ŘÍZENÍ JAKOSTI A SPOLEHLIVOSTI Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček

Obsah prezentace Charakteristiky jednotlivých metod v teorii spolehlivosti Matematický popis Markovských procesů Markovské procesy ve spolehlivosti Řešení Markovských procesů

Charakteristiky nejpoužívanějších metod ve spolehlivosti z ... metoda je způsobilá nz ... metoda není způsobilá nebo vhodná

Použití metody Markovova analýza (MA) je metoda, pomocí které lze zjistit dynamické parametry pohotovosti a bezporuchovosti systému. Metoda je popsána v normě ČSN IEC 1165. MA se využívá u systémů se složitou strategií údržby. Je to například (příklady jsou uváděny na dvou jednotkách): Prioritní údržba - při poruše se opraví vždy první a potom až druhá komponenta. Různé doby do obnovy - při poruše komponenty 1 a následně komponenty 2 je jiná doba opravy než při poruše komponenty 2 a následně komponenty 1. Pravidelné údržbové zásahy - každý týden se komponenta zkoumá zda nevznikne v blízké budoucnosti porucha. Metoda je značně obtížná na přípravu a vypracování, proto se doporučuje, aby zpracovatel analýzy prozkoumal, zda místo Markovovy analýzy není vhodnější využít metody FTA (Analýza stromu poruchových stavů) nebo RBD (Analýza blokového diagramu bezporuchovosti).

Odlišení MA od metody RBD a FTA Metoda RBD umožňuje zjistit parametry pohotovosti a bezporuchovosti celé komponenty a následně matematicky analyzovat celý systém. Metoda FTA je rozšířením metody RBD o možnost zjistit parametry pohotovosti a bezporuchovosti i některé funkce, která může přecházet mezi jednotlivými komponentami. Metody FTA, RBD umožňují modelovat pouze poruchu/obnovu a ne částečnou degradaci komponenty. Markovovu analýzu využíváme pro složitější strategie údržby. Metody FTA, RBD mají výhodu, že je možné modelovat i jiné než exponenciální rozdělení jednotlivých funkčních bloků. MA toto neumožňuje. Metoda RBD je specifikována blokovým diagramem, metoda FTA stromem poruch a metoda MA je charakteristická přechodovým diagramem stavů.

Hod mincí Dva možné výsledky pokusu padne orel nebo panna každý pokus padne se stejnou pravděpodobností P=0,5 Při opakování pokusu s vracením mince zpět do osudí se pravděpodobnost nezmění. Jaká je pravděpodobnost, že když padne orel, že v následujícím pokusu padne znova orel?

Markovské procesy Pro Markovský řetězec platí: Stav systému v okamžiku tn je závislý pouze na stavu v okamžiku tn-1. Řetězec je popsán podmíněnými pravděpodobnostmi, které vyjadřují: byl-li v okamžiku tn-1 systém ve stavu jn-1, bude v okamžiku tn ve stavu jn. Tyto pravděpodobnosti se nazývají pravděpo-dobnosti přechodu.

Hod kostkou Šest možných výsledků pokusu 1 až 6 Jaká je pravděpodobnost, když padne 1, v následujícím pokusu padne znova 1?

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání 3 možné výsledky nejvyššího ukončeného vzdělání základní, střední, vysoké školství Jaká je pravděpodobnost, když otec má ukončený některý druh vzdělání, že syn/dcera bude mít ukončený nějaký druh vzdělání?

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání 1. generace vzdělání základní Pravděpodobnost, že 2. generace má vzdělání střední P=0,3 Pravděpodobnost, že 3. generace má vzdělání vysoké P=0,5*0,2+0,3*0,2+0,2*0,8=0,1+0,06+0,16 P=0,32

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání

Pravděpodobnost ukončení vzdělání Matice P udává pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými náhodnými výsledky pokusu. Vektor p udává pravděpodobnost jednotlivých výsledků náhodného pokusu. Umocňování matice P se získá vektor p, který v tomto příkladě znamená pravděpodobnost ukončení vzdělání po n-té generaci.

Příklad absorpčního stavu Absorpční stav je možný výsledek, který když padne, může padnout dále již jen stejný výsledek. Například modelování poruchy u neopravovaného výrobku – výrobek, který je v poruše bude vždy v poruše

Příklad se spojitým časem V předcházejících příkladech se jednalo o modely s diskrétními kroky. Každý diskrétní krok lze nahradit určitým časovým úsekem. Př. Den lze rozdělit na jednotlivé okamžiky. Rozdělení na jednotlivé okamžiky lze provést limitním přechodem, kde časový okamžik t se blíží 0. V případech, kde je potřeba spojitý čas, lze využít intenzit přechodů. Platí pro malé t pij=lijDt Pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými stavy lze vypočítat jako součin intenzity přechodu a času.

Základní definice Markovovy procesy lze užít pro model s diskrétním stavem a spojitým časem Např. studium n součástek v čase. Existují modely i se spojitým/diskrétním stavem a spojitým/diskrétním časem. Komponenta - Součástka nebo soubor součástek, které pracují jako jediná entita. Funkční stav - Stav systému, ve kterém systém vykonává požadovanou funkci. Nefunkční stav - Stav systému, ve kterém systém nevykonává požadovanou funkci.

Základní definice

Základní definice Stav - Stav systému je určitá kombinace stavů komponent. Přechod - Změna z jednoho stavu do jiného, která je obvykle výsledkem poruchy nebo obnovy. Pravděpodobnost přechodu mezi stavy - Pravděpodobnost přechodu mezi jedním stavem a jiným stavem za čas Dt. Počáteční stav - Stav systému v čase t = 0. Absorpční stav - Stav, ze kterého nejsou možné žádné přechody, jakmile se do něho přejde. Obnovitelný systém - Systém obsahující komponenty, které mohou mít poruchu a potom mohou být obnoveny do svého funkčního stavu, aniž by způsobily poruchu systému.

Značky a zkratky Každý stav v přechodovém diagramu je reprezentován kroužkem nebo obdélníkem. Popis stavů se umísťuje uvnitř značky stavu. Šipka přechodu vyznačuje směr přechodu jako výsledek poruchy nebo obnovy. Intenzity obnov/poruch se píší u šipky přechodu. Intenzita poruch mezi stavem x a y - lxy(t) Intenzita obnov mezi stavem x a y - mxy(t )

Druhy úloh Metodou MA je možné řešit úlohy bezporuchovosti i pohotovosti. Úlohy bezporuchovosti můžeme dále rozdělit na úlohy: Po poruše se neprovádí žádný opravný zásah. Po poruše systému se systém dále neopravuje, při poruše na jednotlivých komponentách se jednotlivé komponenty opravují. Úlohy pro výpočet bezporuchovosti mají vždy alespoň jeden absorpční stav - stav ze kterého nejdou žádné přechody. V úlohách pohotovosti se celý systém může opravovat. V modelu nesmí být žádný absorpční stav.

Ukazatele Pohotovosti Funkce okamžité pohotovosti A(t) Funkce okamžité nepohotovosti U(t) Střední doba do poruchy součástky MTBF Střední doba do obnovy součástky MTTR Bezporuchovosti Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t1,t2) Okamžitá intenzita poruch

Pravidla konstrukce diagramu Každý stav se má identifikovat značkou, která umožňuje, aby se analytik v postupu jednoznačně odkazoval na tento stav. Identifikátorem je obvykle písmeno nebo číslo. Pro srozumitelnost diagramu přechodů mezi stavy je vhodné do značky zahrnout popis stavů buď přímo, nebo pomocí odkazu na seznam vysvětlivek. Jestliže se používá popis, požaduje se identifikátor stavu umístit do kroužku/obdélníku v blízkosti značky stavu. Stavy se mají uspořádat tak, aby stav umístěný nejvíce vlevo byl plně funkční stav a stav (stavy) vpravo byl (byly) nefunkční stav (stavy) systému. Relativní pozice mezilehlých stavů mají být takové, aby byl přechod zleva doprava výsledkem poruchy a aby se dosáhlo přechodu zprava doleva opravou nebo obnovou. Z praktických důvodů může existovat přechod od pravého okraje k levému okraji pokud to nevede ke zvýšení počtu křížení čar přechodů. Stavy systému odpovídající stejnému počtu nefunkčních jednotek mají být svisle zarovnány.

Pravidla konstrukce diagramu

Pravidla konstrukce diagramu Přechody mezi stavy se mají vyznačit čarami se šipkami propojujícími určité stavy. Čára se šipkou vpravo představuje poruchu a čára se šipkou vlevo představuje obnovu. Jestliže je možné dosáhnout přechodu mezi dvěma stavy jak poruchou, tak obnovou, potom se mají tyto určité stavy propojit jedinou čarou se šipkami na obou koncích. Šipky na čarách představujících přechody se mají označit návěštími s odpovídajícími intenzitami přechodů. To je možné provést buď přímo vyznačením těchto intenzit nebo pomocí odkazu na jejich seznam. Pokud je to možné, má každý přechod spojovat pouze sousední značky stavu. Jestliže porucha ze stejné příčiny uvádí do nepoužitelného stavu dvě nebo více jednotek, smí se některý stav obejít.

Pravidla konstrukce diagramu Analytik musí zajistit, aby budoucí chování systému záviselo pouze na přítomném stavu systému a ne na způsobu, jakým se systém do tohoto stavu dostal. Tato podmínka se musí zajistit, aby byl diagram přechodů bez paměti dokonce i tehdy, když reálný systém paměť má. Intenzity poruch a intenzity obnov u všech jednotek v analyzovaném systému musí být konstantní v čase. Předpoklad konstantní intenzity obnov je třeba ověřit nebo udat podmínky za jakých byl předpoklad splněn.

Systém s jednou jednotkou Systém s jednou komponentou, stav 0 plně funkční, stav 1 nefunkční stav Tento přechodový diagram se nahrazuje pro zjednodušení schématu na: Systém s degradovaným stavem. Stav 0 plně funkční stav, stav 1 částečně poruchový stav, stav 2 poruchový stav.

Příklad s více jednotkami Pravidla vytvoření přechodového diagramu Systém se rozdělí na jednotlivé komponenty např. metodou RBD. Zjistí se zálohování mezi jednotlivými komponentami z metody RBD. Každé komponentě se přiřadí nejhorší možný následek poruchy. Definují se všechny možné následky poruch na komponentě. Pro každou komponentu se vytvoří porucha. Na každém poruchovém stavu se zjistí intenzita poruch do dalších možných stavů a intenzita obnov do ostatních stavů. Na každém stavu, který označuje poruchu jedné komponenty, modelujeme poruchu další komponenty. Pro každé poruchy 2 komponent zjistíme intenzitu poruch do dalších stavů a intenzitu obnov. Postupuje dále až do vytvoření celého přechodového diagramu.

Příklad s více jednotkami Paralelní zálohování jednotky 1 součástkami 1a, 1b. Při poruše jednotky 2, 3, 4 dojde k poruše systému. Při poruše jednotky 1a nebo 1b systém není v poruše. Existují 3 možné typy stavů Bezporuchový stav Degradovaný stav Poruchový stav systému

Systém s více jednotkami Porucha na komponentě 2, 3, 4 porouchá celý systém – dále nemůže vzniknout další porucha. Je porucha na komponentě 1a Porucha komponenty 1b – porucha celého systému Porucha komponenty 2,3,4 – porucha celého systému Obdobně pro komponentu 1b Zadáme pro všechny přechody intenzity poruch. Snažíme se zjednodušit schéma. Zde je možné sloučit komponenty 2, 3 a 4.

Příklad systému se dvěma jednotkami Mějme elektrickou síť, která napájí systém. Při výpadku elektrické sítě je v systému záložní akumulátor, který je schopen po dobu 10 hodin systém napájet. Akumulátor se nabije za 4 hodiny. Intenzita poruch záložního akumulátoru je 10-4h-1. Intenzita oprav záložního akumulátoru je 10-2h-1. Elektrická síť má střední dobu do výpadku 1000h a průměrný výpadek trvá 1 hodinu. Vytvořte přechodový diagram pro výpočet pohotovosti celého napájení. Systém má 2 funkční bloky – akumulátor, el. síť. Systém je paralelně zálohován. Porucha jednoho funkčního bloku nevyvolá poruchu celého systému. Porucha obou funkčních bloků vyvolá poruchu celého systému. Budou tedy 3 úrovně stavů – stav bez poruchy, stav s výpadkem 1 zdroje, stav s výpadkem obou zdrojů.

Příklad systému se dvěma jednotkami

Příklad systému se dvěma jednotkami El. síť l=0,001h-1 m=1h-1 Akumulátor l=0,0001h-1 m=0,01h-1 Stav 0 – el. síť i akumulátor jsou v pořádku l01=0,001h-1 l02=0,0001h-1 Stav 1 – el. síť má výpadek m10=1h-1 l13=0,1h-1 l14=0,0001h-1 Stav 2 – akumulátor je v poruše m20=0,01h-1 l24=0,001h-1 Stav 3 – v poruše nejdříve el. síť, akumulátor se vybije m32=1h-1 m30=0,01h-1 Stav 4 – v poruše nejdříve akumulátor, el. síť jako druhá m42=1h-1 m41=0,01h-1

Příklad: Modelování počtu poruch Pomocí Markovských procesů lze řešit počet poruch v určitém časovém úseku Jednotlivé stavy označují počet poruch komponenty. Stav 0 znamená, že bylo 0 poruch na zařízení, stav 1 byla jedna porucha atd. Výsledkem modelování je určení pravděpodobnosti, že za čas t bylo právě n poruch. Speciální případ modelování Poissonova rozdělení.

Matematické řešení systému Systém s jednou komponentou Do pole aij zapisujeme intenzitu přechodu ze stavu i do stavu j. Prvky na diagonále dopočítáváme tak, aby součet intenzit v řádku dal 0. Řešení pomocí soustavy lin. dif. rovnic 1. řádu.

Sestavení rovnic P(t+Dt)=A(t)P(t)D(t) Součin AP je vektorový součin Získáme soustavu lin. dif. rovnic Počáteční podmínky zadáváme každému stavu, součet musí být 1. Obvykle stav, který je plně funkční má poč. podm. rovné 1 a ostatní stavy jsou nulové Soustavu řešíme obvykle numericky Řešení např. Eulerovou metodou, metody Runge-Kutta, metoda Monte Carlo

Příklad s více jednotkami pokrač. Sestavíme soustavu diferenciálních rovnic. Intenzita l=10-6h-1 1. sloupec stav 0 2. sloupec stav 1a 3. sloupec stav 1b 4. sloupec stav 234: Počáteční podmínky: Řešení: t [h] STAV 1a 1b 234 30000 0,8607 0,0266 0,0861 35000 0,8395 0,0304 0,0997 40000 0,8187 0,0341 0,1131 45000 0,7985 0,0376 0,1263 50000 0,7788 0,0409 0,1393 t [h] STAV 1a 1b 234 1,0000 0,0000 5000 0,9753 0,0049 0,0149 10000 0,9512 0,0096 0,0295 15000 0,9277 0,0141 0,0440 20000 0,9048 0,0185 0,0582 25000 0,8825 0,0226 0,0723

Příklad kompresorové stanice

Závěr a použití Markovovy procesy používáme pro modelování Opravovaných systémů Zálohovaných systémů Systémů, které nemají konstantní intenzitu poruch/oprav Prioritních zálohování Pravidelné údržby Výhody Možnost modelování složitějších modelů než pomocí RBD, FTA Dynamické výsledky R(t), A(t) Nevýhody Složitá příprava metody, při řešení nutná numerická matematika

Poděkování Tento text pro výuku byl vytvořen s podporou ESF v rámci projektu: „Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy“, číslo projektu CZ.04.1.03/3.2.15.3/0442.

Děkuji Vám za pozornost.