Diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice Metoda separace proměnných Metoda substituční Metoda variace konstanty Diferenciální rovnice n- tého řádu - homogenní - s pravou stranou

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice prvního řádu rovnice tvaru : y´= f (x,y) jiný zápis F(x,y,y´) = 0 Def: Říkáme, že funkce y =  (x) definovaná na intervalu J  R je řešením diferenciální rovnice y´= f(x,y), jestliže a) x  J  vlastní ´(x) b) bod [x, (x)]  D(f) c) ´(x) = f (x,  (x))

Př. Ukažte, že každá funkce  (x) = C Př. Ukažte, že každá funkce  (x) = C. e-2x + 1/3ex je řešením diferenciální rovnice y´= ex - 2y na intervalu ( -,). Ukážeme, že fce  má vlastnosti a - c. a)fce  i ´jsou spojité na R pro libovolnou konstantu C. b) pro každé x  R je [x, C. e-2x + 1/3ex] pro libovolnou C c) f (x,  (x)) = ex-2C. e-2x - 2/3ex neboli po úpravě f (x,  (x)) = -2C e-2x + 1/3ex , tedy platí ´(x) = f (x,  (x))

Existenční věta f : R2  R je spojitá na JR2 Jednoznačnost řešení Fce  je řešením diferenciální rovnice na intervalu J, pak také fce 1, která je zúžením funkce  na interval J1  J, je řešením diferenciální rovnice. Maximální řešení - není zúžením žádného jiného řešení Graf maximálního řešení - integrální křivka

Př. Zakreslete integrální křivky rovnice y´= y/x. Řešením je a)  = cx pro x  ( -, 0 ) , je-li D(f) = (-, 0 ) x (-, ) b)  = cx pro x  ( 0 , ) , je-li D(f) = ( 0,  ) x (-, ) Integrální křivky: b) a) y y -x x

Def. Řešení  rovnice y´= f(x,y) vyhovuje počáteční podmínce y (x0) = y0, jestliže platí  (x0) = y0. tj. integrální křivka prochází bodem[ x0,y0] Úlohu určit takovou fci , aby byla řešení dif. rovnice y´=f(x,y) a splňovala podmínku y (x0) = y0 , nazýváme Cauchyovou úlohou Př. y´= y, poč.podm. y (x0) = y0 řešení rovnice y´= y je  (x) = c . ex CR, xR hledáme řešení  (x0) = c . ex0 = y0 c = y0. e -x0 tedy  (x) = y0. e -x0 . ex = y0. e x-x0

řešení Cauchyovy úlohy Graficky y řešení Cauchyovy úlohy y0 x0 x integrální křivky Pozn. Řešení Cauch. úlohy je jednoznačné, prochází-li bodem [x0,y0] právě jedna integrální křivka Má-li dif. rovnice y´= f(x,y) pouze jednoznačná řešení, nazýváme množinu všech řešení obecným řešením této rovnice Řešení, které splňuje počáteční podmínku, se nazývá partikulární řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu 1) Separace proměnných pro dif. rovnice typu y´= g(x).h(y) …… rovnice se separovanými proměnnými g,h jsou spojité, h(y)  0 Postup: y´= g(x).h(y) F(y) + C1 = G(x) + C2 F(y) = G(x) + C

integrální křivku získáme posouváním tangentoidy y = tg x Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= 1 + y2  = tg( x + C) integrální křivku získáme posouváním tangentoidy y = tg x pro poč. podmínku y(x0) = y0 je y0 = tg( x0 + C) arctgy0 = x0 + C C = arctg y0 - x0

Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= y(y-1)/x x0 volíme-li např. y(1,) a x (0,) ,pak (y-1)/y = Cx y = 1/(1-Cx)

Geometrický význam rovnice y´= f(x,y) - každému bodu [x,y]D(f) přiřadí směrnici tečny int. křivky y = (x), tj. rovnice definuje směrové pole v rovině. Nalézt řešení diferenciální rovnice znamená nalézt takovou křivku, aby její tečna v každém bodě měla směr splývající se směrem pole. Př. y´= y y x Izoklina - přímka spojující body stejné směrnice Pozn.: Úloha nalézt k soustavě křivek v rovině soustavu ortogonálních trajektorií ( křivek, které každou křivku protínají pod pravým úhlem)

Př. Nalezněte soustavu ortogonálních trajektorií k soustavě kružnic x2 + ( y -c)2 = c2 c … parametr 2x + 2yy´- 2cy´ = 0 y´( 2y - 2c) = - 2x Dosadíme za y´= -1/y´ Řešením této dif. rovnice je (x-k)2 + y2 = k2 Užití: elektrostatické pole- silokřivky + ekvipotenciální pole = soustava ortogonálních trajektorií

2) Metoda substituční a) Rovnice tvaru y´= f(ax + by + c) , a,b,c … konstanty b  0 zavedeme novou funkci z = ax + by + c y = 1/b.( z - ax -c) y´= 1/b.(z´- a) dosadíme do původní funkce 1/b.(z´- a) = f (z) z´= b.f(z) + a dále postupujeme stejně jako při řešení diferenciální rovnice metodou separace proměnných.

Př. y´= ( x + y )2 z = x + y z´= 1 + y´ y´= z´- 1 z´- 1 = z2 z´= z2 + 1 Př. y´= ( 4x + y )2 z = 4x + y z´= 4 + y´  y´= z´- 4 po dosazení z´- 4 = z2 z = 2 tg2 ( x + c) 4x + y = 2 tg 2 ( x + c)

b) Rovnice homogenní, jenž lze převést na tvar y´= f (x/y) Pozn. Převést lze homogenní funkce stupně 1, tj. takové, pro které g (tx,ty) = g(x,y) Př. Do tohoto vztahu dosadíme t = 1/x Zvolíme proměnnou z = y/x Dosazením do původní rovnice

Př. ( x + y ) dx + x dy = 0 x dy = - ( x + y ) dx z = y/x y´= z´x + z x2 + 2yx = c1

Př. Rozklad Dosazením a úpravou integrálními křivkami je soustava kružnic se středem na ose y

Př. y´=cos(y-x) substituce z = y-x z´= y´-1  y´= z´+ 1 dosazením z´+ 1 = cos z

3) Metoda variace konstanty tvar rovnice y´= p(x)y + g(x) postup řešení: a) řešíme rovnici homogenní y´= p(x) .y separací proměnných b) dosadíme do původní rovnice derivaci řešení

c) výsledek dosadíme do řešení homog.rovnice Př.

Př.Řešte rovnici y´= xy + x3 a) homogenní rovnice y´= xy b) řešení homog. rovnice zderivujeme c) dosadíme do rovnice s pravou stranou

d) rovnici integrujeme u=x2 u´=2x e) dosadíme do řešení homog.rovnice

Př. y´= 2x(x2 + y) y´- 2xy = 0 substitucí t = -x2 a per partes

Př.

Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a) s konstantními koeficienty - homogenní rovnice tvaru y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) +…+ an-1y´+any=0, kde a1,a2,…an jsou reálné konstanty. Tvrzení: Jsou-li y,z řešení homogenní diferenciální rovnice, je libovolná jejich lineární kombinace y +z též řešením dif.rovnice. Tj.množina řešení tvoří lineární prostor. Každá n-tice y1,y2,…yn lin.nez. řešení ( baze tohoto prostoru) se nazývá fundamentální systém řešení příslušné rovnice.

Obecné řešení má tvar y = c1y1 + c2y2 + …cnyn, kde c1,c2,…cn jsou libovolné konstanty. Charakteristická rovnice diferenciální rovnice L(y)=0 je rovnice tvaru n + a1n-1+…+an-1+ an = 0 , kde  je neznámá Výpočet fundamentálního systému: a) Spočteme všechny kořeny charakteristické rovnice b) Je-li  k - násobný reálný kořen charakteristické rovnice, utvoříme k lin.nez. funkcí tvaru e x, xe x , x2 ex, …, xk-1e x

c) Je-li  =  + i nebo  =  - i p násobný komplexní kořen charakteristické rovnice, utvoříme 2p lin.nez. funkcí tvaru ex cosx, x excosx, …, xp-1excosx ex sinx, x exsinx, …, xp-1exsinx d) Hledaný fundamentální systém je taková množina funkcí, kdy v bodech b),c) volíme za  postupně všechny kořeny charakteristické rovnice. Př. Vypočtěte obecné řešení rovnice y´´´-3y´´ + 4y´- 2y = 0. Charakteristická rovnice 3 - 3 2 +4-2=0 Kořeny: ( -1) (2 - 2  + 2) = 0 1 = 1 2 = 1+i, 3 = 1-i

Fundamentální systém: 1  e 1x 2  ex cosx, ex sinx, (e x ,ex cosx, ex sinx) Obecné řešení y = c1e x + c2ex cosx+ c3 ex sinx Př. Určete obecné řešení rovnice y´´ - 8y´+ 16y = 0 Charakteristická rovnice 2 - 8 + 16 = 0 1,2 = 4 ….. kořen dvojnásobný reálný Obecné řešení y = c1. e 4x + c2 . x . e 4x

Př. Řešte rovnici y´´´- 8y = 0 s poč . podm. y(0) = 0, y´(0)=6, y´´(0)=0 3 - 8 = 0 1 = 2 2 = -1 + i 3 3 = -1 - i 3 y = c1 e2x + c2 e-x.cos(3x) + c3e -x . sin (3x) y´ =c1 2e2x + c2 e-x.(-1)cos(3x) -c2 e-x 3 sin(3x) + c3e -x .(-1) sin (3x)+ +c3e -x .3 cos (3x) y´´ = c1 4e2x + c2 e-x.cos(3x) +c2 e-x 3sin(3x) - -(c2e-x 3 sin(3x)(-1) + c2 e-x 3 cos(3x)) + c3e -x sin (3x)+ c3e -x .(-1)  3cos (3x)+ c3e -x (-1).3 cos (3x)- c3e -x .3 sin (3x) y(0) = c1 + c2=0 y´(0)=2c1-c2 + 3 c3=6 y´´(0) = 4c1 + c2 -3c2-  3c3-  3c3=0

Řešením soustavy tří lin. rovnic o třech neznámých dostáváme: c1 = 1, c2 = -1 , c3 = 3 Obecné řešení: y = e2x - e-x.cos(x 3) + 3 e-x.sin(x 3) Př. Řešte dif. rovnici čtvrtého řádu y(IV) - 16y = 0 4 - 16 = 0 (2 - 4)(2 +4) = 0 1 = 2, 2 = -2, 3 = 2i, 4 = -2i y = c1 e2x + c2e-2x + c3 sin2x + c4cos2x

Lineární diferenciální rovnice n - tého řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou rovnice tvaru y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) +…+ an-1y´+any= b Metoda pro speciální pravé strany a) b = P(x) e 0x b) b = P1(x) e 0xcos0x + P2(x) e 0xcos0x Partikulární řešení existuje ve tvaru a) xk Q(x)e0x kde k je násobnost  jako kořene charakteristické rovnice Q je polynom, který má stupeň menší nebo roven jako P

b) xk Q1(x) e 0xcos0x + Q2(x) e 0xcos0x kde 0 +0i je k násobný kořen charakteristické rovnice Q1,Q2 polynomy, jejichž stupeň je menší nebo roven P1,P2 Obecné řešení je dáno součtem obecného řešení s nulovou pravou stranou a partikulárního řešení. Př. Najděte řešení rovnice y´´ - y´= 1s poč podm.y(0)=2,y´(0)=0 ch.r. 2-=1 1 = 1 2 = 0 obecné řeš. yH= c1ex +c2 pravá strana b = 1 …… polynom P je stupně 0 jiný zápis b = (e0sin0x + e0cos0x) , 0 = 0  yp = x.Q(x)e0x=xa

Celkové řešení y = yH + yp y = c1ex + c2 + ax Výpočet konstanty yp = ax y´p = a y´´p =0 Dosazení do původní rovnice 0 - a = 1 a = -1 tedy yp= -x y = c1ex + c2 - x Dosazení počátečních podmínek y(0) = c1 + c2 = 2 y´(0) = c1 -1 = 0 c1 = c2 = 1 Řešení vyhovující podmínce y = ex + 1 - x

Př. Řešte úlohu y´´ + y = x sin x ch.r. 2 + 1 = 0 1 = i 2 = -i řešení homog. rovnice yH = c1 cosx + c2 sin x pravá strana b = x sin x ….. polynom stupně 1 a 0 ….. 0 = 0, 0 = 1 partikulární řešení yp =( ax + b)x cosx + ( cx + d) x sinx řešení konstant yp = ( ax2 + bx) cosx + ( cx2 + dx) sinx y´p= (2ax + b+cx2 + dx) cos x + ( -ax2 - bx+ 2cx + d) sinx y´´p =(2a+2cx +d+2cx+d-ax2-bx)cosx + (- 2ax - b + 2c-2ax-b-cx2-dx)sinx

Po dosazení do původní rovnice a vypočtení konstant c = 0, b = 0, a = - 1/4, d = 1/4 yp = -1/4 x2 cos x + 1/4 x sinx Obecné řešení y = yp + yH = -1/4 x2 cos x + 1/4 x sinx + c1 cos x + c2 sinx Př. y´´ + 3y´+ 2y = x2 ch.r. 2 + 3 + 2 = 0 1 = -2 2 = -1 yH = c1e-x + c2e-2x pravá strana: polynom st. 2, 0 = 0, k = 0 yp = ax2 + bx + c y´p= 2ax + b y´´p= 2a Dosazením a = 1/2, b = -3/2, c= 7/4  y = c1e-x + c2e-2x + 1/2x2 - 3/2x + 7/4

Některé další metody řešení diferenciálních rovnic vyšších řádů a) Tvar rovnice y(n) = f(x) postupná integrace Př. y´´´= x + 2

b) snížením řádu diferenciální rovnice Tvar rovnice F(x,y(k),y(k+1),…y(n)) = 0 substituce tvaru p = y´ Př. xy(IV) + y´´´=0 p = y´´´ xp´+ p =0 Řešíme separací proměnných Po dosazení do rovnice y´´´=c/x, dostáváme výsledek postupnou integrací

y´´=c1lnx + c2 y´= c1( lnx - x) + c2x + c3 y = c1x2(1/2lnx - 3/4) + c2 x2/2 + c3x + c4