Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II IV/2-2-2-03 MATEMATICKÁ INDUKCE Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Zpracováno dne 4. 9. 2013 Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Metody důkazů V matematice existuje mnoho důkazových metod, např.: přímý či nepřímý důkaz důkaz sporem důkaz indukcí důkaz geometrický důkaz výpočtem V souvislosti s dokazováním vět a tvrzení platných pro všechna přirozená čísla nejčastěji používáme metodu matematické indukce. Matematická indukce 2

Matematická indukce je věta. Nechť V(n) je výroková forma proměnné n  N. (p(V(1) = 1)  (k  N: p(V(k)) = 1  p(V(k + 1)) = 1)   n  N: p(V(n)) = 1.  Matematická indukce 3

Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 1. krok (p(V(1) = 1) tzn. dokážeme, že V(n) platí pro n = 1 n = 1 1 < 21 1 < 2 V(1) platí Matematická indukce 4

Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 2. krok (k  N: p(V(k)) = 1  p(V(k + 1)) = 1) tedy dokážeme, že pro každé k  N platí: platí-li V(k), pak platí V(k + 1) k < 2k  k + 1 < 2k + 1 k < 2k  k + 1 < 2k + 1 < 2k + 2k = 2 × 2k = 2k + 1 k + 1 < 2k + 1 Matematická indukce 5

Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 3. krok n  N: p(V(n)) = 1. Podle věty o matematické indukci je tvrzení pravdivé pro každé přirozené číslo n. n < 2n cbd  Matematická indukce 6

Úlohy Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí 1 + 3 + 5+ ... + (2n – 1) = n2. n = 1  1 = 12  platí  kN: 1 + 3 + ... + (2k – 1) = k2  1 + 3 + ... + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 3.  nN: 1 + 3 + 5+ ... + (2n – 1) = n2 Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí 2n(n + 1). n = 1  21(1 + 1)  platí  kN: 2k(k + 1)  2(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) = k2 + 3k + 2 = k(k + 1) + 2(k + 1) = 2k´ + 2(k + 1) = 2(k´ + k + 1) 3.  nN: 2n(n + 1) Matematická indukce 7

Použitá literatura Literatura Matematická indukce JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997. VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-719-6221-X. Matematická indukce

soubor prezentací MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.