Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů Střední odborná škola Otrokovice Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Iva Kočtúchová Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika DUM Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /1 Autor Mgr. Iva Kočtúchová Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-Mn-M/3-MA-2/20 Název DUM Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 63-41-M/01 Obor vzdělávání Management hotelových a turistických služeb Vyučovací předmět Matematika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 17 – 18 let Anotace Výukový materiál je určený k doplnění výkladu řešení některých exponenciálních rovnic a následnému procvičení náplň: prezentace způsobů řešení exponenciálních rovnic Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Exponenciální rovnice, logaritmus Datum 15. 1. 2013

Exponenciální rovnice řešená pomocí logaritmů Náplň výuky (obsah hodiny) Pojem exponenciální rovnice Řešení exponenciální rovnice Věty o logaritmech pomocí logaritmů

Exponenciální rovnice je rovnice, ve které se neznámá 𝒙∈𝑹 nachází v exponentu nějaké mocniny.

Typy exponenciálních rovnic 1. Základní 𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒈 𝒙 kde levá a pravá strana mají stejný základ mocniny 𝑎>0 ;𝑎≠1 Řešíme porovnáním exponentů Příklad: 3 x+2 = 9 x−4 3 x+2 = 3 2 . x−4 x+2=2. x−4 x+2=2x−8 −x=−10 x=10 𝐾= 10

2. Exponenciální rovnice vedoucí k substituci Příklad: 9 𝑥 +2 . 3 𝑥 −3=0 3 2𝑥 +2 . 3 𝑥 −3=0 Substituce: 3 x =y 𝑦 2 +2𝑦−3=0 Viètovy vzorce: 𝑦 1 + 𝑦 2 =−2 𝑦 1 . 𝑦 2 =−3 𝑦 1 =1; 𝑦 2 =−3 Řešení přes diskriminant: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 2 2 −4 .1 −3 =16 ; 𝑦 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −2±4 2 ⇒ 𝑦 1 =1; y 2 =-3 𝑦 1 =1 ⇒ 3 𝑥 =1 𝑦 2 =−3 ⇒ 3 𝑥 =−3 3 𝑥 = 3 0 NŘ 𝑥=0 𝐾= 0

kde 𝑎>0;𝑎≠1;𝑏>0;𝑏≠1;𝑎≠𝑏 3. Rovnice typu 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑔 𝑥 , kde 𝑎>0;𝑎≠1;𝑏>0;𝑏≠1;𝑎≠𝑏 Ze zadání je zřejmé, že se jedná o mocniny s různými základy. Řešíme logaritmováním: log 𝑎 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑔 𝑥 (použijeme dekadický logaritmus) .

Při úpravách používáme věty o logaritmech Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟,𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 . 𝑠 = log 𝑎 𝑟 + log 𝑎 𝑠 Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟,𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 𝑠 = log 𝑎 𝑟 − log 𝑎 𝑠 Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu exponentu a logaritmu základu mocniny ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟∈ 𝑅 + ,∀𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 𝑠 =𝑠 . log 𝑎 𝑠

Řešte rovnici: 2 𝑥 =3 Obě strany rovnice zlogaritmujeme: log 2 𝑥 = log 3 Upravíme podle vět o logaritmech: 𝑥 log 2 = log 3 Odtud: 𝑥= log 3 log 2 =1,585 (kalkulačka- výsledek zaokrouhlíme) 𝐾= 1,585

𝐾= 0,7246 Řešte rovnici s neznámou x 2 x−1 = 3 3−2x Obě strany zlogaritmujeme: log 2 𝑥−1 = log 3 3−2𝑥 Upravíme podle vět o logaritmech: 𝑥−1 log 2 = 3−2𝑥 log 3 Odstraníme závorky: 𝑥 . log 2 − log 2 =3. log 3 −2𝑥 log 3 Upravujeme rovnici: 𝑥 . log 2 +2𝑥 log 3 = 3 .log 3 + log 2 𝑥 . log 2 +2 . log 3 =3 . log 3 + log 2 Odtud: 𝑥= log 2 +2 . log 3 3 . log 3 + log 2 = 0,7246 𝐾= 0,7246

Příklady na procvičení Řešte rovnice s neznámou x: 7 𝑥 = 5 1−2𝑥 2 4−3𝑥 = 7 4𝑥+2 4 −𝑥+3 = 9 3𝑥+7 2 2 . 𝑥−1 = 6 𝑥+4 5 1 3 = 7 𝑥−3

Řešení: 1. 𝟕 𝒙 = 𝟓 𝟏−𝟐𝒙 𝑥 log 7 = 1−2𝑥 log 5 𝑥 log 7 = log 5 −2𝑥 log 5 1. 𝟕 𝒙 = 𝟓 𝟏−𝟐𝒙 𝑥 log 7 = 1−2𝑥 log 5 𝑥 log 7 = log 5 −2𝑥 log 5 𝑥 log 7 +2𝑥 log 5 = log 5 𝑥 . log 7 +2 log 5 = log 5 𝑥= log 5 log 7 +2 log 5 𝑥= 0,3116 𝐾= 0,3116

2. 𝟐 𝟒−𝟑𝒙 = 𝟕 𝟒𝒙+𝟐 4−3𝑥 log 2 = 4𝑥+2 log 7 4 log 2 −3𝑥 log 2 =4𝑥 log 7 +2 log 7 −3𝑥 log 2 −4𝑥 log 7 =2 log 7 −4 log 2 𝑥 −3 log 2 −4 log 7 =2 log 7 −4 log 2 𝑥= 2 log 7 −4 log 2 −3 log 2 −4 log 7 𝑥= -0,1135 𝐾= −0,1135

3. 𝟒 −𝐱+𝟑 = 𝟗 𝟑𝐱+𝟕 −𝑥+3 log 4 = 3𝑥+7 log 9 −𝑥 log 4 +3 log 4 =3𝑥 log 9 +7 log 9 −𝑥 log 4 −3𝑥 log 9 =7 log 9 −3 log 4 / . (-1) 𝑥 log 4 +3𝑥 log 9 =3 log 4 −7 log 9 𝑥 log 4 +3 log 9 =3 log 4 −7 log 9 𝑥= 3 log 4 −7 log 9 log 4 +3 log 9 𝑥= -1,4066 𝐾= − 1, 4066

4. 𝟐 𝟐 . 𝐱−𝟏 = 𝟔 𝐱+𝟒 2. x−1 log 2 = x+4 log 6 2x−2 log 2 =x log 6 +4 log 6 2x log 2 −2 log 2 =x log 6 +4 log 6 2x log 2 −x log 6 =4 log 6 +2 log 2 x 2 log 2 − log 6 =4 log 6 +2 log 2 x= 4 log 6 +2 log 2 2 log 2 − log 6 x=− 21,0951 K= − 21,0951

5. 𝟓 𝟏 𝟑 = 𝟕 𝐱−𝟑 1 3 log 5 = x−3 log 7 1 3 log 5 =x log 7 −3 log 7 1 3 log 5 +3 log 7 =x log 7 x= 1 3 log 5 +3 log 7 log 7 x= 3,2757 K= 3,2757

Kontrolní otázky: Jaký typ exponenciálních rovnic musíme logaritmovat? Jaký logaritmus vždy používáme? 3. Jaká je souvislost mezi exponenciální a logaritmickou funkcí?

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury:

Děkuji za pozornost 