Stochastické modely –úvod Skripta: Ludmila Dömeová: Stochastické modely I Definice stochastického procesu jako funkce 2 proměnných Realizace stochastického procesu Průsek stochastického procesu Některé typické stochastické procesy – diskrétní a spojité v čase v náhodné veličině Řetězce

Definice stochastického procesu X(t) = F(t,e) e… náhodný jev t… nenáhodná veličina (obvykle čas) Realizace náhodného procesu je nenáhodná funkce: Průsek stochastického procesu je náhodná veličina:

Průsek a realizace stochastického procesu

Členění stochastických procesů e t Diskrétní spojité Spojité spojité Spojité diskrétní Diskrétní diskrétní Spojitá náhodná posloupnost Spojitý náhodný proces Diskrétní náhodný proces Diskrétní náhodná posloupnost = řetěz

Charakteristiky stochastických procesů Střední hodnota=střední hodnotě odpovídajícího průseku Rozptyl =rozptylu odpovídajícího průseku Pulsace=centrovaný stochastický proces Korelační funkce Normovaná korelační funkce=korelační koeficient

čas 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 pondělí 5 6 20 22 25 úterý 4 středa průměr 12,7 5,7 9,3 14,3 17,3 19 22,3 Střední hodnota stochastického procesu

Bernoulliho posloupnost n…počet nezávislých pokusů celkem k…počet pokusů při nichž nastane jev A p… pravděpodobnost, že nastane jev A q=1-p…pravděpodobnost, že jev A nenastane Pravděpodobnost, že se jev A uskuteční právě k-krát je:

Bernoulliho posloupnost –příklad 1 Vypočítejte pravděpodobnost, že při 10 hodech minci padne právě 5x orel. p=0,5 p…pravděpodobnost, že padne orel při jednotlivém hodu q…pravděpodobnost, že nepadne orel q=1-0,5=0,5 n=10 k=5

Bernoulliho posloupnost –příklad 1

Bernoulliho posloupnost – příklad 1       p k p0 0,001 1 p1 0,0098 10 0,5 p2 0,0439 2 45 0,25 p3 0,1172 3 120 0,13 0,01 p4 0,2051 4 210 0,06 0,02 p5 0,2461 5 252 0,03 p6 6 p7 7 p8 8 p9 9 p10

Bernoulliho posloupnost –příklad 2 Vypočítejte pravděpodobnost, že při 3 hodech kostkou padne alespoň jedna šestka. p=1/6 p…pravděpodobnost, že padne šestka při jednotlivém hodu q…pravděpodobnost, že nepadne šestka Budeme sčítat pravděpodobnosti, že padne 1, 2 nebo 3 šestky. q=1-1/6=5/6 n=3 k>=1

Bernoulliho posloupnost –příklad 2

Pravděpodobnost, že nastane alespoň jedna událost v čase x. Poissonův proces Čítací (diskrétní) proces, který zkoumá počet určitých jevů v daném intervalu. Pravděpodobnost, že nastane alespoň jedna událost v čase x. Distribuční funkce pro intervaly po sobě jdoucích událostí je exponenciální. Xn…čas, který uplyne mezi (n-1) výskytem a n-tým výskytem e… základ přirozeného logaritmu λ...intenzita Poissonova procesu

Xn x Událost nenastala Časový interval x S1 okamžik první události S2 S4 S3 S5 X1 X2 Xn

Vlastnosti homogenního Poissonova procesu (elementární proces) Stacionarita (homogenita) Nezávislé přírůstky (beznáslednost) Ordinarita

Výpočty pravděpodobností Pravděpodobnost, že v čase t nastane právě k událostí 0! …=1 (cokoli)0=1 Pravděpodobnost, že v čase t nenastane žádná událost

Výpočty pravděpodobností Pravděpodobnost, že v čase t nastane nejvýše k-1 událostí Pravděpodobnost, že v čase t nastane alespoň k událostí

Výpočty pravděpodobností - příklad Autobus č.1 jezdí průměrně 6x za hodinu. Autobus č. 2 jezdí průměrně 10x za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut pojede alespoň 1x autobus č.1 Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut pojede alespoň 1x autobus č.2 Jaká je pravděpodobnost, že pojedou oba ? Jaká je pravděpodobnost, že nepojede žádný?

pp, že pojedou oba:0,4511.0,632=0,2852 pp,že nepojede žádný: intenzita provozu t e autobus 1 6 0,1 2,718 0,5488 0,4511 autobus 2 10 0,3678 0,6321 pp, že pojedou oba:0,4511.0,632=0,2852 pp,že nepojede žádný: (1-0,4511)(1-0,6321) =0,2018 Pojede aspoň jeden ?

Spojování a rozdělování Poissonovských procesů Spojený poissonovský proces má intenzitu   Intenzit provozu t e  nepojede  Pojede aspoň jeden autobus 1 6 0,1 2,7182 0,5488 0,4511 autobus 2 10 0,3678 0,6321 alespon jeden 16 0,2018 0,7981

Příklad Skupinová taxi čekají na zákazníky u nádraží. Příchod potenciálních pasažérů je poissonovský s intenzitou 30 za hodinu. Taxi odjíždí, jakmile nastoupili 4 zákazníci nebo od nastoupení prvního uplynulo 10 minut. Předpokládejte, že jste druhým pasažérem. Jaká je pravděpodobnost, že budete do odjezdu taxi čekat 10 minut?

10 minut budu čekat, jestliže během 10 min nastoupí nejvýše jeden pasažér (nikdo nebo jeden) Č.2 Č.1 Č.3 Už sedí já přišel Č.4 nepřišel

Pravděpodobnost, že taxi nebude čekat na 4 Pravděpodobnost, že taxi nebude čekat na 4. pasažéra a odjede po 10 minutách ne zcela zaplněné je přibližně 4 procenta.