FII-4 Elektrické pole

Hlavní body Vztah mezi potenciálem a intenzitou Gradient Elektrické siločáry a ekvipotenciální plochy Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli

Sféricky symetrické pole I Sféricky symetrické pole, např. pole bodového náboje je další důležitý typ pole, kde může být vztah mezi potenciálem  a intenzitou E snadno ilustrován. Mějme bodový náboj Q v počátku. Již víme, že intenzity jsou radiální a pole má kulovou symetrii :

Sféricky symetrické pole II Velikost intenzity E závisí pouze na poloměru r Přesuňme testovací jednotkový náboj q z nějakého bodu A do jiného bodu B. Změna potenciálu závisí pouze na tom jak se změnil radius tedy vzdálenost od centrálního náboje. Je tomu tak proto, že během posunu při konstantním poloměru se nekoná práce.radius

Sféricky symetrické pole III Závěr : Potenciál  sféricky symetrického pole závisí pouze na poloměru r a klesá s jeho reciprokou hodnotou, tedy jako 1/r Přesuneme-li v tomto poli náboj q, musíme opět brát v úvahu jeho potenciální energii

Obecný vztah Obecný vztah je analogický jako u gravitačního pole: Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Gradient Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

Vztah v homogenním poli V homogenním poli se potenciál může měnit pouze podél siločar. Ztotožníme-li tento směr s osou x našeho souřadněho systému, obecné vztahy se zjednodušší na :

Vztah v centrosymentrickém poli V centrosymetrickém poli se obecný vztah zjednodušší na : Tento vztah může být například užit pro ilustraci obecného tvaru potenciální energie a jeho vliv na síly mezi částicemi hmoty.

Ekvipotenciální plochy Ekvipotenciální plochy jsou plochy, na kterých je potenciál konstantní. Pohybuje-li se nabitá částice po ekvipotenciální ploše, je práce vykonaná polem i vnějším činitelem rovna nule. To je možné jen ve směru kolmém k siločarám.

Ekvipotenciální křivky a siločáry Každé elektrické pole můžeme zviditelnit soustavou ekvipotenciálních křivek, což jsou průsečíky ekvipotenciálních ploch s nákresnou, a siločar. V homogenním poli jsou ekvipotenciální křivky přímky kolmé k siločárám. V centrosymetrickém poli jsou ekvipotenciální křivky kružnice se středem v náboji a siločáry jsou radiály. Reálná a imaginární část obyčejných komplexních funkcí má vztah stejný.

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. Z druhého Newtonova zákona : V nerelativistickém případě :

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. 1. elektron, positron |q/m| = C/kg 2. proton, antiproton |q/m| = C/kg (1836 x) 3.  -částice (He jádro) |q/m| = C/kg (2 x) 4. Další ionty … Akcelerace elementárních částic může být obrovská! obrovská Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostírelativistických

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli III Problémy lze řešit buď přes síly nebo energie. Postup přes energie je obvykle pohodlěnjší. Využívá zákon zachování energie a faktu, že v elektrostatickém poli existuje potenciální energie.

Pohyb... IV energetický přístup Je-li volná nabitá částice v určitý okamžik v bodě A elektrostatického pole a za nějakou dobu v libovolném bodě B, musí mít v obou bodech stejnou celkovou energii bez ohledu na čas, dráhu a složitost pole :

Pohyb... V energetický přístup Změny potenciální energie tedy musí být kompenzována změnami energie kinetické Ve fyzice vysokých energií se často používá jako jednotka energie 1 eV. 1eV = J.

Homework The homework from yesterday is due Monday!

Things to read Chapter 21-10, 23-5, 23-8

Potenciál centrosymetrického pole A->B Dosadíme za E(r) a integrujeme : Vidíme, že  se chová jako 1/r ! ^

Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os. Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun dl.

Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun dl paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

Zrychlení elektronu Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = V/m ? a = E q/m = = ms -2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s 2 ] ^

Relativistické efekty při urychlování elektronu Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= ms -2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv 2 /2 = q V V=mv 2 /2e= / = 2.5 kV ! ^

Relativistický přístup Při relativistických rychlostech musíme použít slavnou Einsteinovu rovnici : E je celková a E K kinetická energie, m je relativistická a m 0 klidová hmotnost ^