M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 úvod do problematiky Metoda identifikace stavového modelu systému. Explicitní numerický algoritmus pro získání odhadů posloupnosti stavů a systémových matic ze vstupně/výstupních dat. Slovo „subspace“ vyjadřuje skutečnost, že posloupnost stavů systému může být přímo získána z řádkových a sloupových prostorů určitých matic vytvořených pouze ze vstupně výstupních dat. Jakmile jsou tyto stavy jednou známy je určení systémových matic A, B, C, D jednoduchým problémem řešitelným metodou nejmenších čtverců. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 3 cíl Z naměřených vstupně/výstupních dat: Určit řád systému a získat matice A, B, C, D stavového LTI modelu: kde Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 4 používané zkratky 4SID, S4ID Subspace State Space System IDentification N4SID Numerical 4SID Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 5 vlastnosti (1) Výhody: Minimální počet parametrů zadávaných uživatelem – zadáván pouze řád identifikovaného systému. K jeho určení navíc poskytuje dobrý odhad. Identifikuje přímo model s redukovaným řádem. Není tedy nutné nejprve identifikovat systém s vysokým řádem a následně použít metody redukce řádu. 4SID nejsou metodami iterativními, tudíž nemají potíže s konvergencí. Praktické realizace používají numericky robustní SVD a QR dekompozice s dobře známými vlastnostmi. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 6 vlastnosti (2) Nevýhody: 4SID nejsou určeny pro malé soubory dat. Jsou tedy špatně použitelné například v ekonometrii. Abstraktní metoda, jejíž kroky jsou obtížně fyzikálně interpretovatelné. Náročná rekurzivní implementace. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 7 Hiroshi Oku University of Twente, Netherlands Peter van Overschee Katholieke Universiteit Leuven, Belgium Bart De Moor Katholieke Universiteit Leuven, Belgium osobnosti 4SID Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 8 subspace vs. klasický přístup Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 9 nástroje pro subspace metody Subspace metody používají matematické nástroje z následujících oblastí: Geometrické nástroje: Ortogonální projekce Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection) Principiální směry a úhly Matematické nástroje: Řádkové prostory matic Rozklad na singulární čísla (SVD dekompozice) QR dekompozice Statistika Teorie systémů Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 10 řádkový prostor matice (Matrix Row Space) Řádkový prostor matice A o rozměrech (m,n), označovaný jako row(A) je prostor tvořený všemi lineárními kombinacemi (lineárním obalem) vektorů řádků matice A. Pro matici A o rozměrech (m,n) reprezentuje row(A) podprostor prostoru R n,který má dimenzi rank(A)=m. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr A =m x n n-dimenzionální prostor jeho m-dimen- zionální podprostor Pro matici A s plnou řádkovou hodností:

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 11 hankelovy matice Matice se stejnými prvky na vedlejších diagonálách. Konstruovány z posloupností. Hodnota prvku v Hankelově matici H na pozici (i,j) závisí pouze na součtu i+j: Například pro posloupnost dostaneme: Naměřená vstupně/výstupní data jsou pro použití algoritmů Subspace Identification naplněna do Hankelových matic. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 12 hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (1) i … počet blokových řádků, musí být větší než řád odha- dovaného systému (postačuje větší než index pozorovatelnosti) j … počet sloupců je typicky roven s-2i+1, kde s je počet vzorků Indexy U 0|2i-1 označují první a poslední prvek v prvním sloupci Hankelovy matice. j i “past” “future” i Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 13 hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (2) UfUf Příklad vytvoření Hankelovy matice dat z posloupnosti vstupů: naměřeno 200 vzorků UpUp Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Tyto matice pak reprezentují řádkový podprostor ve 180-ti rozměrném prostoru.

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 14 hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (3) Matice U p (minulé vstupy) a U f (budoucí vstupy) jsou definovány rozdělením matice U 0|2i-1 na dvě stejné části. Matice U p+ a U f- vzniknou posunutím hranice mezi minulými a budoucími daty o jednu blokovou řádku dolů. Hankelova matice výstupů Y 0|2i-1 je definována podobně. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 15 posloupnost stavů Posloupnost stavů X i je definována: kde index i označuje index prvního prvku v posloupnosti stavů. X i je matice o rozměrech (n, j) kde: v řádcích jsou časové posloupnosti jednoho stavu (ty tvoří vektory, se kterými 4SID metody pracují) ve sloupcích pak jsou hodnoty všech stavů pro daný časový okamžik. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 16 rozšířená matice pozorovatelnosti a řiditelnosti Rozšířená matice pozorovatelnosti  i je definována: Předpokládáme, že pár {A,C} je pozorovatelný, což znamená, že hodnost  i je rovna n. Předpokládáme, že pár {A,B} je řiditelný, což znamená, že hodnost  i je rovna n. Reverzovaná rozšířená matice řiditelnosti  i je definována: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 17 toeplitzova matice impulzní odezvy systému Toeplitzova matice impulzní odezvy systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 18 stavový model Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n): Pro deterministickou identifikaci budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu w k =0 a v k =0 Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z naměřených vstupně/výstupních dat: řád systému, posloupnost stavů a následně matice stavového modelu A, B, C, D. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 19 Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru. Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T. Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely. Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný. stavový model - nejednoznačnost Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 20 stavový model - nejednoznačnost Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů X i : jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice X i a Z i stejné. 4SID algoritmy tak nehledají konkrétní stavové posloupnosti X i, ale právě prostor generovaný řádky matice X i, jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost (lze nalézt pomocí SVD). Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 21 stavový model - maticový tvar (1) Stavový model lze přepsat do maticového tvaru: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím – spojují tak v sobě obvyklou rovnici aktualizace stavů a výstupní rovnici.

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 22 stavový model - maticový tvar (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr v prvním sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x 0 a posloupnost vstupů: v druhém sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x 1 a posloupnost vstupů: atd…

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 23 stavový model - maticový tvar (3) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 24 stavový model - maticový tvar (4) Geometrická interpretace Na násobení maticemi  i, H i, A i,  i zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak např. každý řádek matice Y f vzniká jako lineární kombinace řádků matic X f a U f. i. Xfi. Xf Hi. UfHi. Uf YfYf Xf Xf UfUf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 25 algoritmy deterministické identifikace Algoritmy 4SID identifikace využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic U p, U f, Y p, Y f, X p a X f popsaných maticovými rovnicemi systému. Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektorem vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Geometrické nástroje: Ortogonální projekce Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection) Principiální směry a úhly

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 26 ortogonální projekce (1) Ortogonální projekce řádkového prostoru do řádkového prostoru matice označovanou jako lze zapsat: kde značí Moore-Penrosovu pseudoinverzi. Výsledek projekce leží v řádkovém prostoru matice B a má stejný počet řádkových vektorů jako matice A. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 27 ortogonální projekce (2) Řádkový podprostor generovaný maticí lze ortogonální projekcí rozložit na dva vzájemně kolmé podprostory: kde Projekci lze dobře numericky realizovat pomocí LQ dekompozice. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 28 kosá (oblique) projekce (1) Matice A může být také dekomponována jako lineární kombinace dvou neortogonálních matic B a C a jejich ortogonálního doplňku. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 29 kosá (oblique) projekce (2) Kosá projekce řádkového prostoru matice podél řádkového prostoru matice do řádkového prostoru matice je definována: pouze prvních r řádků Základní vlastnosti: Pokud B=0 nebo řádkový prostor matice B je ortogonální k řádkovému prostoru matice C, pak platí: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 30 principiální úhly a směry (1) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory jsou zobecněním úhlu mezi dvěma vektory. A B a2a2 b2b2 22 a 1 =b 1  1 =0

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 31 principiální úhly a směry (2) Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory matic a a odpovídající principální směry a jsou rekurzivně definovány jako: s podmínkami: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 32 principiální úhly a směry – souvislost s SVD Principiální úhly a směry lze počítat pomocí SVD: Jsou dány dvě matice a a jejich SVD dekompozice: pak platí: 1.principiální směry mezi řádkovými podprostory matic A a B jsou rovny řádkům matic U a V T. 2.Kosiny principiálních úhlů mezi řádkovými podprostory matic A a B jsou rovny singulárním číslům matice  (diagonála matice ). Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 33 závěr Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V tomto semináři jsme: ukázali matematické nástroje používané metodami Subspace Identification V dalším semináři: ukážeme samotné algoritmy deterministické Subspace Identification jejich použití na jednoduchých příkladech a reálných datech