Základy informatiky přednášky Číselné soustavy

ZÁKLADY INFORMATIKY – Matematický aparát v teorii informace Vznik a vývoj teorie informace Matematický aparát v teorii informace Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny Číselné soustavy Informace Základní pojmy – jednotka a zobrazení informace, informační hodnota Entropie – vlastnosti entropie Zdroje zpráv – spojité zdroje zpráv, diskrétní zdroje zpráv Přenos informace – vlastnosti přenosu kanálů, poruchy a šumy přenosu, způsoby boje proti šumu Kódování Elementární teorie kódování Rovnoměrné kódy – telegrafní kód Nerovnoměrné kódy – Morseova abeceda, konstrukce nerovnoměrných kódů Efektivní kódy – Shannonova – Fanova metoda, Huffmanova metoda Bezpečností kódy Zabezpečující schopnosti kódů, Systematické kódy, Nesystematické kódy

ČÍSELNÉ SOUSTAVY-polyadické Diskrétní veličiny lze chápat jako posloupnost čísel, které mohou vytvářet různé soustavy. Každý diskrétní kód se tedy dá vyjádřit číselnou soustavou, v níž libovolné číslo N můžeme zapsat ve tvaru mnohočlenu: Z – základ číselné soustavy (Z je přirozené číslo >1) m – počet řádových míst ai - řádový koeficient (vlastní zobrazení číslice)

Pro zápis desetinného čísla je třeba využít pokračování mnohočlenu a to části se zápornými koeficienty podle: n – počet desetinných míst Pro přepis čísla v dané soustavě se vynechá základ Z a řadíme vedle sebe jen koeficienty ai, tedy např. pro m = 4 a n=2 dostáváme: a3 a2 a1 a0 . a-1 a-2

Příklad: Zobrazte číslo 12 v soustavách se základem Z=10, 8, 2 pomocí předchozího mnohočlenu. N=1.101 + 2.100 = 12(10) N=1.81 + 4.80 = 14(8) N=1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = 1100(2) Rovnost čísla 12 lze v různých soustavách vyjádřit podle následujícího zápisu, kde základ soustavy je označen indexem. 12(10) = 14(8) = 1100(2)

Příklad: Zobrazte číslo 25.75 v soustavách se základem Z=10, 8, 2 pomocí předchozího mnohočlenu. N = 2.101 + 5.100 + 7.10-1 + 5.10-2 = 25.75(10) m=2, Z=10, n=2 N = 3.81 + 1.80 + 6.8-1 = 31.6(8) m=2, Z=8, n=1 N=1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2-1 + 1.2-2 = 11001.11(2) m=5, Z=2, n=2 Rovnost čísla 25.75 lze v různých soustavách vyjádřit podle následujícího zápisu, kde základ soustavy je označen indexem. 25.75(10) = 31.6(8) = 11001.11(2)

Významné soustavy Základ 2 8 10 16 Soustava Binární Oktalová Dekadická Hexadecimální Zobrazení čísel v soustavách o různých základech 10 2 8 16 1 5 101 1010 12 A 15 1111 17 F 20 10100 24 14 30 11110 36 1E 50 110010 62 32

K = Zm Nmax = Zm-1 Př.: Z=10, m=3,K=? Kapacita soustavy K=Z  Počet všech možných kombinací, který poskytuje číselná soustava o základu Z a m řádových místech K = Zm Nejvyšší hodnota, které může číslo N dosáhnout při daném Z a m je dána vztahem: Nmax = Zm-1 Př.: Z=10, m=3,K=? m K=Z  K=1000 možných čísel (0..999)

Počet míst v číselných soustavách Z předchozího vzorce zlogaritmováním dostaneme vztah pro počet míst čísla dekadického Nmax v soustavě o základu Z: Tento vztah platí i pro libovolné jiné číslo N < Nmax. Podle něho můžeme vyjádřit počet míst, potřebný pro číslo N z desítkové soustavy do soustavy např. dvojkové.

Počet řádových míst pro vyjádření dekadických čísel ve dvojkové a šestnáctkové soustavě m=log2(N(10)+1) zaokrouhleno 10 3,4594 4 20 4,3923 5 50 5,6724 6 100 6,6582 7 200 7,6511 8 500 8,9687 9 1000 9,9672 3000 11,5512 12 5000 12,2880 13 10000 13,2879 14 100000 16,6097 17 N(10) m=log16(N(10)+1) zaokrouhleno 10 0,8649 1 20 1,0981 2 50 1,4181 100 1,6646 200 1,9128 500 2,2422 3 1000 2,4918 3000 2,8878 5000 3,0720 4 10000 3,3220 100000 4,1524 5

Pro určení počtu cifer při převodu z libovolné soustavy do jiné soustavy platí vztah: a - zdrojová soustava b - cílová soustava ma - počet cifer čísla ve zdrojové soustavě mb - počet cifer čísla cílové soustavě Příklad: Kolik cifer bude mít desetimístné binární číslo v hexadecimální soustavě?

Metoda postupného odečítání Operace ve dvojkové soustavě - Základem binární číselné soustavy je číslo 2. - Možné zbytky po dělení jsou pouze 0 a 1. - Polohy těchto číslic v binárním čísle mají různé váhy, například: 26 25 24 23 22 21 20 1 64 32 16 8 4 2 1.26 + 1.25 1.24 1.23 1.22 0.21 0.20 = 124 Pro převod z desítkové soustavy do binární existuje více možností: Metoda postupného dělení Metoda postupného odečítání

příklad převodu čísla 124 : Metoda postupného dělení : příklad převodu čísla 124 : 124 : 2 = 62 zbytek 62 : 2 = 31 zbytek 31 : 2 = 15 zbytek 1 15 : 2 = 7 zbytek 1 7 : 2 = 3 zbytek 1 3 : 2 = 1 zbytek 1 1 : 2 = 0 zbytek 1 124  1 1 1 1 1 0 0

Metoda postupného odečítání příklad převodu čísla 27: 27  1 1 0 1 1

Metoda postupného odečítání (jiné znázornění): příklad převodu čísla 27: 27 : 24 = 1 zbytek 11 11 : 23 = 1 zbytek 3 3 : 22 = 0 zbytek 3 3 : 21 = 1 zbytek 1 1 : 20 = 1 zbytek 27  1 1 0 1 1

Převod desetinného čísla Můžeme využít postupu naznačeného na předchozím obrázku (pomocí postupného odečítání) Příklad převodu čísla 0,125: : 2-1 = 0 zbytek 0.125 0.125 0.125 : 2-2 = 0 zbytek 0.125 0.125 : 2-3 = 1 zbytek 0.125  0. 0 0 1

Převod desetinného čísla Nebo použijeme metodu postupného násobení základem, kdy sepisujeme celou část výsledku násobení (viz následující příklad) Příklad převodu čísla 0,125: 0.125 . 2 = 0.25 0.25 celá část zbytek 0.25 . 2 = 0.5 celá část zbytek 0.5 0.5 . 2 = 1 celá část 1 zbytek 0.125  0. 0 0 1

Př.: dekadicky binárně 189 10111101 ……. sčítanec Sčítání v dvojkové soustavě: sčítání ve dvojkové soustavě se provádí stejně jako v soustavě desítkové u sčítaní mohou nastat v každém kroku jen tyto situace: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 Př.: dekadicky binárně 189 10111101 ……. sčítanec 78 1001110 ……. sčítanec 267 100001011 ……. součet

9 x 6 = 54 a) - posun doleva o k míst a doplnění nulama číslem 2k Násobení ve dvojkové soustavě: a) - posun doleva o k míst a doplnění nulama číslem 2k 7 x 4 = 28 1 1 1 x 22 = 1 1 1 0 0 b) libovolným celým číslem 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 . 1 1 0 1 1 0 9 x 6 = 54

c) libovolným necelým číslem dekadicky binárně 2.25 1 0 . 0 1 3.5 1 1 . 1 . 1125 1 0 0 1 675 1 0 0 1 7.875 1 0 0 1 . 1 1 1.1 1 1

a) číslem 2k - posun doprava o k míst Dělení v dvojkové soustavě: a) číslem 2k - posun doprava o k míst 24 : 4 = 6 1 1 0 0 0 : 22 = 1 1 0 b) libovolným celým číslem 21 : 6 = 3.5 1 0 1 0 1 : 1 1 0 = 1 1 . 1 - 1 1 0 1 0 0 1 - 1 1 0 1 1 0

1 4 6 82 81 80 64 8 Operace v osmičkové soustavě Základem této číselné soustavy je číslo 8. Možné zbytky po dělení osmi jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a) převod z osmičkové na desítkovou soustavu (příklad pro převod čísla 146(8) 82 81 80 1 4 6 64 8 1.82 + 4.81 6.80 = 102

b) převod z dekadické na osmičkovou soustavu 102 : 8 = 12 6 zbytek 12 : 8 = 1 4 zbytek 1 : 8 = 0 1 zbytek 1 0 2(10)  1 4 6(8)

Sčítání v osmičkové soustavě: Při sčítání v osmičkové soustavě vycházíme z následující tabulky přenosů: + 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16

Sčítání v osmičkové soustavě: V dekadické soustavě 1 8 9 7 8 2 6 7 1 7 2 2 3 4 4 0 6 V osmičkové soustavě 2 7 5 1 1 6 4 1 3 2 5 4 3 5 2 6 2 6

Odečítání v osmičkové soustavě Převádíme na sčítání s doplňkem (tj. k menšenci přičítáme doplněk menšitele do Nmax : Pro doplněk platí: D = (Zm – 1) – X kde: m – počet míst menšence X – menšitel Z – základ soustavy

Odečítání v osmičkové soustavě Příklad: Zjistěte rozdíl čísel v osmičkové soustavě: (364)8 - (172)8 Řešení: (172)8

1 A 7 162 161 160 256 16 Operace v šestnáctkové soustavě Základem této soustavy je číslo 16. Možné zbytky po dělení (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F) a) převod ze šestnáctkové na desítkovou soustavu (příklad pro převod čísla 1A7(16) 162 161 160 1 A 7 256 16 1.162 + 10.161 7.160 = 423

b) převod z dekadické na hexadecimální soustavu 423 : 16 = 26 7 zbytek 26 : 16 = 1 10 zbytek 1 : 16 = 0 1 zbytek 4 2 3(10)  1 A 7(16)

Sčítání v hexadecimální soustavě: V dekadické soustavě 1 8 9 7 8 2 6 7 1 7 2 2 3 4 4 0 6 V hexadecimální soustavě B D 4 E 1 0 B A C E A 1 9 6

Odečítání v hexadecimální soustavě Příklad: Zjistěte rozdíl čísel v hexadecimální soustavě: (C6)16 - (A3)16 Řešení: (23)16

N(x) → N(10) → N(y) Vzájemné převody mezi číselnými soustavami Obecně se přepočet ze soustavy x do soustavy y provádí ve dvou částech, přes desítkovou soustavu podle schématu: N(x) → N(10) → N(y) V některých případech můžeme převádět ze soustavy x do soustavy y přímo. Jedná se o případ, kdy můžeme vztah mezi základy soustav x a y vyjádřit ve tvaru: (n představuje kladné celé číslo větší než 1) Příkladem je převod z binární soustavy do soustavy oktalové nebo hexadecimální nebo naopak. Zde potom platí:

Při přímém (rychlejším) převodu ze soustavy x do soustavy y seskupíme v zápisu čísla N(x) číslice do n-členných skupin (začínáme zprava) a každou takto získanou skupinu vyjádříme jako číslici v soustavě y. Příklad: Převod čísla z binární soustavy do soustavy oktalové Mezi základy platí vztah: => Seskupujeme do tří-členných skupin ( 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 )2 = ( N )8 ( 1 011 001 100 )2 = ( 1 3 1 4 )8 1 3 1 4

Příklad: Převod čísla z binární soustavy do soustavy hexadecimální Mezi základy platí vztah: => Seskupujeme do 4-členných skupin ( 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 )2 = ( N )16 ( 10 1100 1100 )2 = ( 2 C C )16 2 C C Cifry za desetinnou tečkou seskupujeme do 4-členných skupin zleva ( 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 . 1 0 1 )2 = ( N )16 ( 10 1100 1100 1010 )2 = ( 2 C C . A )16 2 C C A

Analogicky při opačném převodu musíme dát pozor na to, že při převodu ze soustavy y do soustavy x, každá číslice soustavy y představuje právě n-člennou skupinu číslic v soustavě x. (Tzn. Například při převodu z hexadecimální do binární soustavy každá hexad. číslice odpovídá právě čtyřem binárním) Příklad: Převod čísla z hexadecimální soustavy do soustavy binární ( E F 6 )16 = ( N )2 ( E F 6 )16 = ( 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 )2 1110 1111 0110

( 3 2 4 )8 = ( N )10 ( 1 1 0 1 0 1 )2 = ( N )10 ( A C )16 = ( N )10 Příklady k procvičení: Převeďte následující čísla ze soustav o základech 2, 8, 16 do dekadické soustavy. ( 3 2 4 )8 = ( N )10 ( 1 1 0 1 0 1 )2 = ( N )10 ( A C )16 = ( N )10 ( 2 1 2 )10 ( 5 3 )10 ( 1 7 2 )10 Převeďte následující čísla z dekadické soustavy do soustav o základech 2, 8, 16. ( 1 8 7 )10 = ( N )16 ( 2 5 )10 = ( N )2 ( 6 7 )10 = ( N )8 ( B B )16 ( 1 1 0 0 1 )2 ( 1 0 3 )8

Příklady k procvičení: Vypočtěte v dané soustavě: (4 4)8 (2 4)16 (1011,110)2 (3 4)8 (1C)16 (1010,101)2 (1 0 0)8 (4 0)16 (10110,011)2 Převeďte desetinné číslo: ( 25.75 )10 = ( N )2 ( 25.75 )10 = ( N )8 ( 11001.11 )2 ( 31.6 )8

Příklady k procvičení: Převeďte přímo: ( 10110011101 )2 = ( N )8 ( 10110011101.11 )2 = ( N )16 ( 2635 )8 ( 59D.C )16 ( 137.2 )8 = ( N )2 ( A2.5 )16 = ( N )2 ( 1011111.010 )2 ( 10100010.0101 )2

Příklad: Převeďte desetinné číslo do binární soustavy. 0.4 · 2 = 0.8 0.8 · 2 = 1.6 1 0.6 · 2 = 1.2 0.2 · 2 = 0.4 Výpočet vede na periodické binární číslo, kde perioda je „0110“. (0,4)10 = (0,0110)2 (0,0110)2=(0,375)10 tj. Chyba při převodu je (0,025)10 (0,4)10 = (0,01100110)2 (0,01100110)2=(0,3984)10 tj. Chyba při převodu je (0,0016)10 .

Násobení v číselných soustavách Násobení se snadno převede na řadu sčítacích operací tím, že se sečítá postupně násobenec tolikrát, kolikrát určují hodnoty řádových míst násobitele. Začne se jednotkovým místem násobitele a pří přechodu na vyšší místo násobitele posuneme příslušný sloupec násobenců o jedno místo vlevo. Násobení čísel v desítkové a v osmičkové soustavě je naznačeno níže. (4 5)10 · (1 3)10 (3 5)8 · (2 4)8 4 5 3 5 (1 1 0 4)8 (5 8 5)10

Dělení v číselných soustavách Dělení je nejsložitějším početním úkonem ze všech již vyjmenovaných. Vyžaduje řadu operací odečítacích (pro zjednodušení řadu operací, obsahujících sečítání s doplňkem). V prvním případě se odečítá od dělence tak dlouho, až zbytek začne nabývat záporných hodnot. Ve druhém případě se přičítá doplněk tak dlouho, dokud výsledný součet je větší než dělitel. Příklad: 350 : 85 = 4 zbytek 10

Příklad: Vydělte číslo (100100)2 číslem (11)2. -11000 1100 -1100 0000 Protože postupné odečítání čísla (11)2 by vedlo ke zdlouhavému procesu, je možné použít postupu naznačeného zde. Tzn. číslo doplním nulami tak abych dostal nejbližší nižší k dělenci. Jednotlivé výsledky pak zapisuji na odpovídající řádové místo. Výsledek tedy je 1100

Zobrazení záporných čísel Jedním z problémů při ukládání binárních čísel v počítači je způsob záznamu záporných čísel, neboť pro číslo je k dispozici jen omezený počet bitů. Existuje několik způsobů: Přímý kód Doplňkový kód Inverzní kód Kód s posunutou nulou

Proto byl později pro záznam záporných čísel objeven Přímý kód - vyčlenění prvního bitu jako znaménka. Příklad: Pokud binární číslo 00000001 vyjadřuje jedničku, pak 10000001 označuje -1. Nevýhody: Komplikace při praktickém počítání – nejprve je vždy třeba testovat znaménkový bit a podle výsledku provést sčítání nebo odčítání, je třeba mít pro sčítání a odčítání různé algoritmy, existují dvě reprezentace čísla nula – kladná a záporná nula. Proto byl později pro záznam záporných čísel objeven - doplňkový kód.

Doplňkový kód (binární negace) záporné číslo je zaznamenáno jako binární negace (záměna všech 0 za 1) původního čísla zvětšená o 1, úvodní bit má v tomto kódu opět význam znaménka, využívá se faktu, že při odečtení čísla 00000001 od čísla 00000000 dojde k přetečení, a výsledkem je číslo 11111111. Výhody: Není třeba speciální algoritmus pro odečítaní, jediná reprezentace čísla nula. Příklad: Vyjádřete číslo (-13) doplňkovým kódem. pokud 00001101 je binární vyjádření čísla 13, pak -13 se vypočte jako: 11110010 + 1 = 11110011 (binární negace)

Pokud se sečte záporné číslo vyjádřené doplňkovým kódem s jiným záporným nebo větším kladným číslem, dojde k přetečení rozsahu. Kód je ale zvolen tak, že po odříznutí přetečeného bitu dostáváme správný výsledek. Příklad: Přičtěte k číslu (-13) vyjádřeného doplňkovým kódem číslo 20. Vyjádření čísla (-13) doplňkovým kódem: 11110011 Binární vyjádření čísla 20: 00010100 -13 + 20 = 20 + (-13) = 00010100 + 11110011 = 1 00000111 = 7 (po odříznutí přeteklého devátého bitu)

Příklad: Vyjádřete číslo (-21) doplňkovým kódem a přičtěte k němu číslo 25. Vyjádření čísla (-21) doplňkovým kódem: (21)10 = (10101)2 doplnění na 8-mi bitové číslo: 00010101 binární negace: 11101010 přičtení jedničky: 11101010+1=11101011 Binární vyjádření čísla 25: 00011001 -21 + 25 = 25 + (-21) = 00011001 + 11101011 = 1 00000100 = 4 (po odříznutí přeteklého devátého bitu)

Inverzní kód doplněk ke dvěma výše uvedeným metodám, jakýsi mezikrok – kladná čísla se vyjadřují normálním způsobem, záporná čísla se vyjadřují binární negací čísla, tento kód má stále dvě reprezentace čísla nula. Příklad: Vyjádřete číslo 3 a (-3) inverzním kódem. binární vyjádření čísla 3: 11 doplnění na 8-mi bitové číslo: 00000011 Číslo -3 vyjádřené pomocí inverzního kódu: binární negace 00000011 tj. 11111100

Kód s posunutou nulou k číslu se připočítává nějaká známá konstanta. tento kód se běžně používá pro reprezentaci exponentu reálných čísel. Nevýhody: kladná čísla se liší od bezznaménkové reprezentace čísel, operace sčítání nepotřebuje úpravy, ale pro operaci násobení je nutné od operandů odečíst známou konstantu. Příklad: pro osmibitová čísla, která mohou reprezentovat 256 různých čísel, je možné považovat: 00000000 = -128 10000000 = 0 11111111 = 127.

Převod mezi číselnými soustavami v prostředí Mathematica Převod z desítkové soustavy do jiné Převod z jiné libovolné soustavy do desítkové

NEPOLYADICKÉ (nepoziční) SOUSTAVY Jsou to soustavy, které nelze vyjádřit mnohočlenem: Nepoziční číselná soustava je způsob reprezentace čísel, ve kterém není hodnota číslice dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic. Každá číslice tedy nemá pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla. V nejjednodušším systému stačí sečíst hodnoty jednotlivých číslic. Nevýhody: Často neobsahovaly symbol pro nulu a záporná čísla. Dlouhý zápis čísel, která výrazně převyšují hodnotu největšího symbolu soustavy. Výhody: Jednoduché sčítání a odečítání

Na = aa.Z + Ra Nb = ab.Z + Rb Soustava zbytkových tříd Celé číslo v dekadické soustavě není vždy dělitelné základem jiné soustavy. dělením vznikají podíly a zbytky Na = aa.Z + Ra Nb = ab.Z + Rb Čísla které mají stejné zbytky, náleží do stejné zbytkové třídy R modulo Z => soustava zbytkových tříd

Funkce základu je zcela odlišná od soustav polyadických. Číselná soustava zbytkových tříd je charakterizována několika základy (Z1, Z2, …, Zn). Funkce základu je zcela odlišná od soustav polyadických. Základem jsou celá kladná čísla, která musí být vzájemně nesoudělná. Počet základů má u tohoto typu číselných soustav podobný význam jako počet řádových míst u soustav polyadických.

… N(10) Z1 N(10) Z2 = podíl + R1 = podíl + R2 Jednotlivé číslice soustavy odvozujeme z dekadických čísel jako N(10) mod Zi = Ri . Výsledné číslo je tedy dáno sepsáním zbytků Ri , které získáme při dělení jednotlivými základy Z1, Z2, …,Zn. N(10) Z1 = podíl + R1 N(10) Z2 = podíl + R2 …

Zápis čísla bude 11(10) = 121(Z235) Příklad: Nechť Z1=2, Z2=3, Z3=5. Převeďte číslo 11 do soustavy zbytkových tříd o těchto základech. 11:2 = 5 R1= 1 11:3 = 3 R2= 2 11:5 = 2 R3= 1 Zápis čísla bude 11(10) = 121(Z235)

protože Z1 a Z3 nejsou nesoudělná čísla. Příklad: Nechť Z1=2, Z2=3, Z3=4. Perioda (kapacita) této soustavy je P=2.3.4=24. Zapište všechna čísla takové soustavy. 0-000 1-111 2-022 3-103 4-010 5-121 6-002 7-113 8-020 9-101 10-012 11-123 12-000 13-111 14-022 15-103 16-010 17-121 18-002 19-113 20-020 21-101 22-012 23-123 !!! Všechny kombinace se opakují 2 krát !!! protože Z1 a Z3 nejsou nesoudělná čísla. Proto u soustavy zbytkových tříd tvoří základy prvočísla

Kapacita soustavy zbytkových tříd Kapacita soustavy zbytkových tříd je dána periodou, která je nejmenším společným násobkem základů Z1, Z2, …, Zn. Perioda se označuje znakem P a je dána v případě prvočíselných základů vztahem: P = Z1 · Z2 · ... · Zn Příklad: Nechť Z1=2, Z2=3, Z3=7. Jaká je perioda (kapacita) této soustavy? P = 2 · 3 · 7 = 42

33(10) = N(Z357) 77(10) = N(Z2357) 035(Z357) 1220(Z2357) Příklady k procvičení: Převeďte číslo z dekadické soustavy do soustavy zbytkových tříd o daných základech: 33(10) = N(Z357) 77(10) = N(Z2357) 035(Z357) 1220(Z2357)

Aritmetické operace v soustavě zbytkových tříd Operace v soustavě zbytkových tříd se řídí odlišnými pravidly. Postup je demonstrován na operaci sčítání, odčítání a násobení. Příklad: Nechť Z1=2, Z2=3, Z3=5. Převeďte dekadická čísla 2, 4, 8, 14 do soustavy s těmito základy. Najděte součet čísel 14 a 8, rozdíl čísel 8 a 4, součin čísel 4 a 2. sčítání 2(10) = 022(Z235) 4(10) = 014(Z235) 8(10) = 023(Z235) 14(10) = 024(Z235) 22(10) = 012(Z235) 14 0 2 4 +8 0 2 3 22 0 4 7 výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd 0 : 2 = 0 zb. 0 4 : 3 = 1 zb. 1 7 : 5 = 1 zb. 2

odčítání násobení 8 0 2 3 - 4 0 1 4 4 0 1 9 4 0 1 4 x 2 0 2 2 8 0 2 8 výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd výsledek v dekadické soustavě, pomocí základů převedeme znovu do soustavy zbytk. tříd 0 : 2 = 0 zb. 0 1 : 3 = 0 zb. 1 9 : 5 = 1 zb. 4 0 : 2 = 0 zb. 0 2 : 3 = 0 zb. 2 8 : 5 = 1 zb. 3 Příklady k procvičení: Proveďte dané aritmetické operace v soustavě zbytkových tříd. 214(Z357) + 231(Z357) = 231(Z357) x 144(Z357) = 214(Z357) - 231(Z357) = 145(Z357) 224(Z357) 033(Z357)

Římská čísla I = 1 X = 10 L = 50 M = 1000 V = 5 C = 100 D = 500 Římská číselná soustava je asi nejznámější nepolyadická soustava. Základní římské číslice používané dnes jsou: I = 1 X = 10 L = 50 M = 1000 V = 5 C = 100 D = 500 Pravidla pro práci s Římskými čísly Spojováním a opakováním základních symbolů lze zapisovat i větší čísla. Větší číslice vždy předcházejí menší. Číslice V, L, D mohou být zapsány nejvýše jednou za sebou a číslice I, X, C nejvýše třikrát za sebou. M se může libovolně opakovat.

Pravidla pro práci s Římskými čísly Římské číslice se zapisují až na výjimky zprava doleva. Římané obvykle psali číslo 4 jako IIII, číslo 40 jako XXXX, číslo 999 jako DCCCCLXXXXVIIII. Ke zkrácení zápisu takových dlouhých čísel se začalo používat zvláštního pravidla pro odečítání. Pravidlo pro odečítání umožňuje použití šesti složených symbolů, ve kterých menší číslice předchází větší IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900 Př.: MCMXCIV = 1000 + (1000 - 100) +(100 - 10) + (5 - 1) = 1994 Při použití tohoto pravidla lze číslo 999 napsat úspornějším způsobem CMXCIX. Používání jiných symbolů není dovoleno. Proto nelze napsat 999 jako IM. Na druhou stranu ale používání tohoto pravidla není povinné. Číslici 4 lze napsat správně jako IV i jako IIII.

Pravidla pro práci s Římskými čísly Jsou li stejné znaky vedle sebe, nebo jsou-li čísla seřazena sestupně, tak se sčítají. Př.: MMDCLXXXVI = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2686 Římané neměli žádné slovo pro milion a takto velká čísla používali velmi zřídka. Teprve později a zvlášť ve středověku bylo nutné zapisovat i větší čísla. Proto byly zavedeny znaky s následujícími významy: = 10 000 = 100 000 = 1 000 000 Tyto čárkované symboly se ale dnes prakticky nevyskytují.

Historie Římských čísel I Římská čísla vznikla přirozenou cestou. Římané počítali na prstech. Čísla jako 1, 2 a 3 a jím odpovídající znaky I, II a III graficky vyjadřují jednotlivé prsty. V a X Také tato dvě římská čísla mají svůj původ v lidské ruce: Římská číslice V (5) je vyjádřením dlaně s pěti prsty – „V“ tvoří tvar mezi palcem a malíčkem. Římská číslice X (10) jsou dvě dlaně u sebe (10 prstů). L a C Latinsky sto je centum. Odtud C. Padesát je polovina ze stovky. L tedy vzniklo "rozpůlením" znaku pro 100 (C). D a M Tisíc je latinsky mille (odtud M pro 1000). Znak D pro 500 vznikl opět grafickým "půlením" znaku M, tentokrát svisle. Vznikl tak znak podobný písmenu D.

Tabulka římských číslic

KONEC