FII-2 Gaussova věta 6. 7. 2003
Hlavní body Tok elektrické intenzity. Gaussova věta. Hustota náboje. Užití Gaussovy věty k výpočtu pole Bodového náboje Nekonečného nabitého drátu Nekonečné nabité roviny Dvou nekonečných nabitých rovin 6. 7. 2003
Tok elektrické intenzity Tok elektrické intenzity je definován jako : . Popisuje množství elektrické intenzity , která proteče kolmo ploškou , která je popsána svým vnějším normálovým vektorem . Ploška musí být tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní. Zopakujme si skalární součin. 6. 7. 2003
Gaussova věta I Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích. 6. 7. 2003
Gaussova věta II V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit. Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2. Skalárním součinem je ošetřena vzájemná poloha siločar a plošek. 6. 7. 2003
Gaussova věta III Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. Je-li celkový uzavřený náboj kladný, více siločar vystoupí než vstoupí. Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný, více siločar vstoupí než vystoupí. Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. Nekonečno může být i zdrojem i propadlem. 6. 7. 2003
Gaussova věta VI Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon. Dokonce je obecnější! Gaussova věta je užitečná : pro teoretické úvahy V případech speciální symetrie 6. 7. 2003
Hustota náboje V reálných situacích obvykle nepracujeme s bodovými náboji, ale s nabitými tělesy. Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy náboj na jednotku plochy nebo délky, podle symetrie problému. Hustota může být obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny (desky). 6. 7. 2003
Pole bodového náboje I Jako Gaussovu rovinu volíme povrch koule, v jejímž středu je bodový náboj. Intenzita je v každém bodě kolmá k ploše, takže je paralelní (nebo antiparalelní) s její vnější normálou. Navíc je její velikost na celé ploše konstantní. Tedy : 6. 7. 2003
Pole bodového náboje II Pro intenzitu tedy dostáváme stejný vztah jako z Coulombova zákona : Zde je patrný důvod, proč se v Coulombově zákoně objevuje člen 6. 7. 2003
Nekonečný rovnoměrně nabitý drát I Nekonečný vodivý drát z rovnováze musí být nabit rovnoměrně a stav jeho nabití tedy můžeme popsat hustotou náboje, tedy nábojem na jednotkovou délku. Obě veličiny vpravo mohou být nekonečné, ale jejich poměr může být konečný. Drát je osou symetrie problému. 6. 7. 2003
Nekonečný rovnoměrně nabitý drát II Intenzita leží v rovinách kolmých k drátu a je radiální. Jako Gaussovu rovinu zvolíme povrch rotačního válce jisté délky L, souosého s drátem. Intenzita je v každém bodě kolmá k plášti válce, čili je paralelní (nebo antiparalelní) s vnější normálou každé plošky, kterou prochází. Současně je velikost intenzity na celém plášti konstantní. 6. 7. 2003
Nekonečný rovnoměrně nabitý drát III Tok podstavami je nulový, protože zde je vektor intenzity k normálám kolmý. Tedy : 6. 7. 2003
Nekonečný rovnoměrně nabitý drát VI Tím, že je jeden rozměr nabitého tělesa nekonečný, klesá intenzita pouze s první mocninou vzdálenosti. Opět bychom mohli získat stejný výsledek použitím Coulombova zákona, principu superpozice a integrací, ale bylo by to poněkud obtížnější! 6. 7. 2003
Nekonečná nabitá rovina I Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití, můžeme definovat plošnou hustotu náboje : Obě veličiny mohou být opět nekonečné, ale mít konečný podíl. Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině. 6. 7. 2003
Nekonečná nabitá rovina II Za Gaussovu plochu zvolíme opět válec, tentokrát kolmý k rovině, tak, aby ho půlila. Nenulový tok bude tentokrát jenom podstavami : 6. 7. 2003
Nekonečná nabitá rovina III Tentokrát intenzita nezávisí na vzdálenosti. Protože má všude i stejný směr, vytváří nekonečná nabitá rovina speciální takzvané homogenní pole. 6. 7. 2003
Dvě paralelní nabité roviny Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -. Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí? A) Ei= 0, Eo=/0 B) Ei= /0, Eo=0 C) Ei= /0, Eo=/20 6. 7. 2003
Homework The one from yesterday is due tomorrow! The next one you will get tomorrow. 6. 7. 2003
Things to read Giancoli: Chapter 22 6. 7. 2003
The scalar or dot product Let c=a.b Definition I. (components) Definition II. (projection) Can you proof their equivalence? ^
Gauss’ Law The exact definition: In cases of a special symmetry we can find Gaussian surface on which the magnitude E is constant and E is everywhere parallel to the surface normal. Then simply: ^
Infinite Wire by C.L.– die hard! E has only radial component Er: We have to substitute all variables to and integrate from 0 to : “Quiz”: What was easier? ^