Způsob řešení soustavy lineárních rovnic Matice Definice Matice je množina prvků zobrazená v obdélníkovitém tvaru. Nejznámější je její využití při řešení lineárních rovnic. Píše se do závorek. Soustavu rovnic Příklad k definici LEVÁ STRANA 2x - y + 3z = -1 x + 2z = 1 3x - 2y - z = - 8 Zapíšeme takto: 2 -1 3 -1 1 0 2 1 3 -2 -1 -8 PRAVÁ STRANA HLAVNÍ DIAGONÁLA Matice se označuje velkým písmenem a definuje se počtem řádků a počtem sloupců. Tato matice bude tudíž zapsána např. takto: A (3,4) Pokud má matice levou a pravou stranu nazýváme ji rozšířenou maticí. Způsob řešení soustavy lineárních rovnic Přepsání soustavy do matice Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru Dosazení proměnných Gaussův tvar matice Je když jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny nule. 1 0 2 1 0 -1 –1 3 0 0 1 1 Při převádění matic do Gaussova tvaru jsou povoleny tyto úpravy: Výměna umístění řádků pozn.: Ideální je, když 1. řádek začíná jedničkou Přičtení násobku jiného řádku k jinému Libovolný řádek matice můžeme vynásobit číslem různým od nuly Vynechat můžeme řádek ze samých nul, pokud to není jediný řádek v matici Vynechat můžeme řádek, který je násobkem jiného Matice je homogenní když jsou prvky na pravé stranně rovny nule. Nehomogenní jsou ty ostatní.

Zjištění počtu řešení soustavy rovnic Počet řešení soustavy rovnic se stanovuje pomocí Gaussovy eliminační metody. Hodnost matice h definujeme počtem řádků. Hodnost rozšířené matice zapisujeme jako hr. Pokud počet neznámých v soustavě označíme jako n, tak platí, že soustava má jedno řešení když h = hr = n nekonečně mnoho řešení když h = hr < n nemá žádné řešení když h se nerovná hr (logika věci říká, že 0x + 0y + 0z nemůže být -2 Toto se zjišťuje, až když je matice v Gaussově tvar. 1 -1 3 -1 0 3 2 1 0 0 0 -2 Podrobně řešený příklad soustavy lin. rovnic x + 3y + 2z + t = 2 Přepsání soustavy do matice  1 3 2 1 2 Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru x + 2y -2t = -1 1 2 0 -2 -1 x + 4y + 5z + 7t = 6 1 4 5 7 6 1 2 0 -2 -1 1 2 0 -2 -1 Prohodím 1. a 2.řádek K 2.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 K 3.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 1 3 2 1 2 0 1 2 3 3 1 4 5 7 6 1 4 5 7 6 1 2 0 -2 -1 1 2 0 -2 -1 K 3.řádku přičtu násobek –2 řádku 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3 3 0 2 5 9 7 0 0 1 3 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení, a tak z neznámé např t uděláme parametr g (nemůžeme použít ty neznámé, které mají v posledním řádku nulu). Dosazovat začínáme od posledního řádku. z + 3t = 1  z + 3g = 1  z = 1 – 3g  Dosadíme do 2. řádku y + 2z + 3g = 3  y + 2 – 6g + 3g = 3  y = 1 + 3g  Dosadíme do 1. řádku x + 2y – 2g = -1  x + 2 + 6g – 2g = -1  x = -3 – 4g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 1, 1, 0] + g ( -4, 3, -3, 1) Výsledek příkladu 8.1. Vyšel dobře podle zkoušky i výsledků ve scriptech.

Homogenní matice – příklad 8.2 x – 2y – z + 3t = 0 3x – 5y – 2z + 7 t = 0 -x + 2y – 2z – 2t = 0 K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 Přepsání soustavy do matice  1 -2 -1 3 0 1 -2 -1 3 0 3 -5 -2 7 0 0 1 1 -2 0 -1 2 -2 -2 0 -1 2 -2 -2 0 K 3.řádku přičtu řádek 1 1 -2 -1 3 0 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr g učiním z neznámé z. Dosazovat začínáme od posledního řádku. 0 1 1 -2 0 0 0 -3 1 0 -3z + t = 0  -3g + t = 0  t = 3g  Dosadíme do 2. řádku y + z – 2t = 0  y + g – 6g = 0  y = 5g  Dosadíme do 1. řádku x - 2y – z + 3t = 0  x – 10g - g + 9g = 0  x = 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 0, 0, 0, 0] + g ( 2, 5, 1, 3) Výsledek je správně podle zkoušky, ale rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já. Nehomogenní matice – příklad 8.3 K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 x – 5y – 3z + 3t = -5 2y + 2z – t = 3 2x – 3y + z – t = -3 Přepsání soustavy do matice  1 -5 -3 3 -5 1 -5 -3 3 -5 0 2 2 -1 3 0 2 2 -1 3 2 -3 1 -1 -3 0 7 7 -7 7 3.řádek vykrátím a prohodím s druhým K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 2 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr g učiním z neznámé z. 1 -5 -3 3 -5 1 -5 -3 3 -5 0 1 1 -1 1 0 1 1 -1 1 0 2 2 -1 3 0 0 0 1 1 Dosazovat začínáme od posledního řádku. t = 1  Dosadíme do 2. řádku y + z – t = 1  y + g – 1 = 1  y = 2 - g  Dosadíme do 1. řádku x - 5y – 3z + 3t = -5  x – 10 + 5g - 3g + 3 = -5  x = 2 - 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 2, 2, 0, 1] + g ( -2, -1, 1, 0) Výsledek je správně podle zkoušky, ale je nepatrně rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já.

Výsledek O.K. Výsledek O.K. Příklad 8.4 x + y – 3z + t = 4 -x + 3z + t = -1 x + 2y – 3z + 3t = 7 Přepsání soustavy do matice  1 1 -3 1 4 k 2.řádku přičteme 1.řádek 1 1 -3 1 4 -1 0 3 1 -1 0 1 0 2 3 1 2 -3 3 7 1 2 -3 3 7 k 3.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. 1 1 -3 1 4 Vynechám třetí řádek 1 1 -3 1 4 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 Parametr g učiním z neznámé t. Dosazovat začínáme od posledního řádku. y + 2t = 3  y + 2g = 3  y = 3 - 2g  Dosadíme do 1. řádku x + y – 3z + t = 4  [z neznámé z učiním parametr p] x + 3 – 2g – 3p + g = 4  x = 1 + g + 3p Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 1, 3, 0, 0] + g ( 1, -2, 0, 1) + p ( 3, 0, 1 ,0 ) Výsledek O.K. Příklad 8.5 x + y – z = 4 2x + 2y - z = 6 x + 3y + z = 10 1 1 -1 4 k 2.řádku přičteme –2 násobek řádku 1 1 1 -1 4 Prohodím 2.řádek za třetí Přepsání soustavy do matice  2 2 -1 6 0 0 1 -2 1 3 1 10 1 3 1 10 k 2.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 1 1 -1 4 1 1 -1 4 1 1 -1 4 h = hr = n  rovnice má 1 řešení. Vykrátím 2.řádek 1 3 1 10 0 2 2 6 0 1 1 3 0 0 1 -2 0 0 1 -2 0 0 1 -2 Dosazovat začínáme od posledního řádku. z = -2  Dosadíme do 2. řádku y + z = 3  y – 2 = 3  y = 5  Dosadíme do 1. řádku x + y – z = 4  x + 5 + 2 = 4  x = -3 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, 2] Výsledek O.K.

Determinant - nástin definice Zde se nedovíte, proč jsou operace s použitím determinantu pravdivé (permutace, inverze), ale jen konstatování že determinant matice je jákási hodnota matice vyjádřená číslem. Tuto hodnotu – determinant počítáme podle tzv. Sarrusova pravidla. Toto pravidlo používáme jen u matic typu 2*2 a 3*3 prvků. Řešení přiblížím tak, že do matice zakreslím diagonály vedoucí zprava doleva dolů a diagonály vedoucí z leva doprava dolů. Prvky ležící na každé diagonále budu násobit. Násobky z diagonál zleva doprava budu k sobě přičítat a násobky z diagonál zprava doleva budu odčítat. Determinant (budeme označovat det) se u této matice bude rovnat. 2 * 4 - (-1) * 1 = 9 Pokud máme matici s hodností 3 opíšeme první dva řádky pod třetí, aby diagonály byly tzv. kompletní. 2 * 4 * (-1) + 1 * (-2) * 3 + 3 * (-1) * 2 – 3 * 4 * 3 – 2 * (-2) * 2 – (-1) * (-1) * 1 = (-8) + (-6) + (-6) – 36 – (-8) – 1 = -49 Před samotným výpočtem se mohou matice elementárně upravovat (vykrátit, prohodit řádky, … ) 2 -1 1 4 - + 2 -1 3 1 4 2 3 -2 -1 + - Způsob řešení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantu Při řešení soustavy lin. rovnic pomocí matic se potkáváme s tzv. rozšířenými maticemi o hodnosti H´. Protože při řešení budeme používat Sarrusovo pravidlo, tak zdůrazním, že řešíme matice o hodnosti H = 2 nebo H = 3, kdy počet řádků této nerozšířené matice je roven počtu sloupců. počítá s tím, že pro každou neznámou si zapíše novou matici prohozením sloupců. Pro názornou ilustraci označím sloupce symboly. Pak bude platit: Cramerovo pravidlo ? @ * * @ ? * det Ax det A A je levá strana rozšířené matice. Ax = Ay = x = det Ax det A y =

Cramerovo pravidlo - pokračování ? @ ° * ? @ ° * @ ° ? * ° ? @ * A = Ax = Ay = Az = Slovy bych to vyjádřil asi takto: Matici pro neznámou x zapíši tak, že sloupec s neznámými x nahradím sloupcem z pravé strany rozšířené matice. Ax = det Ax det A Ay = det Ay det A Az = det Az det A Příklad 10.1 x + y – z = 4 2x + 2y – z = 6 x + 3y + z = 10 1 1 -1 2 2 -1 1 3 1 = 1 * 2 * 1 + 2 * 3 * (-1) + 1 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 1 – (-1) * 3 * 1 – 1 * 1 * 2 = 2 – 6 – 1 + 2 + 3 – 2 = -2 A = 4 1 -1 6 2 -1 10 3 1 Ax = 4 * 2 * 1 + 6 * 3 * (-1) + 10 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 10 – (-1) * 3 * 4 – 1 * 1 * 6 = 8 – 18 – 10 + 20 + 12 – 6 = 6  x = det Ax : det A = 6 : (-2) = -3 Ax = 1 4 -1 2 6 -1 1 10 1 Ay = 1 * 6 * 1 + 2 * 10 * (-1) + 1 * 4 * (-1) – (-1) * 6 * 1 – (-1) * 10 * 1 – 1 * 4 * 2 = 6 – 20 – 4 + 6 + 10 – 8 = -10  y = det Ay : det A = (-10) : (-2) = 5 Ay = 1 1 4 2 2 6 1 3 10 Az = Az = 1 * 2 * 10 + 2 * 3 * 4 + 1 * 1 * 6 – 4 * 2 * 1 – 6 * 3 * 1 – 10 * 1 * 2 = 20 + 24 + 6 – 8 – 18 – 20 = 4  z = det Az : det A = 4 : (-2) = -2 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2] Výsledek O.K. Kdybych si mohl vybrat způsob řešení soustavy lineárních rovnic, tak bych dal určitě přednost řešení pomocí determinantu před dosazovací metodu a klasickým zpracováním matice kvůli nejmenší pravděpodobnosti udělání chyby.

Příklad 10.2 Příklad 10.4 2x + 7y + 5z = 8 -3x + y + 4z = 11 2 7 5 -3 1 4 7 7 1 = 2 * 1 * 1 + (-3) * 7 * 5 + 7 * 7 * 4 – 5 * 1 * 7 – 4 * 7 * 2 – 1 * 7 * (-3) = 2 – 105 + 196 – 35 – 56 + 21 = 23 A = 8 7 5 11 1 4 -2 7 1 Ax = 8 * 1 * 1 + 11 * 7 * 5 + (-2) * 7 * 4 – 5 * 1 * (-2) – 4 * 7 * 8 – 1 * 7 * 11 = 8 + 385 – 56 + 10 – 224 – 77 = 46  x = det Ax : det A = 46 : 23 = 2 Ax = 2 8 5 -3 11 4 7 -2 1 2 8 5 Ay = 2 * 11 * 1 + (-3) * (-2) * 5 + 7 * 8 * 4 – 5 * 11 * 7 – 4 * (-2) * 2 – 1 * 8 * (-3) = 22 + 30 + 224 – 385 + 16 + 24 = -69  y = det Ay : det A = -69 : 23 = -3 Az = 2 * 1 * (-2) + (-3) * 7 * 8 + 7 * 7 * 11 – 8 * 1 * 7 – 11 * 7 * 2 – (-2) * 7 * (-3) = - 4 – 168 + 539 – 56 – 154 – 42 = 115  z = det Az : det A = 115 : 23 = 5 Ay = 2 7 8 -3 1 11 7 7 -2 2 7 8 Az = Příklad 10.4 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2]  O.K. 4x + y + 5z = 15 2x - 3y – z = -3 5x - 4y = 3 4 1 5 2 -3 -1 5 -4 0 = 4 * (-3) * 0 + 2 * (-4) * 5 + 5 * (-1) * 1 – 5 * (-3) * 5 – (-1) * (-4) * 4 – 0 * 1 * 2 = 0 – 40 – 5 + 75 – 16 – 0 = 14 A = 15 1 5 -3 -3 -1 3 -4 0 Ax = 15 * (-3) * 0 + (-3) * (-4) * 5 + 3 * 1 * (-1) – 5 * (-3) * 3 – (-1) * (-4) * 15 – 0 * 1 * (-3) = 0 + 60 – 3 + 45 – 60 + 0 = 42  x = det Ax : det A = 42 : 14 = 3 Ax = 4 15 5 2 -3 -1 5 3 0 Ay = 4 * (-3) * 0 + 2 * 3 * 5 + 5 * 15 * (-1) – 5 * (-3) * 5 – (-1) * 3 * 4 – 0 * 15 * 2 = 0 + 30 – 75 + 75 + 12 – 0 = 42  y = det Ay : det A = 42 : 14 = 3 Ay = 2x – 3y – z = -3  2 * 3 – 3 * 3 – z = -3  0 = z Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 3, 3, 0] Výsledek O.K.

A(m,n) * B(k,l)  musí platit, že m=l a n=k Operace s maticemi Násobení a dělení reálným číslem je to nejprimitivnější co nás může potkat Máme-li matici A 8 7 2 1 a násobek 3, pak jejich součin bude 3*8 3*7 3*2 3*1 Sčítání a odečítání matic je také velmi jednoduché. 1 2 3 4 5 6 7 8 1+5 2+6 3+7 4+8 6 8 10 12 Máme-li matici A a matici B pak jejich součet bude: Ještě vykrátit = Násobení matic U násobení matic se setkáváme s jednou zvláštností. Na rozdíl od násobení reálných čísel, kdy nám vyjdou stejné výsledky, ať už násobíme číslo A číslem B, tak u matic to neplatí  A * B se nerovná B * A Pak tu máme ještě jednu omezující podmínku, a to, že Počet sloupců v matici A se musí rovnat počtu řádků v matici B a počet řádků v matici A se musí rovnat počtu sloupců v matici B. A(m,n) * B(k,l)  musí platit, že m=l a n=k Pro znázornění zapíši matice pomocí indexů A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A1*B1+ A1*B2+ A2*B3 A2*B4 A3*B1+ A3*B2+ A4*B3 A4*B3 * = 1.řádek A* 1.řádek A* 1.sloupec B 2.sloupec B 2.řádek A* 2.řádek A* Pravidlo o tom, že A * B se nerovná B * A má jednu vyjímku (na další straně)

Inverzní matice Jednotková matice Inverzní matice A je maticí obrácenou k matici A. Pokud násobíme matici A maticí A dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme matici A maticí A. Inverzní matici A vypočteme za pomoci matice jednotkové E, a to tak že budeme řešit rozšířenou matici jejíž levou stranu bude tvořit matice A a pravou stranu matice E. Elementárními úpravy matice docílíme toho, že se jednotková matice E přesune na levou stranu rozšířené matice. Potom pravá strana matice bude rovna matici A , tedy matici inverzní k matici A. V tomto případě tedy platí, že A * A = A * A = E , ale také E * A = A * E -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Je taková matice, která má na své hlavní diagonále samé jedničky, a všechny ostatní prvky jsou nuly Jednotková matice 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matice, ke které existuje inverzní matice nazýváme maticí regulární. Matice, ke které neexistuje inverzní matice nazýváme maticí singulární. Inverzní matice existují pouze u matic typu n x n, pro které platí, že determinant A musí být různý od nuly a hodnost matice A musí být rovna počtu řádků n E = 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1) Začneme zapsáním rozšířené matice ve tvaru ( A | E ) Zkušební příklad: Zjistěte inverzní matici k matici A = 3 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 1 K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 1 1 2 0 0 1 Proházím si řádky 2 2 3 0 1 0 3 1 2 1 0 0 0 -2 -4 1 0 -3 1 1 2 0 0 1 2 2 3 0 1 0 2 2 3 0 1 0 K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 1 1 2 0 0 1 K 1.řádku přičtu ½ násobek řádku 2 1 0 0 ½ 0 -½ 3.řádek vynásobím -1 0 -2 -4 1 0 -3 0 -2 -4 1 0 -3 0 0 -1 0 1 -2 0 0 -1 0 1 -2 K 2.řádku přičtu 4 násobek řádku 3 1 0 0 ½ 0 -½ 1 0 0 ½ 0 -½ 2.řádek vydělím -2 1 0 0 ½ 0 -½ 0 -2 -4 1 0 -3 0 -2 0 1 -4 5 0 1 0 -½ 2 -2,5 0 0 1 0 -1 2 0 0 1 0 -1 2 0 0 1 0 -1 2 ½ 0 -½ Zkoušku provedeme tak, že vynásobíme A * A . Pokud nám vyjde E, tak je vše v pořádku. -1 -1 A = -½ 2 -2,5 0 -1 2

Maticové rovnice Postup Odvodíme vzorec pro výpočet neznámé matice X Při odvozování vzorce používáme vzorce, které známe z řešení matic inverzních Vypočítáme všechny potřebné matice Dosadíme do vzorce a vypočítáme matici X E = A * A -1 Příklad 11.8 -1 1) Rozšíření maticí X A * A * X = B * A X = B * A 2 1 3 1 2 3 AX = B, kdy A= B = -1 -1 1 -1 1 4 5 6 1 0 1 7 8 9 -1 -1 2) Spočítám matici A 2 1 3 1 0 0 Proházím řádky, a 2.řádek vynásobím -1 1 0 1 0 0 1 -1 A = K 2.řádku přičtu 1.řádek 1 -1 1 0 1 0 -1 1 -1 0 -1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 3 1 0 0 1 0 1 0 0 1 K 3. řádku přičtu –2 násobek řádku 1 1 0 1 0 0 1 K 3. řádku přičtu –1 násobek řádku 2 0 1 0 0 -1 1 0 1 0 0 -1 1 2 1 3 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 1 0 1 0 0 1 K 1. řádku přičtu –1 násobek řádku 3 1 0 0 -1 -1 3 -1 -1 3 -1 A = 0 1 0 0 -1 1 0 1 0 0 -1 1 0 -1 1 0 0 1 1 1 -2 0 0 1 1 1 -2 1 0 -2 3) Dosazení do rovnice 1 2 3 -1 -1 3 2 -3 -1 X = * = 4 5 6 0 -1 1 2 -9 3 7 8 9 1 0 -2 2 -15 19 Sice mi to nevyšlo, ale už s matikou končím, protože v principu to chápu.