Nerovnice s neznámou pod odmocninou Název projektu: Moderní škola Nerovnice s neznámou pod odmocninou Mgr. Martin Krajíc   10.6.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Nejprve se musíme zamyslet, jak je to s umocňováním nerovnic na druhou. jsou-li x,y dvě nezáporná čísla, pak pro ně platí: x ˂ y, jestliže x² ˂ y² Př: 2 ˂ 3…platí, 2² ˂ 3²…platí jsou-li x,y dvě nekladná čísla, pak pro ně platí: x ˂ y, jestliže x² ˃ y² Př: (-4) ˂ (-3)…platí, (-4)² ˃ (-3)²…platí

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Nerovnicím s neznámou pod odmocninou se říká iracionální nerovnice. Při řešení nerovnic s neznámou pod odmocninou je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úpravy, které s nerovnicí provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice. A při neekvivalentních úpravách mohou některé výsledky přibýt. U těchto typů nerovnic nelze sestavit univerzální postup, ukážeme si několik příkladů a postupů jak je řešit. Poznámka: u odmocniny provádíme podmínku – výraz pod odmocninou nesmí být záporný.

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Podmínka: x + 3 ≥ 0 x ≥ -3 x ɛ ˂-3, ∞) Př: Řešte nerovnici v R: ˂ -3 nerovnici řešíme v intervalu x ɛ ˂-3, ∞) vyhodnotíme znaménka obou stran nerovnice: ˂ -3 záporné kladné nebo nula levá strana nerovnice bude pro jakoukoliv hodnotu z definičního oboru nezáporná, pravá strana je vždy záporná, a proto nemůžeme použít ekvivalentní úpravu umocnění obou stran nerovnice

Nerovnice s neznámou pod odmocninou musíme najít jiný postup řešení daná nerovnost nám říká, aby nezáporný výraz (tedy výraz kladný nebo nula) – levá strana, byl menší než výraz záporný – pravá strana taková nerovnost nemůže existovat, proto nebude pro žádnou hodnotu x splněna a tudíž nerovnice nemá žádný kořen x = Ø

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Podmínka: 2 - x ≥ 0 x ≤ 2 x ɛ (-∞, 2˃ Př: Řešte nerovnici v R: ˃ -3 nerovnici řešíme v intervalu x ɛ (-∞, 2˃ vyhodnotíme znaménka obou stran nerovnice: ˃ -3 záporné kladné nebo nula levá strana nerovnice bude pro jakoukoliv hodnotu z definičního oboru nezáporná, pravá strana je vždy záporná, a proto nemůžeme použít ekvivalentní úpravu umocnění obou stran nerovnice

Nerovnice s neznámou pod odmocninou musíme najít jiný postup řešení daná nerovnost nám říká, aby nezáporný výraz (tedy výraz kladný nebo nula) – levá strana, byl větší než výraz záporný – pravá strana taková nerovnost existuje vždy pro každé x z definičního oboru, proto výsledkem nerovnice je definiční obor x = (-∞, 2˃

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Podmínka: 2x² + 4 ≥ 0 x² ≥ -2 toto platí vždy x ɛ (-∞, ∞) Př: Řešte nerovnici v R: ≤ 2x nerovnici řešíme v intervalu x ɛ (-∞, ∞) vyhodnotíme znaménka obou stran nerovnice: ≤ 2x pro x ≥ 0 kladné kladné pro x ˂ 0 záporné jestliže chceme stále používat ekvivalentní úpravy, rozdělíme si nerovnici na dva případy

Nerovnice s neznámou pod odmocninou x ≥ 0 řešíme v definičním oboru ˂0, ∞) obě strany nerovnice jsou nezáporné, můžeme umocnit ≤ 2x /² 2x² + 4 ≤ 4x² -2x² ≤ -4 x² ≥ 2 kořeny příslušné kvadratické rovnice jsou ± intervaly vyhovující této nerovnici jsou x ɛ (-∞, - ˃ U ˂ , ∞) pokud uděláme průnik výsledku a intervalu, ve kterém jsme počítali, dostaneme výsledek x ɛ ˂ , ∞)

Nerovnice s neznámou pod odmocninou x ˂ 0 řešíme v definičním oboru (-∞, 0) levá strana rovnice je nezáporná a pravá strana je záporná, proto nelze upravit rovnici ekvivalentně umocněním jestliže budeme uvažovat logicky, má být nezáporný výraz na levé straně menší nebo rovno než záporný výraz na pravé straně tato situace nemůže nastat, proto výsledkem této části je prázdná množina x = Ø Konečným výsledkem je sjednocení obou dílčích výsledků: x ɛ ˂ , ∞)

Nerovnice s neznámou pod odmocninou Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Albert Einstein: „Matematika je jediný způsob, jak ……. zbláznit. 1) 9 ≥ 7x a) S = ˂ , 4,5˃ b) N = ˂ 3, 4˃ 2) ≥ x + 5 a) E = (-∞, -3˃ b) É = (-∞, 3˃

Nerovnice s neznámou pod odmocninou – správné řešení Albert Einstein: „Matematika je jediný způsob, jak ……. zbláznit. SE

Nerovnice s neznámou pod odmocninou – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-06-10]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/