1, 1, 1)

Hodnost lineárního zobrazení   je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení hod f = dim f(U) = dim Im f hod f = hod A

Hodnost lineárního zobrazení   hod f = hod A = dim f(U) = dim Im f def f = dim Ker f dim f(U) + dim Ker f = dim U hod f + def f = dim U

Lineární zobrazení je definováno vztahy: f(1, 2) = (–2, 1), f(2, 1) = (6, –3). Určete matici tohoto zobrazení Určete hod f, Ker f a def f Najděte všechny vektory u, které se zobrazí do vektoru (4, –2), tj. f(u) = (4, –2).

Na které vektory se při daném zobrazení zobrazí vektory kanonické báze?  

 hod A = hod f = 1 def f = dim R2 – hod f = 2 – 1 = 1

soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých Jádro zobrazení soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7x1 – 5x2 = 0  x = k.(5, 7), kde k  R Ker f = {x  R2 : x = k.(5, 7), k  R}

Pro všechny vektory u, které se zobrazí na vektor (4, –2) platí: soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7u1 – 5u2 = 6  u = (3, 3) + t.(5, 7), kde t  R

Změna matice lineárního zobrazení při změně báze Lineární zobrazení f: R3  R3 je určeno maticí A vzhledem ke kanonické bázi E. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F = (0, 1, 1), (2, 0, –1), (–1, 1, 1).

1. obrazy vektorů báze F ve zobrazení f  f(f1) = (1, 0, –2) f(f2) = (0, 1, 4) f(f3) = (0, 0, –3)

2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi F (1, 0, –2) = –3.(0, 1, 1) + 2.(2, 0, –1) + 3.(–1, 1, 1) (0, 1, 4) = 7.(0, 1, 1) – 3.(2, 0, –1) – 6.(–1, 1, 1) (0, 0, –3) = –6.(0, 1, 1) + 3.(2, 0, –1) + 6.(–1, 1, 1) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F je

Lineární zobrazení f: R3  R2 je určeno maticí A vzhledem ke kanonickým bázím E, F. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H, je-li G = (1, 1, 1), (0, 1, 2), (2, –1, 1), H = (1, 1), (2, 3)

1. obrazy vektorů báze G ve zobrazení f  f(g1) = (0, 3) f(g2) = (–1, 3) f(g3) = (8, 2)

2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi H (0, 3) = –6.(1, 1) + 3.(2, 3) (–1, 3) = –9.(1, 1) + 4.(2, 3) (8, 2) = 20.(1, 1) – 6.(2, 3) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H je