KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY

KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def.: Funkce  se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x1, x2, x3  I, která splňují nerovnost x1 < x2 < x3, platí, že bod [x2, f(x2)] leží pod přímkou procházející body [x1, f(x1)], [x3, f(x3)] nebo na ní. Funkce  se nazývá konkávní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x1, x2, x3  I, která splňují nerovnost x1 < x2 < x3, platí, že bod [x2, f(x2)] leží nad přímkou procházející body [x1, f(x1)], [x3, f(x3)] nebo na ní.

Def.: Funkce  je ryze konvexní v bodě x0, jestliže má v bodě x0 vlastní derivaci ´(x0) a existuje-li takové číslo >0, tak, že pro každé x  (x0 - ; x0)  (x0; x0 + ) platí: (x) > ´(x0)(x – x0) + (x0). Funkce  je ryze konkávní v bodě x0, jestliže má v bodě x0 vlastní derivaci ´(x0) a existuje-li takové číslo >0, tak, že pro každé x  (x0 - ; x0)  (x0; x0 + ) platí: (x) < ´(x0)(x – x0) + (x0). Je-li funkce konvexní (konkávní) v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvexní (konkávní) v int. I.

V: Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že ´´(x) > 0, (´´(x) < 0), pak je funkce v intervalu I konvexní (konkávní). Př. Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce f: y = (x - 1)3. Určíme první a druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace: Zřejmě pro x >1 je ´´(x) > 0 a pro x < 1 je ´´(x) < 0. To znamená, že funkce  je v int. (-; 1) konkávní a v int. (1; ) konvexní.

INFLEXNÍ BOD FUNKCE Def.: Nechť funkce  má v bode x0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce  z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ nebo z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“, nazýváme bod x0 inflexní bod funkce . V: Je-li bod x0 inflexním bodem funkce  a má-li funkce  v tomto bodě druhou derivaci, pak ´´(x0) = 0. V: Nechť funkce  má druhou derivaci v každém bodě nějakého -okolí bodu x0 a nechť tato druhá derivace ´´(x) má v intervalech (x0 - ; x0) a (x0; x0 + ) různá znaménka, pak bod x0 je inflexním bodem funkce .

Př. Určete inflexní body funkce: Určíme druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace a znaménka na vzniklých intervalech: Na intervalech (-; 0) a (0,5;) má 2.derivace kladné znaménko, tj. funkce je konvexní, na intervalu (0; 0,5) má 2.derivace záporné znaménko, tj. funkce je konkávní. Protože v obou bodech 2.derivace mění znaménko, jsou tyto inflexními body.