Moderních digitální bezdrátové komunikace UREL FEKT VUT v Brně DRE2 Moderních digitální bezdrátové komunikace

2 Teorie radiokomunikačních signálů část A – deterministické signály část B - stochastické signály

2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ Základní pojmy Signál Množiny signálů Rozklad množiny signálů

2.1.1. Základní pojmy Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [t0, x(t0)] Relace Relace je množina uspořádaných dvojic.

Kartézský součin A x B Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B. Zobrazení Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností: každý prvek x A je prvkem nanejvýš jedné uspo­řádané dvojice (x, y) R Prosté zobrazení Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B je zobrazení z B do A . je inverzní relace. Rozklad množiny Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Si tak, že každý prvek S je právě v jedné podmnožině (třídě).

Ekvivalence na množině Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně reflexivní, symetrická a tranzitivní ( ~x, x ~y y ~ x, x ~y y ~ z x ~ z ). Zápis množiny Rovnost S = {x; P} označuje, že S je množina všech x, které mají vlastnost P .

2.1.2. Signály Signály dělíme na signály se spojitým časem (zobrazení z množiny R) a signály s diskrétním časem (zobrazení z množiny Z). Signály číslicové jsou zobrazením z množiny Z do jisté konečné podmnožiny množiny Z. Jsou to posloupnosti čísel vyjádřených konečným počtem číslic.

2.1.3 Množiny signálů Množina omezených signálů Množina signálů s konečnou energií Pojem energie zde nutno chápat ne ve fyzikálním, ale v přeneseném slova smyslu. Obdobné je to i s pojmem výkon a dalšími pojmy u signálů s diskrétním časem. Množina signálů s konečnou dobou trvání (posloupnosti délky N)

Zobecnění množiny signálů s konečnou energií Prostor signálů s konečnou energii se označuje symbolem L2, jde-li o signály se spojitým časem a l2, jde-li o signály s diskrétním časem. Zobecněním lze zavést prostory Lp, jde-li o signály se spojitým časem a lp, jde-li o signály s diskrétním časem. Množiny signálů vyskytujících se v těchto prostorech lze zapsat takto

2.1.4 Rozklad množiny signálů Množina {S1, S2, …..} podmnožin S1, S2, ….. množiny S tvoří rozklad množiny S, jestliže platí:

2.1 ZOBRAZENÍ f: S1 →S3 Zobrazení z S1 do S2 f: S1 → S2 (y = f(x); S1, S2) D(f) je definiční obor zobrazení, H(f) je obor hodnot zobrazeni Je-li S1 = D(f) a S2 = H(f), jedná se o zobrazení S1 na S2. Zobrazení f z S1 do S2 je vzájemně jednoznačné zobrazení S1 na S2 právě když je f zobrazení prosté a zároveň zobrazení S1 na S2. Zobrazení složené f: S1 →S3 Libovolné zobrazení f: S1 → S2 generuje ekvivalenci x1~ x2 .

2.3 PROSTORY SIGNÁLŮ Metrické prostory Metriky

2.3.1 Metrické prostory Množina signálů s příslušně zavedenou vzdáleností je prostor signálů. Vzdálenost je funkcionál Nazývá se metrikou, má-li vlastnosti: jen když x = y , a) b) c) Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d). Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.

2.3.2 Metriky Množina uspořádaných n-tic čísel reálných nebo komplexních Příklady metrik: a) b) c) Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d). Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.

Množina reálných či komplexních funkcí času definovaných na intervalu Příklady metrik: a) b) c) U funkcí, které jsou si rovny skoro vždy, je

Množina reálných či komplexních posloupností délky N. Příklady metrik: b) c)

2.4 LINEÁRNÍ PROSTORY Definice Báze Normovaný lineární prostor Prostor se skalárním součinem Reprezentace vektorů

2.4.1 Definice Pro každý pár vektorů x a y existuje prvek (x + y) uvažované množiny takový, že a) b) c) množina obsahuje jediný vektor 0 takový, že x + 0 = x pro libovolné x pro libovolné x existuje jediný vektor (-x) takový, že x + (-x) = 0

B) Je dána množina prvků (skalárů) , které tvoří těleso (field) a operace (násobení vektoru skalárem ) přiřazující skaláru a vektoru x vektor tak, že a) b) 1x = x,    0x = 0 c) d)

2.4.2 Báze Lineární kombinací rozumíme výraz Množina všech lineárních kombinací vektorů tvoří lineární prostor. Vektory jsou lineárně nezávislé, když je jejich lineární kombinace rovna 0 jen když jsou všechny koeficienty

Bázi lineárního prostoru tvoří n lineárně nezávislých vektorů. Nechť M je libovolný lineární n-rozměrný prostor s bází Libovolný vektor má jediný rozklad Zvláštní případ: Pro množinu všech reálných nebo komplexních funkcí času definovaných na intervalu T je lineárním prostorem, v němž je sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem definováno takto:

2.4.3 Normovaný lineární prostor Norma vektoru se zavádí pomocí zobrazení lineárního prostoru do R s vlastnostmi jen při x = 0. a) b) c) Norma je metrikou. Příklady norem:

2.4.4 Prostor se skalárním součinem Skalární součin označovaný (x, y) nebo < x, y> je zobrazení uspořádaných dvojic vekto­rů lineárního prostoru do komplexní roviny C a) b) jen když x = 0 . c) Skalární součin generuje normu ta generuje metriku.

Vektory x a y jsou ortogonální, pokud platí: (x, y) = 0 Příklady skalárních součinů:

2.4.5 Vyjádření prvků prostoru se ………skalárním součinem Báze

Ortonormální báze je báze, pro jejíž prvky platí

2.5 ORTOGONÁLNÍ SOUSTAVY Úplné ortonormální soustavy Příklady ortonormálních funkcí Walshovy funkce

2.5.1 Úplné ortonormální soustavy Nechť {gi} je systém ortonormálních funkcí. Označíme Pak Proto při libovolném n platí:

2.5.2 Příklady ortonormálních funkcí Zavedeme skalární součin s vahou w(t) je reálná nezáporná funkce. Norma s vahou je zavedena výrazem {gi} je soustavou funkcí ortonormálních s vahou w(t) , jestliže

Funkce ortonormální v obyčejném smyslu jsou pak funkce Mnohočleny Legendrovy Interval Váha Mnohočleny Čebyševovy Interval

Funkce Laguerrovy Interval Funkce Legendrovy Interval Funkce Čebyševovy Interval Systém funkcí, posloupností délky N je ortogonální, ale není ortonormální. Proč?

2.6 FUNKCE PO ÚSECÍCH …..KONSTANTNÍ Walshovy funkce: uspořádání dle kmitočtu uspořádání dyadické uspořádání přirozené

Systémy funkcí ortogonálních nad intervalem mají poměrně dlouhý vývoj Systémy funkcí ortogonálních nad intervalem mají poměrně dlouhý vývoj. Uvažovalo se např. o jejich nasazení v širokopásmovém rádiovém vysílání. Byl by to do jisté míry předchůdce dnešního UWB. Zájem o tyto funkce vzrostl po rozšíření číslicových obvodů. Jejich zřejmě nejvýznamějším praktickým uplatněním je však použití v mobilních rádiových komunikacích. Z tohoto hlediska jsou významné zejména Walshovy funkce. Nabývají hodnot 1 a -1. Walshovy funkce můžeme chápat jako periodické s periodou 1. Mohou však být definovány a používány i jako funkce nad konečným intervalem Pak tvoří úplný ortonomovaný systém funkcí nad tímto intervalem.

2.6.1 Uspořádání dle kmitočtu Používá se trojí uspořádání (pořadí) množiny Walshových funkcí. První z nich je uspořádání dle „kmitočtu“. Pojem kmitočet zde označuje zobecněný kmitočet chápaný jako poloviční počet přechodů funkce přes nulovou hladinu v intervalu délky 1. Funkce uspořádané podle rostoucího kmitočtu se označují walw(i,Θ ) .

K  ortonormálním signálům se spojitým časem lze přiřadit posloupnosti Walw(i, n) s diskrétním časem. Posloupnosti Walw(i, n) bývají zapisovány do řádků čtvercové matice N x N

2.6.2 Uspořádání dyadické Funkce se spojitým časem se v tomto případě označují walp(i, Θ). K časově spojitým funcím funkcím walp(i, Θ) můžeme přiřadit posloupnosti Walp(i, n) délky N.

2.6.3 Uspořádání přirozené Walshovy - Hadamardovy funkce se spojitým časem se označují walh(i, Θ ). K časově spojitým funcím funkcím walh(i, Θ) můžeme přiřadit posloupnosti Walh(i, n) délky N.

2.8 NÁHODNÉ PROCESY Korelační funkce Autokorelační funkce Autokovarianční funkce X(t) je obecné označení procesu,  x(t) je hodnota realizace náhodného procesu v čase t 

2.9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ ….. PROCESY Signál jako vektor Korelační matice Kovarianční matice

2.9.1 Signál jako vektor Uspořádaná N-tice prvků signálu délky N může být nahlížena jako vektor

2.9.2 Korelační matice Pro stacionární proces

2.9.3 Kovarianční matice

U stacionárních náhodných procesů je

2.10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ ….. . PROCESY Signál jako vektor Korelační matice Kovarianční matice

2.10.1 Definice a charakteristiky Komplexní náhodný proces je definován vztahem Střední hodnota Korelační funkce

2.10.2 Analytický signál Je-li proces X(t) stacionární v širokém smyslu a má střední hodnotu rovnu nule, je i jeho Hilbertův obraz stacionární a má střední hodnotu rovnu nule. Navíc pro korelační funkci platí Je tedy

2.10.3 Ortogonální rozklad NP 1 Chceme, aby byly koeficienty nekorelované Kde je vlastní číslo a je vlastní funkce

2.10.4 Ortogonální rozklad NP 2 Nechť X je vektor náhodných pozorování s nulovou střední hodnotou a s korelační maticí R. X má rozměr Mx1. Nechť q1, q2, …. qM jsou vlastní vektory matice R. Vektor X může být vyjádřen takto: Koeficienty rozvoje mají nulovou střední hodnotu a jsou nekorelované. Jsou dány skalárním součinem Vlastní vektory q1, q2, …. qM  tvoří ortonormální množinu za předpokladu, že jsou normalizovány.

Vlastnosti koeficientů

2.12 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY Signály pro simulace Rozprostírací posloupnosti

2.12.1 Signály pro simulace Kongruentní gererátory. Celočíselné algoritmy. Často se generují čísla rovnoměrně rozložená v intervalu Jindy se generují čísla s rozdělením přibližně normálním. Všeobecně se požaduje, aby po sobě jdoucí hodnoty byly nanejvýš nepatrně korelované. Matlab: rand, randn a awgn

2.12.2 Rozprostírací posloupnosti Goldovy sekvence Sekvence Kasami m – sekvence m - sequence Generovaná sekvence je periodická s periodou Každá perioda obsahuje jedniček a nul

Počet různých sekvencí Délka registu Perioda Počet různých sekvencí 2 3 1 7 4 15 5 31 6 63 127 18 8 255 16 9 511 48 10 1023 60

LFSR (Linear Feedback Shift Register)