Matematika a realita ve vědě o společnosti (zkušenosti z aplikace teorie her) …a ještě konkrétněji: z rozpracování teorie redistribučních systémů Radim Valenčík VŠFS

Co je mým cílem dnešního setkání: - Podělit se s některými poznatky. - Vyslechnout náměty, které vycházejí z jiných oblastí vztahu mezi matematikou a realitou, tj. zkušeností jiných věd. To nejdůležitější, co se osvědčilo: Postupné rozšiřování elementárního modelu (koncipovaného jako „nejjednodušší“ v dané oblasti) formou elementárních (tj. opět těch nejjednodušších) kroků. „Rozklíčování reality“ – viz dále v bodech.

Část 1: Klíč k rozklíčování reality – nejjednodušší,základní,všudypřítomné

1. Definovat ten nejjednodušší model, který by v dané oblasti (společenské) reality vystihoval „to, oč tu běží“. 2. Zkoumat daný model prostředky matematiky. 3. Konfrontovat daný model s danou oblastí společenské reality a evidovat otázky, na které nedává odpověď, resp. identifikovat podstatné odlišnosti mezi tím, co model o realitě vypovídá (jak jej lze interpretovat), a tím, co se v realitě odehrává. 4. Postupně rozšiřovat model tak, aby plněji a přesněji vystihovat „to, oč tu běží“ (ve smyslu praktického kontextu toho, co se odehrává v realitě a co lze na základě jejího poznání ovlivnit). 5. Současně s tím upřesňovat výchozí elementární model (který funguje jako určitý klíč), tj. nerozšiřujeme nějakou neměnnou výchozí abstrakci, ale to, co se samo vyvíjí. 6. Dbát na to, aby i každý krok rozšíření modelu splňoval požadavek maximální jednoduchosti, tj. byl elementárním rozšířením. 7. Současně s tím upřesňovat definování a popis systému matematickými prostředky, řešit otázky či problémy, které lze formulovat v jazyce matematiky.

Nutno odlišit: - Jazyk, kterým popisujeme systém jako matematický objekt či konstrukt. - Jazyk, kterým popisujeme danou oblast společenské reality. - Jazyk, kterým se vyjadřujeme o vztahu mezi tím, co vypovídá model (na základě jakých předpokladů jsme jej definovali, co od něj očekáváme, jak se chová apod.) a co je z tohoto hlediska relevantní v příslušné oblasti společenské reality.

Doporučení: Hledej to „nejjednodušší“, přičemž: - Pojem „nejjednodušší“ má smysl jen v jazyce, kterým interpretujeme vztah matematického modelu a reality. - To, co je (intuitivně) nejjednodušší (elementární), je současně i základním či výchozím (bazálním) a dokonce i „všudypřítomným“ v tom smyslu, že je obsaženo v každém konkrétním reálném případě vybraném z dané oblasti společenské reality. - Správnost postupu si můžeme ověřit právě tím, že to, co používáme jako klíč k dešifrování reality je skutečně tím nejjednodušším, základním a všudypřítomným (přičemž tyto atributy mají smysl jen v jazyce, kterým interpretujeme model). (Srov. přímočarý a rovnoměrný pohyb z hlediska „všudypřitomnosti“ elementárního)

Inspirativní, návodné a tudíž užitečné: Analogie mezi konstituováním teoretické mechaniky a fyziky v dějinách vědy poté, co se dospělo k abstrakci rovnoměrného přímočarého pohybu a s ní spojeném principu setrvačnosti. Zde (v dějinách lidského myšlení) šlo rovněž o to dobrat se toho elementárního, co (formou postupného rozšiřování za předpokladu dodržení požadavku elementarity i při tomto rozšiřování) umožní „rozklíčovat“ danou oblast reality (zahrnující v případě klasické mechaniky oblast přibližně od pohybu molekul plynů či kapalin až po pohyb nebeských těles). Mj. i překročení těch hranic reality, v nichž lze vystačit s klasickou mechanikou či fyzikou, proběhlo formou elementárního rozšíření stávajícího modelu.

„V Maxwellových rovnicích už byla rychlost světla zakotvena jako základní a měla zásadní roli. Její odstranění by si vyžádalo úplné přepracování rovnic. Naproti tomu vložit do Newtonovy mechaniky limit rychlosti světla a použít světelné signály ke koordinaci měření času na různých hodinách, …to byla jen triviální záležitost. Upravit Maxwellovy rovnice tak, aby byly v souladu s Newtonovou mechanikou, to by téměř jistě narušilo soulad s experimentálními výsledky, zatímco změny, které Einstein provedl v Newtonově mechanice, se projevily pouze při rychlostech blížících se rychlosti světla. Proto zavedení rychlosti světla do mechaniky těles nevyžadovalo zdlouhavé experimentální potvrzení, a Einstein také žádné pokusy neprovedl. Jeho pojednání o relativitě neobsahuje žádné reference. Ani je kvůli tak drobné úpravě fyzikálních rovnic nepotřebovalo.“ (Tipler. F Albert Einstein: Vědecký reakcionář. Můj Einstein. Edit. John Brockman. Praha. Pragma s )

Vztah mezi modelem a realitou je vícevrstevnatý, tj. nekonfrontujeme matematicky definovaný model s realitou jako takovou, ale s pojmovým modelem reality, který sám má několik úrovní, přičemž lze rozlišit zejména: - Tu rovinu, která odpovídá empirickému popisu reality, přičemž i tento empirický popis reality odpovídá určitým teorií zdůvodněným představám o tom, co se v dané oblasti reality odehrává. - Tu rovinu, do které je „vtištěna“ struktura vztahů podchycených a odhalených matematicky definovaným modelem.

Z hlediska té oblasti společenské reality, která nás zajímá, jsme se snažili postihnout následující: 1. To, jak je dění uvnitř různých systémů, v nichž se nachází několik aktérů, ovlivněno vytvářením koalic, které zvýhodňují ty, kteří se stanou členy vítězné koalice, a diskriminují ostatní. 2. To, jakou roli hraje neadekvátní hodnocení výkonu jednotlivých hráčů ve výkonu celého systému. Pozor! Zde je skrytě obsaženo několik předpokladů: - Ochrana „starých a mladých“ – systémy sociálního pojištění a investování. - Jiné možnosti „vytáhnout“ výnosy (viz dále paralelní hry). - Možnost plné komplementarity výkonů – srov. Dlouhý, Široký a Bystrozraký.

Část 2: Elementárníredistribučnísystém

Základní parametry (upřesněné) - x 1, x 2,...x N jsou výplaty jednotlivých hráčů (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o proměnné x, y, z); - e 1, e 2,...e N závisí na výkonnosti hráčů, je to velikost odměny (výplaty), kterou by hráč dostal, pokud by byl odměněn podle své výkonnosti (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o hodnoty 6, 4, 2); - d 1, d 2,...d N jsou nejmenší možné výplaty jednotlivých hráčů (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o hodnotu rovnou 1 pro každého hráče).

Redistribuční rovnici pak můžeme přepsat následujícím způsobem: x 1 + x x N = E - η.R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) kde: x 1 + x x N je součet výplat jednotlivých hráčů; E = e 1 + e e N je maximální částka, která by mohla být rozdělena, pokud by výkon redistribučního systému byl maximální, což znamená, že by nedocházelo k redistribuci a rozdělení výplat by tedy proběhlo podle výkonnosti, R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) je funkce vzdálenosti rozdělení skutečných výplat od výplat podle výkonu. η je parametr citlivosti poklesu výkonnosti systému v důsledku odchylky výplat od výkonnosti hráčů (tj. předpokládá se lineární závislost na funkci vzdálenosti).

Jeden z rozdílů běžně uvažovaných koaličních her s N hráči a Teorie redistribučních systémů: Při koeficientu η = 0 může jít za určitých podmínek i o případ běžné koaliční hry N hráčů. Z geometrického hlediska v dosud uvažovaných koaličních hrách 3 hráčů můžeme představit množinu všech maximálně možných redistribucí často jako rovinu v prostoru. V redistribuční hře je v důsledku vlivu členu η.R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) tato rovina zakřivená. To má při řešení některých úloh má významné důsledky.

Počítačové zobrazení redistribuční plochy

Vyjednávání s podbízením jednomu hráči (proč není tím nejjednodušším případem? – srov. s pohybem kolem středu) (Nenacházíme vždy a musíme zdůvodnit s něčím vnějším, porušuje symetrii.)

Nestabilita vyjednaných rozdělení

Diskriminační rovnováha

Rovnice diskriminační rovnováhy 1 + y + z = 12 - η.R(5; y - 4; z - 2) x z = 12 - η.R(x - 6; 3; z - 2) x + y + 1 = 12 - η.R(x - 6; y - 4; 1) (x - 6) 2 + (y - 4) 2 + (z -2 ) 2 (x - 6) 2 + (y - 4) 2 + (z -2 ) 2

Kdy vyjednávání konverguje k jednotlivým typům diskriminační rovnováhy? Vyjednávací trajektorie:

Vyjednávací trajektorie počítačově a schématicky - ab, ac, bc = navržené dohody - Indexy – pořadí vzniku návrhů - modré body = diskriminační rovnováhy - lomená čára – postup vyjednávání ab 1 ab 1 ab 2 ab 2 ab 3 ab 3 bc 2 bc 2 bc 1 bc 1 ac 1 ac 1 ac 2 ac 2

Chování v případě tří hráčů bylo definováno takto: 1. Každý z hráčů se snaží dosáhnout maximální výplatu (to je jeho preferencí). 2. Návrh na uzavření koalice a rozdělení výplat dává vždy ten hráč, který je diskriminován (to je hlavní pravidlo, které lze různým způsobem konkretizovat). 3. Každý z hráčů v každém kole vyjednávání a při jednání s každým hráčem uplatňuje stejný princip rozdělení výplat mezi sebe a koaličního hráče, např. tak, že dělí výplaty to, co mohou získat diskriminací třetího hráče ve stejném poměru. (Zde princip stability a rovnosti lze chápat jako pravidlo, konkrétní způsob dělení jako strategii.) 4. Návrh na uzavření koalice a rozdělení výplat dává hráč, který je na tahu (tj. ten, který je v souladu s výše řečeným diskriminovaný) tomu hráči, se kterým může dosáhnout větší výplaty (to je jedna z možných strategií). Jedná se o jednu z mnoha možných typů strategií, které konvergují k oscilaci mezi třemi diskriminačními rovnováhami.

Část 3: Lze něco z toho ověřit měřením? Ověření výsledků pomocí experimentu nebo toho, že se osvědčuje jako „bojové umění“?

Posuny Nashovy rovnováhy Různými barvami jsou vyznačeny různé typy rovnováhy Co ovlivňuje či může ovlivnit posuny jednotlivých typů rovnováhy? (A jak se to projevuje při vyjednávání?)

Rozšíření elementárního modelu Počet hráčů větší než tři. Počet hráčů větší než tři. Změna výkonnosti hráčů. Změna výkonnosti hráčů. Změna počtu hráčů (meziorganizační migrace). Změna počtu hráčů (meziorganizační migrace). Různá velikost vlivu na výsledek hry. Různá velikost vlivu na výsledek hry. Existence konkurenčního prostředí. Existence konkurenčního prostředí. Opakování hry, závislost výplat na výsledku předcházejícího kola hry. Opakování hry, závislost výplat na výsledku předcházejícího kola hry. Závislost velikosti vlivu na výsledek hry na výplatě v předcházejícím kole. Závislost velikosti vlivu na výsledek hry na výplatě v předcházejícím kole. Změna průměrné výkonnosti hráčů. Změna průměrné výkonnosti hráčů. Změna cílové orientace hráčů při vytváření koalic. Změna cílové orientace hráčů při vytváření koalic. Hierarchická redistribuce. Hierarchická redistribuce. Omezení znalosti parametrů hry jednotlivými hráči. Omezení znalosti parametrů hry jednotlivými hráči. Existence vlivného dosazeného správce – zevnitř organizace či zvenku. Existence vlivného dosazeného správce – zevnitř organizace či zvenku.

Meziorganizační migrace - názorně (1;y;1)Původnírovnováhy DR DR (x;1;1) (1;1;z)

Příklad: Meziorganizační migrace Parametr d (0 < d < x max = největší hodnota, kterou může hráč A získat) d + y + z = 12 - η.R(a; y - 4; z - 2) x z = 12 - η.R(x - 6; 3; z - 2) x + y + 1 = 12 - η.R(x - 6; y - 4; 1)

Meziorganizační migrace - posuny (d;y;1) (d;y;1)Novérovnováhy (x;1;1) (x;1;1) (d;1;z) (d;1;z) (Tyto posunu již lze porovnat s děním v realitě – dvě formy ověření.)

Odhalení síťových vazeb Systematickými posuny výsledků vyjednávání od očekávání o sobě zpravidla dává vědět existence vnějších vlivů v podobě síťového propojení jednotlivých hráčů s prostředím, resp. existence skrytých křížových koalic mezi jednotlivými redistribučními systémy. (Tak to bylo viděno před časem, nyní již přesnější pohled na věc. Ukázalo se totiž, že je možné, ale i nutné řešit ještě jiný typ úloh.)

Část 4: Odhalení bodu společně přijatelné rovnováhy a paralelních redistribučních her

Počítačový model systému:

Velmi důležité otázky: 1. Může se hra „pozvednout“ z vytváření plně diskriminujících koalic (v nichž jeden hráč má vždy nejmenší možnou výplatu) k vytváření koalic, kdy i diskriminovaný hráč dostane výplatu vyšší (a v procesu vyjednávání rostoucí)? 2. Může a případně jak a jak konvergovat proces vyjednávání k rovnováze, ve které není nikdo diskriminován? Tj. společně přijatelné rovnováze? (Jde o to „vytáhnout“ základní – elementární – typy strategií vyjednávání z „platónské říše idejí“.)

Oblast paretovských zlepšení x x x x x x x xx Který z bodů je „ten „pravý“, tj. ten, na kterém se hráči dohodnou? A existuje vůbec takový? Existuje cesta k dohodě?

Co dříve či později zjistí jeden každý hráč? - Když navrhne každému z hráčů výplatu, která se bude rovnat součtu dvou větších výplat ve vítězné koalici plus výplata jedna (pokud by byl diskriminován), to vše zprůměrováno (tj. děleno třemi), pak jeho vlastní výplata bude vyšší než jeho průměrná výplata. - Tj. může navrhnout paretovské zlepšení (všichni si polepší a on sám nejvíce). (Ale – proč k tomu v realitě nedochází?!)

Výsledky, které byly analýzou elementárního redistribučního systému získány, lze ve stručnosti formulovat takto: 1. Pokud hráči v elementárním redistribučním systému volí strategii zaměřenou na vytváření diskriminujících koalic (dva hráči vytvoří koalici, ve které si na úkor třetího hráče zvyšují svoji výplatu), konverguje systém k oscilaci mezi třemi diskriminačními rovnováhami). 2. Hráči mohou dosáhnout paretovského zlepšení oproti situaci vyúsťující ke konvergenci systému k oscilaci mezi třemi diskriminačními rovnováhami, přičemž příslušnou strategii vyjednávání lze definovat a její smysl je intuitivně zřejmý. Příslušná strategie vede k dosažení bodu společně přijatelné rovnováhy – ten je v elementárním redistribučním systému jediný a vykazuje řadu vlastností, které jsou zajímavé z čistě matematického hlediska a patrně i z hlediska standardních úloh teorie her.

Proč nepozorujeme dostatečné „tíhnutí“ ke společně přijatelné rovnováze?

Vlastnosti bodu společně přijatelné rovnováhy: (Formulujeme jako hypotézu, že některé z příslušných – matematicky dokazatelných – vět platí.) 1. Výsledek určité strategie vyjednávání. 2. Výsledek postupného vyjednávání (systém „matroška“) 3. Výsledek řešení soustavy tří redistribučních rovnic po dosazení poměru průměrných výplat hráčů. 4. Průsečík prodloužení spojnice bodu (0; 0; 0) a bodu se souřadnicemi průměrných výplat s redistribuční plochou. 5. Dotyk kuloplochy kolem bodu se souřadnicemi průměrných výplat a redistribuční plochy. 6. Průsečík všech tří diskriminačních linií. (A co dál? – Paralelní redistribuční hry, ale to již je na jiný podvečer. Proč?)

Rozšířenou soustavu redistribučních rovnic pro případ paralelních redistribučních her lze formulovat takto: Σx0j =Σe0j -η0.R0(X0 - E0) - Σπi Σxij, jj i j kde: i = 1, 2,... M jsou jednotlivé paralelní redistribuční hry, v případě j = 0 se jedná o původní redistribuční hru j = 1, 2,... N je index vztahující se k hráčům (označuje to, co se týká prvního, druhého atd. hráče) a N je celkový počet hráčů xij je výplata j-tého hráče v i-té paralelní hře Σxij je součet výplat všech hráčů z i-té (základní v případě i = 0, v ostatních jpřípadech paralelní) redistribuční hry eij je výplata j-tého hráče v i-té paralelní hře podle jeho výkonnosti v této paralelní hře ηi koeficient snížení výkonnosti v základní redistribuční hře Xi - Eivektor (xi1 - ei1; xi2 - ei2;.... xiN - eiN), tj. vektor rozdílů mezi výplatou podle výkonnosti hráče a jeho skutečnou výplatou v i-té paralelní hře Ri(Xi - Ei) funkce snížení výnosu z i-té paralelní hry v důsledku odchylky výplat od výkonností hráčů (přičemž jde o výkonnost dle požadavků příslušné paralelní redistribuční hry) πi koeficient vlivu velikosti výplat hráčů v i-té paralelní redistribuční hře na snížení výplat v základní redistribuční hře (No a to už by skutečně bylo moc)

První výsledky publikovány v monografii: Valenčík, R. Teorie her a redistribuční systémy 1. vydání. Praha, VŠFS – Eupress, 120 s. ISBN Září 2008.

Děkuji za pozornost (Marathon) – výzkum – Teoretický seminář EPS ACTA VŠFS

Část 5: Pokud by přece jen někoho zajímalo, co dál – paralelní redistribuční hry

Rozšířenou soustavu redistribučních rovnic pro případ paralelních redistribučních her lze pak číst takto: - V základní redistribuční hře se součet výplat hráčů (Σx0j sečteno po j) rovná tomu, kolik by mohli dostat, pokud by měli výplaty podle své výkonnosti (Σe0j sečteno po j), ovšem sníženo v důsledku odchylky výplat hráčů od výkonnosti hráčů (η.R(X0 - E0)) a dále pak o negativní vliv paralelních redistribučních her na celkovou výkonnost základního redistribučního systému (Σπi Σxij sečteno po j a i). - V i-té paralelní redistribuční hře se součet výplat hráčů (Σxij sečteno po j) rovná tomu, kolik by mohli dostat, pokud by měli výplaty podle své výkonnosti (Σeij sečteno po j), ovšem sníženo v důsledku odchylky výplat hráčů od výkonnosti hráčů (η.R(Xi - Ei)), přitom negativní vliv paralelních redistribučních her na výkonnost kteréhokoli jiného redistribučního systému neuvažujeme (pokud by byla do určité paralelní redistribuční hry vložena další, pak by bylo snadné příslušnou soustavu příslušným způsobem rozšířit, resp. hierarchizovat).

Predeterminace diskriminačních rovnováh: 1. Působení paralelních redistribučních her a existence paralelních redistribučních systémů. Paralelní redistribuční systém existuje v rámci daného redistribučního systému, vytváří jej část hráčů tohoto systému, kteří se snaží různým způsobem zvýšit svoje výplaty odlišným způsobem než formou vytvoření diskriminující koalice (např. formou braní úplatků, jednáním ve prospěch jiného redistribučního systému spojenou se záměrným poškozováním vlastního redistribučního systému apod.). Tyto paralelní redistribuční hry lze poměrně přesně popsat. 2. Narušení institucionálního rámce. 3. Tvorba křížových koalic, tj. koalic mezi různými redistribučními systémy. Od těchto křížových koalic se odvíjí vytváření sociálních sítí, které jsou schopny přenášet vliv (daný pozicí některých hráčů) z jednoho redistribučního systému do druhého. Tím jsou současně přenášeny (či vnášeny) paralelní redistribuční systémy z jednoho systému do druhého. 4. Role replikátorů v komunikačním (vyjednávacím) prostoru. Pod replikátorem chápeme to, co uchovává svoji identitu a má schopnost se při komunikaci přenášet „z hlavy do hlavy“ (známe je i pod označením memy či memplexy).

Lze například dokázat následující tvrzení?: Ve vítězné koalici v původní redistribuční hře musí existovat (musí být do této hry začleněni) hráči, kteří pobírají výplatu jen z původní redistribuční hry. Jednou z příčin může být, že nejsou o paralelní redistribuční hře informováni. Pokud by tomu tak nebylo, tak hráči schopni vytvořit vítěznou koalici původní redistribuční hře, by si pohoršili oproti svým výplatám, které by mohli získat v této původní redistribuční hře. Zde je nutná mnohem důslednější formalizace, závěr (za přesně definovaných předpoklad) však může mít velkou praktickou hodnotu.

Jiný příklad: Pokud se v systému hraje více paralelních her (např. hlavní a vedlejší paralelní hra), mohou být hráči ve vítězné koalici v původní redistribuční hře, kteří umožňují hrát hlavní redistribuční hru, odměněni (uspokojeni) tím, že je jim umožněna hrát vedlejší redistribuční hra, aniž by byli informováni o dominantní paralelní hře. S tím souvisí otázka: Kdy je efektivnější pro informované hráče v dominantní redistribuční hře použít korupci formou zapojení do diskriminující koalice a kdy umožněním paralelní redistribuční hry?

Metodologického hlediska za zmínku stojí určitá analogie (a možná více než analogie) mezi výzkumem „skutečných“ černých děr (tj. těch, kterými se zabývají astrofyzikové či kvantoví fyzici) a černých děr ve společnosti. Zkoumání černých děr ve fyzice je jedním z nejzajímavějších či dokonce fascinujících případů toho, jak mezi sebou dokážou spolupracovat dost odlišné (a dokonce ve svých základech neslučitelné) teoretické disciplíny – jmenovitě obecná teorie relativity, kvantová mechanika, termodynamika a teorie informací. Možná (a lze to považovat za velmi pravděpodobné), že právě při zkoumání černých děr reforem budou mezi sebou obdobně spolupracovat teorie paralelních redistribučních her, teorie role institucionálního rámce, teorie sociálních sítí a teorie memů. Nutnou podmínkou je ovšem velmi přesně vybudovaný teoretický koncept v podobě matematických základů teorie redistribučních systémů.