CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ 16. a ½. PŘEDNÁŠKA Problém listonoše © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2010

….. pokračování o „Teorie rozhodování“ ☺ CW05 POKRAČOVÁNÍ ….. pokračování o „Teorie rozhodování“ ☺ Březen 2010

GRAFICKY PREZENTOVATELNÉ PROBLÉMY ŘEŠITELNÉ OPTIMALIZACÍ CW05 GRAFICKY PREZENTOVATELNÉ PROBLÉMY ŘEŠITELNÉ OPTIMALIZACÍ ANALÝZA PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Listonoš musí denně projít všechny ulice svého obvodu a vrátit se na místo, odkud vyšel. Jde o to, aby cesta byla co nejkratší a aby zbytečně neprocházel některými ulicemi dva- či více-krát.. Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Obcházený obvod je souvislý ohodnocený graf: hrany jsou ulice ohodnocené délkou uzly jsou rozcestí. Úloha je o hranově ohodnoceném grafu. Hledá se nejkratší uzavřený sled průchodu všemi hranami. Sled obsahuje alespoň (minimálně) jednou každou hranu grafu. Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Listonoš to má nejsnazší, pokud je graf eulerovský (všechny uzly mají sudý stupeň). Pak muže procházet obvodem tak, jako by kreslil graf jedním tahem. Viz známá úloha o kreslení lucerny jedním tahem. Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE To znamená, že každou ulici projde právě jednou a nakonec se vrátí na to místo, odkud vyšel. Taková cesta je zřejmě ze všech možných cest (možných průchodů) nejlepší. Žádnou ulicí neprochází vícekrát. Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Neexistuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah (tj. v grafu jsou i uzly lichého stupně), pak uzavřený sled pokrývající všechny hrany (tj. průchody ulicemi) musí procházet některými hranami vícekrát. Je vhodná i nezbytná minimalizace vícekrát procházených hran např. vhodná je metoda nejlevnějšího párování. Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Například pro graf na obrázku: Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE bude řešením cesta: a − b − f − d − f − b − g − d − c − g − a − e − c − e − a 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 34 Leden 2010

PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE CW05 PROBLÉM ČÍNSKÉHO LISTONOŠE Proč se tato úloha takto jmenuje? Výraz „problém čínského listonoše“ vznikl ne zcela přesným překladem z angličtiny, ale vžil se natolik, že se stále používá. Ve skutečnosti však jde o „čínský problém listonoše“, protože jeho autorem je čínský matematik Kwan. Leden 2010

PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Leden 2010

PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Máme k měst se známou vzdáleností mezi nimi. Cestující se vydá na cestu z jednoho z nich tak, že navštíví všechna ostatní města, každé právě jednou, a vrátí se do výchozího města. Jde o to, aby cesta byla co nejkratší. Leden 2010

Úloha je o uzlově ohodnoceném grafu. CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Hledá se nejkratší hamiltonovská kružnice v úplném grafu: uzly jsou města hrany jsou přímo ohodnocené vzdálenosti. Úloha je o uzlově ohodnoceném grafu. Hledá se nejkratší uzavřený sled průchodu všemi uzly. Sled obsahuje alespoň (minimálně) jeden každý uzel grafu. Leden 2010

Pak může procházet obvodem tak, jako by kreslil graf jedním tahem. CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Obchodní cestující to má nejsnazší, pokud je graf obklopen hamiltonovskou kružnicí. Pak může procházet obvodem tak, jako by kreslil graf jedním tahem. Leden 2010

CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO To znamená, že každé město navštíví právě jednou a nakonec se vrátí na to místo, odkud vyšel. Taková cesta je zřejmě ze všech možných cest (možných průchodů) nejlepší. Žádným městem neprochází vícekrát. Leden 2010

Například pro graf na obrázku: CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Například pro graf na obrázku: Leden 2010

Je dána matice délek hran ohodnoceného grafu na předchozím obrázku. CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Příklad: Je dána matice délek hran ohodnoceného grafu na předchozím obrázku. 0 pro i = j A = (aij) = { xij délka nejkratší hrany z i do j  když hrana z i do j neexistuje. Leden 2010

Matice délek hran: CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO a b c d e f A 4 4 10 18 5 B 12 8 2 6 C 16 D 14 E F Leden 2010

Pro daný úplný graf má řešení problému obchodního cestujícího: CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Pro daný úplný graf má řešení problému obchodního cestujícího: a − c − d − f − b − e − a 10 + 4 + 6 + 6 + 2 + 5 = 33 Přitom např. cesta po obvodu dá v součtu 60. Leden 2010

CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Při řešení těchto úloh se používá tak zvaná metoda větvení a mezí (Branch and Bound Method). Je to iterační metoda pro hledání globálního extrému funkce f na množině přípustných řešení M. Leden 2010

Je založena na opakování následujících dvou operací: CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Je založena na opakování následujících dvou operací: – větvení, při němž se nejprve množina M, později její vybraná podmnožina, rozkládá na po dvou disjunktní podmnožiny – omezování, při němž se pro každou pod-množinu získanou předchozí operací určuje dolní (při minimalizaci), resp. horní (při maxi-malizaci) mez hodnot funkce f na této pod-množině. Leden 2010

Takové řešení je optimální. CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Postup rozkladu množiny M se dá znázornit stromem, jehož uzly odpovídají jednotlivým podmnožinám. Pro další rozklad se volí podmnožina s nej-nižší dolní, resp. nejvyšší horní mezí. Cílem je najít takové přípustné řešení, pro než hodnota funkce f není vetší než dolní meze, resp. není menší než horní meze dosud nerozložených podmnožin. Takové řešení je optimální. Leden 2010

- rozvoz zboží ze skladu na místa spotřeby CW05 PROBLÉM OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Užití úlohy: - rozvoz zboží ze skladu na místa spotřeby - minimalizace přesunu součástek mezi místy jejich zpracování – např. při vrtání děr obrá-běcími stroji. Leden 2010

…..… Informace k „ Teorii rozhodování “ pokračují …… cw05 – 16 l CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace k „ Teorii rozhodování “ pokračují …… …..… cw05 – 16 l březen 2010

CW05 ……… Březen 2009