Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 Pokročilá fyzika C803 fIIp_06 Optika I Od Maxwellových rovnic k optice. http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp06.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 7. 1. 2015

Hlavní body Zobecněný Faradayův a Ampérův zákon. Maxwellovy rovnice a Elektromagnetické vlny kvalitativně. Vlastnosti elektromagnetických vln : Vytváření elektromagnetických vln Vztah a , Rychlost světla c a přenos energie . Závěry důležité pro (geometrickou) optiku. 7. 1. 2015

Elektromagnetické vlny 0 Důležité vlastnosti elektrického a magnetického pole mohou být vyjádřeny čtyřmi Maxwellovými rovnicemi, vztahem pro Lorentzovu sílu, principem superpozice a zákonem zachování náboje s mnoha zajímavými důsledky z nich nejvýznamnější asi je existence elektromagnetických vln. Začněmě od Maxwellových rovnic 7. 1. 2015

Zobecněný Faradayův zákon I Z elektrostatiky si pamatujeme : Z Faradayova zákona ale víme, že mění-li se magnetický tok v čase, je obvodu indukováno elektromotorické napětí a musí být rovno práci, vykonané elektrickým polem, která je potřebná k přenesení jednotkového náboje jednou dokola v uzavřené smyčce obvodu. 7. 1. 2015

Zobecněný Faradayův zákon II Tuto skutečnost snadno odvodíme z : Dosadíme-li za indukované napětí U z Faradayova zákona, obdržíme obecný vztah : Integrace musí být uskutečněna v kladném smyslu  proti směru hodinových ručiček! 7. 1. 2015

Zobecněný Faradayův zákon III Křivkový integrál může být vyčíslen po každé uzavřené křivce v jakékoli látce a samozřejmě i ve vakuu. Uvažujeme změnu toku plochou ohraničenou naší integrační cestou. Mění-li se tok v čase, není již elektrické pole konzervativní. Jinak by byl křivkový integrál po libovolné uzavřené křivce nulový, jako tomu bylo v elektrostatice 7. 1. 2015

*Zobecněný Faradayův zákon IV Mějme magnetické pole s nenulovou složkou kolmou k nákresně a předpokládejme, že tok jistou pevnou smyčkou roste. Potom: Znamená to, že intenzita elektrického pole musí být orientována v záporném smyslu, což je v souladu s Lenzovým zákonem. Pozor! Záleží jen na směru změny magnetické indukce, ale ne o jejím absolutním směru. 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon I Víme, že křivkový integrál magnetické indukce přes libovolnou uzavřenou křivku závisí na celkovém proudu, který tato křivka obtáčí. Platí to ale zcela obecně? Experiment ukazuje, že v okolí nabíjejícího se kondenzátoru existuje magnetické pole, jako by jím protékal proud. Náboje ale za normálních podmínek procházet prostorem mezi elektrodami kondenzátoru nemohou! 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon II Je-li teorie v rozporu s experimentem, musí se zdokonalit nebo změnit tato teorie! Proto musíme přijmout fakt, že cokoli se v nabíjejícím se kondenzátoru odehrává, se chová jako proud. Je to nový druh proudu, který nemůže být určitě spojen s pohybem náboje. 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon III To, co se mění v nabíjejícím nebo vybíjejícím se kondenzátoru je samozřejmě elektrické pole. Definujeme tedy nový druh proudu - proud posuvný, který přiřazujeme časové změně toku elektrické intenzity. Obtáčení znamená totéž jako v předchozím případě Faradayova zákona: 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon IV Doposud, když jsme používali Ampérův zákon, integrovali jsme podél kruhové cesty a uvažovali jsme celkový proud, který protékal kruhovou plochou, kterou smyčka obtáčela. Obecně můžeme uvažovat uzavřenou křivku jakéhokoli tvaru vedenou po povrchu libovolné uzavřené plochy a dělící ji tedy na dvě části. libovolného tvaru. Do křivkového integrálu se počítají jen proudy, které vstoupí v jedné části a vystoupí v druhé. 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon V Skutečnost, že některá s těchto uzavřených ploch může procházet mezi deskami kondenzátoru, znamená, že to, co prochází plochou mezi těmito deskami, musí být ekvivalentní elektrickému proudu. Protože nás zajímá elektrické pole, procházející plochou, zajímá nás vlastně tok elektrické intenzity. Integraci musíme opět provádět v kladném smyslu. 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon VI Existence posuvného (Maxwellova) proudu znamená důležitou symetrii mezi elektrickým a magnetickým polem. Na jedné straně časové změny magnetického pole produkují pole elektrické a na druhé časové změny pole elektrického produkují pole magnetické! Díky této symetrii existují elektromagnetické vlny i MY! 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon VII Posuvný proud u deskového kondenzátoru lze snadno odvodit ze vztahu pro jeho kapacitu a z definice proudu: Q = CU = (0S/d)(Ed) = 0SE I = dQ/dt = d(0SE)/dt = 0 de/dt Tento závěr platí obecně a proto musí mít Ampérův zákon k členu, který známe, ještě další člen: 7. 1. 2015

Zobecněný Ampérův zákon VIII Vezmeme-li v úvahu vztah : můžeme nakonec psát : 7. 1. 2015

*Zobecněný Ampérův zákon IX Když například nabíjíme (deskový) kondensátor ze zdroje napětí U0 , přes rezistor R, klesá proud exponenciálně z počáteční hodnoty I0 = U0/R a : 7. 1. 2015

*Zobecněný Ampérův zákon X Předchozího užijeme k zjištění magnetické indukce B vně kondenzátoru ze zobecněného Ampérova zákona : Je tedy přesně rovna indukci v blízkosti vodiče, který kondenzátor napájí. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice I Nyní jsme připraveni napsat Maxwellovy rovnice. Tyto rovnice existují v několika verzích a úrovních obecnosti. Pro pochopení fyzikálního smyslu stačí pracovat s jednoduššími Maxwellovými rovnicemi v integrálním tvaru, platnými pro vakuum. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice II 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice III První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že : Existují zdroje elektrického pole – náboje. Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu) a končí v nábojích záporných (nebo nekonečnu). Pole bodového náboje klesá jako 1/r2. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice IV Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetické indukce, který říká, že : Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě není konzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalární potenciál. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice V Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : Neexistují oddělené zdroje magnetického pole – magnetické monopóly. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky. Pole proudového elementu klesá jako 1/r2. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice VI Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův zákon, který říká, že: Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovými změnami elektrického pole. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky. 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice VII V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je veškerá informace o elektromagnetismu. Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. Existují elektromagnetické vlny. Existují další možné verze Maxwellových rovnic. 7. 1. 2015

Rovinné elektromagnetické vlny Důležitým řešením MR jsou rovinné lineárně polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být el. na mag. pole popsána : E = Ey =E0sin(kx - t) B = Bz =B0sin(kx - t) E a B jsou ve fázi vektory , , tvoří pravotočivý systém pozor na polarizaci vlnové číslo : k = 2/ úhlová frekvence :  = 2/T = 2f rychlost vlny : c = f =  /T = /k 7. 1. 2015

Vytváření elektromagnetických vln Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existují dál nezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostí světla do prostoru. Může to být ilustrováno na jednoduché dipólové anténě a střídavém generátoru. Planární vlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole. 7. 1. 2015

Vztah a I Všechny vlastnosti elektromagnetických vln mohou být vypočteny jako obecná řešení Maxwellových rovnic. Tento postup vyžaduje dobře ovládat složitý matematický aparát a není příliš ilustrativní. Zde ukážeme hlavní vlastnosti vln na speciálním případě vln rovinných a řekneme, co může být zobecněno. 7. 1. 2015

Vztah a II Mějme lineárně polarizovanou rovinnou vlnu: v prostoru, kde nejsou volné náboje ani proudy která se šíří ve směru +x elektrické pole má nenulovou jen složku y a tedy magnetické pole má nenulovou jen složku z která nemusí být nutně harmonická Nalezneme vztahy mezi časovými a prostorovými derivacemi E a B, které plynou z Maxwellových rovnic ve speciálním případě bez nábojů a proudů: 7. 1. 2015

Maxwellovy rovnice v oblasti bez nábojů a proudů 7. 1. 2015

Vztah a III Použijme nejprve Faradayův zákon: Křivkový integrál elektrické intenzity v kladném směru kolem malého obdélníka ydx ≡ hdx v rovině xy je roven záporně vzaté změně magnetického toku tímto obdélníkem. Po úpravě : 7. 1. 2015

Vztah a IV Podobně použijeme Ampérův zákon: Křivkový integrál magnetické indukce v kladném směru kolem malého obdélníka zdx ≡ hdx v rovině xz je roven změně elektrického toku tímto obdélníkem. Po úpravě: 7. 1. 2015

Vztah a V Všimněme si symetrie těchto rovnic : Tam, kde B klesá v čase, roste E v x a tam, kde E klesá v čase, roste B v x. Pro výchylku vlny obecně platí, že tam, kde klesá v čase, roste v souřadnici. Proto musí být E a B ve fázi. 7. 1. 2015

Obecné harmonické vlny I Vlny existují zpravidla v elastickém prostředí a jsou charakteristické tím, že přenáší energii (nebo informaci), ale ne hmotnost. Výchylku rovinné harmonické vlny, šířící se ve směru +x rychlostí c lze popsat vztahem: má buď složku x v případě podélného nebo y nebo z v případě vlnění příčného. Dále uvažujeme jen velikost. v bodě x je výchylka stejná jako byla v počátku před dobou, nutnou na to, aby vlna dosáhla bod x, tedy : 7. 1. 2015

Obecné harmonické vlny II Výchylka je periodická v čase i prostoru : Kde jsme použili definic úhlové frekvence, vlnové délky a vlnového čísla (vektoru) 7. 1. 2015

Vztah a VI Vraťme se k lineárně polarizované, rovinné, příčné, harmonické vlně : E(x,t) = Ey (x,t) =E0sin(t - kx) B(x,t) = Bz (x,t) =B0sin(t - kx) E a B jsou ve fázi směry +x, E a B tvoří pravotočivý systém obecně tvoří pravotočivý systém vektory , , 7. 1. 2015

Vztah a VII Z prvního vztahu : Protože jsou E a B ve fázi, platí obecně: E(x, t) = c B(x, t) Amplituda magnetického pole je c-krát menší než amplituda pole elektrického! 7. 1. 2015

Vztah a VIII Z druhého vztahu : Dohromady s předchozím vztahem dostáváme vztah pro rychlost c světla ve vakuu a permitivitou a permeabilitou vakua 7. 1. 2015

Rychlost světla Obecně lze rychlost šíření odvodit z : Derivace (změna) první rovnice podle času, porovnaná s derivací druhé rovnice podle x poskytne obecnou vlnovou rovnici pro B. Změna pořadí derivování poskytne vlnovou rovnici pro E. 7. 1. 2015

Shrnutí vlastností EMA vln Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů vyhovuje obecným vlnovým rovnicím. Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světla c = 3.108 m/s, danou vlastnostmi vakua 0 a 0. Vektory , , tvoří pravotočivý systém Amplituda magnetického pole je c-krát menší než amplituda pole elektrického. Pro elektromagnetické vlny platí princip superpozice. 7. 1. 2015

Přenos energie I Hustota energie EMA vln v každém okamžiku je součet hustot energie elektrického i magnetického pole: S použitím B = E/c a c = (00)-1/2 platí : 7. 1. 2015

Přenos energie II Porovnáním vidíme, že hustota energie magnetického pole je rovna hustotě energie pole elektrického bez ohledu na nepoměr amplitud polí samotných. Každé z těchto polí tedy přispívá polovinou celkové hustoty energie. Poměr (0/0)1/2 = 0c = 377  se nazývá impedance vakua. 7. 1. 2015

Přenos energie III Energie přenášená vlnou za jednotku času (výkon) jednotkovou plochou se popisuje Poyntingovým vektorem , který má směr šíření vlny a jednotky W/m2. Energie, která projde za 1 sekundu plochou A je rovna hustotě energie v objemu: U = uAct  7. 1. 2015

Přenos energie IV Pro EMA vlny šířící se obecným směrem platí vektorová definice Poyntingova vektoru: Pochopitelně je paralelní s . (t) je energie proudící jistým bodem v určitém okamžiku. Obvykle nás ale zajímá intenzita záření, což je časová střední hodnota <S>. 7. 1. 2015

Přenos energie V Pro harmonickou vlnu můžeme použít výsledek, který jsme odvodili u střídavých obvodů: Intenzitu záření tedy můžeme vyjádřit pomocí špičkových nebo efektivních hodnot polí : 7. 1. 2015

Tlak záření I Přenáší-li EMA vlny energii, lze očekávat, že mají i hybnost. Dopadnou-li vlny na určitý povrch, jsou částečně absorbovány a částečně odraženy. Každopádně na povrch působí síla podle 2. Newtonova zákona: Síla na jednotku plochy je tlak, zde tlak záření. 7. 1. 2015

Tlak záření II Lze ukázat, že p = U/c, kde  je parametr s hodnotou mezi 1 pro úplnou absorpci a 2 pro úplnou reflexi. Pro tlak platí : Jeho velikost může být významná v mikrosvětě nebo ve vesmíru (plachtění). 7. 1. 2015

Spektrum EMA vln Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami ‘pouze’ s jinou frekvencí: Radiové vlny  > 0.1 m Mikrovlny 10-1 >  > 10-3 m Infračervené záření 10-3 >  > 7 10-7 m Viditelné záření 7 10-7 >  > 4 10-7 m Ultrafialové záření 4 10-7 >  > 6 10-10 m Rentgenové záření 10-8 >  > 10-12 m Gama a kosmické záření 10-10 >  > 10-14 m 7. 1. 2015

Rozhlas a TV Ve vysílači je vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AM nebo frekvenčně FM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru. Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickou nebo magnetickou složku vlny. Jeho důležitou částí je ladící obvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln. 7. 1. 2015

EMA záření v látkách I Řešení MAXR je obecně složité. V nevodivých látkách jsou řešením též rovinné elektromagnetické vlny, šířící se rychlostí menší než ve vakuu Poměr c/v se nazývá index lomu. Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r  1 a platí Maxwellův zákon 7. 1. 2015

EMA záření v látkách II plyn nexp vodík 1.00013 1.00013 vzduch 1.000294 1.000293 CO2 1.000482 1.000450 elthylén 1.000692 1.000699 7. 1. 2015

EMA záření v látkách III [nm] voda nexp 650 8.88 88 8.89 37 8.10 8 8.97 4 9.50 0.00126 1.32 0.000589 1.33 7. 1. 2015

Dualismus vln a částic Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí a tedy zkracující se vlnovou délkou se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové - korpuskulární. Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem: 7. 1. 2015

Hranice geometrické optiky I Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro mnoho praktických aplikací lze uvažovat první přiblížení – geometrickou optiku. V ní lze jevy popisovat čistě geometricky pomocí paprsků, které dědí určité vlastnosti vln: přímočaré šíření nezávislost reciprocita Geometrická optika přestává být dobrou teorií v okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli částicové nebo vlnové vlastnosti světla. 7. 1. 2015

Hranice geometrické optiky II Typicky vlnové vlastnosti začínají hrát roli, když je velikost optických elementů srovnatelná s vlnovou délkou světla. Tato situace nastává vždy u radiových vln a mikrovln. V optice viditelného světla je limitním faktorem pro rozlišení optických přístrojů. Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se projevují hlavně u vyšších energií. Viditelné světlo je bohužel právě na hranici. 7. 1. 2015

Typicky vlnové vlastnosti Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian 1629-1695): Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. V případě překážek dochází k interferenci a difrakci. 7. 1. 2015

Obdélník v rovině xy (y=h) Hledáme přírustek dE ve směru osy +x a předpokládáme, že hdx je konstantní. ^

Obdélník v rovině xz (z=h) Hledáme přírustek dB ve směru osy +x a předpokládáme, že hdx je konstantní. ^

Obecné vlnové rovnice I Po dosazení z první rovnice do druhé dostáváme vlnovou rovnici pro B :

Obecné vlnové rovnice II Porovnáním s obecnou vlnovou rovnicí : dostáváme hledaný vztah pro rychlost šíření. Snadno se přesvědčíme, že harmonická vlna vyhovuje vlnové rovnici. Obecně jí ale vyhovují i jiné typy vln. ^

Obecné vlnové rovnice III Po dosazení z první rovnice do druhé dostáváme vlnovou rovnici pro E : ^

Maxwellovy rovnice - integrální

Maxwellovy rovnice - diferenciální

Maxwellovy rovnice Zápis v diferenciálním tvaru je formálně jednodušší, ale je nutné rozumět operacím vektorové analýzy - rotace a divergence.

Rotace vektorové funkce Rotace funkce v bodě je součet po elementární uzavřené křivce, na níž leží bod . Určeme například x-ovou složku rotace funkce , která je součtem po smyčce : dy, dz, -dy,-dz v blízkosti bodu

Hodnoty funkce v bodech a získáme rozvojem, přičemž vzhledem k integrační cestě potřebujeme rozvinout vždy jen určitou složku a tedy :

Divergence vektorové funkce Divergence funkce je její tok ven z elementární krychličky dx, dz, dy v okolí bodu .

Hodnoty funkce v bodech , a opět získáme rozvojem a tedy : ^

Řešení Maxwellových rovnice Nejjednodušší odvození vlnové rovnice EMA záření z Maxwellových rovnic vychází z jejich diferenciálního tvaru a vyžaduje zavedení tzv. vektorového potenciálu a znalost několika identit vektorové analýzy a několik triků, např. vhodných kalibrací. My se budeme soustředit hlavně na vlastnosti EMA vln, ale princip řešení si naznačíme. ^

Některé identity a vlnová rovnice ^

MXR – diferenciální, bez zdrojů Zderivujeme čtvrtou rovnici podle času, dosadíme z druhé, použijeme první a dostáváme vlnovou rovnici pro E. ^

RC obvod I Odpor a kondenzátor jsou v sérii, a tedy v každém okamžiku součet napětí na nich se rovná napětí zdroje : Napětí na kondenzátoru vyjádříme pomocí náboje na něm a za proud dosadíme I = +dQ/dt . Po přeorganizazi dostáváme :

RC obvod II Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici prvního řádu. Řeší se nejprve odpovídající rovnice homogenní (s nulovou pravou stranou) : Poté se přičte jedno partikulární řešení, například konečný náboj Qk = CU0 .

RC obvod III Definujme časovou konstantu  = RC. A separujeme proměnné : Můžeme snadno integrovat obě strany rovnice: K je zatím neznámá integrační konstanta.

RC obvod IV Nyní přičteme partikulární řešení : Integrační konstantu K získáme uvážením okrajových podmínek QC(0) = 0  K = -Qk. A tedy celkově :

RC obvod V Podělením kapacitou C získáme časovou závislost napětí na kondenzátoru : A časovou závislost proudu vypočteme z časové derivace náboje : ^

Vztah energie a hybnosti Pro celkovou energii podle speciální teorie relativity platí : Hybnost je definovaná jako součin relativistické hmotnosti a rychlosti : Fotony se šíří rychlostí světla, tedy v = c : ^

Příklad Kondenzátor je tvořen dvěma rovnoběžnými kruhovými deskami polomě-ru R = 2 m, vzdálenými od sebe 1 cm. Určete magnetickou indukci B ve vzdálenosti r = 0,5 m od osy kondenzátoru, nabíjíme-li kondenzátor tak, že napětí vzrůstá lineárně s časem podle vztahu U = a.t, kde a = 4.104 V/s. Řešení: Vyjdeme z rovnice (1), kterou, vzhledem k tomu, že I = 0, můžeme upravit do tvaru:

Obrázek k příkladu B B B B

Časový průběh napětí na kondenzátoru a závislost indukce na vzdálenosti od osy kondenzátoru B [10-11T] U [104V] 3 24 16 2 8 1 2 4 6 t [s] 0,5 1,0 1,5 r [m]

Jaká bude indukce, mění-li se napětí harmonicky tak, že ?

Domácí úkol Najděte vztah pro rovnováhu na střídavém můstku podle obrázku. 7. 1. 2015

Things to read and learn This lecture covers Chapter 29 – 7; 32 – 1, 2, 3, 4 Advance reading Chapter 32 – 5, 6, 7, 8, 9 Try to understand the physical background and ideas. Physics is not just inserting numbers into formulas! 7. 1. 2015