L i n e á r n í r o v n i c e II. Matematika 8.ročník ZŠ Creation IP&RK

Obsah Opakování učiva - pojem rovnice, ekvivalentní úpravy rovnic, zkouška Lineární rovnice se zlomky Typy řešení rovnic Řešení – jedno řešení Řešení – nekonečně mnoho Řešení – žádné řešení Nelineární rovnice Příklady na procvičení I. + II.

Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. Čemu říkáme rovnice? Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. Lineární rovnice je taková rovnice, která má ve svém „základním“ tvaru neznámou pouze v prvním stupni ( x1 = x) Obecný zápis lineární rovnice: a . x + b = 0

Řešení rovnic Řešit rovnici znamená určit taková čísla, pro která hodnota levé strany rovnice se rovná hodnotě pravé strany rovnice. Každé takové číslo se nazývá kořen rovnice nebo řešení rovnice. Při řešení rovnice používáme tzv. ekvivalentní úpravy: Na ekvivalentní úpravy rovnice můžeme upozornit vpravo od rovnice svislou čarou a naznačení realizovaného úkonu. x - 9 = 11 /+ 9 6y = 5y + 7 /- 5y 12 = -4x / :(-4)

Řešení rovnic – ekvivalentní úpravy Jestliže: přičteme k oběma stranám rovnice stejné číslo, odečteme od obou stran rovnice stejné číslo, přičteme k oběma stranám rovnice stejný mnohočlen, odečteme od obou stran rovnice stejný mnohočlen, vynásobíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly, vydělíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly, zaměníme pravou stranu rovnice za levou, mají rovnice před úpravou i rovnice upravená stejné kořeny.

Kontrola výpočtu - zkouška Kořen rovnice jsme určili … , po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice zjistíme, zda nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. Příklad: Řešením rovnice 5x - 7 = 4x + 3 je x=10. (V tuto chvíli není podstatné, jak jsme na to přišli.) Zkoušku provádíme tak, že za neznámou dosadíme do obou stran rovnice vypočítaný kořen. Zk: L(10) = 5x – 7 = 5.10 – 7 = = 50 – 7 = 43 Nebo i takto: 5 . 10 – 7 = 4 . 10 + 3 50 – 7 = 40 + 3 43 = 43 L = P P(10) = 4x + 3 = 4.10 + 3 = = 40 + 3 = 43 L = P

Řešení rovnic se zlomky Můžeme se setkat i s rovnicemi, kde se v jejich zápisu objevuje jeden nebo více zlomku:   V takovémto případě se snažíme zlomek (zlomky) odstranit pomoci ekvivalentní úpravy – vynásobit obě strany rovnice stejným nenulovým číslem – v našem případě číslem 3.   / . 3   Po zkrácení dostaneme 2x – 6 = 2 A to již snadno dořešíme …. Nezapomeň – zkoušku provádíme dosazením do zadání – tj.  

V případě, že v zadání rovnice máme zlomky s různými jmenovateli, provádíme úpravu – odstranění zlomků, vynásobením jejich společným (nejlépe) nejmenším násobkem.   / . 10   / . 35   / . 12

A teď už konkrétní příklad: Vynásobíme společným násobkem čísel ve jmenovateli 10 Vynásobíme všechny čísla a vykrátime všechny zlomky, které se dají zjednodušit Vynásobíme závorky známým způsobem Přesuneme na jednu stranu členy s neznámou a na druhou čísla s opačnými znaménkami +30 - 14 +6r + 5r +5 = 20 - 3 +7r 6r + 5r – 7r = 20 – 3 – 30 + 14 - 5 Sčítame a odčítame 4r = -4 : 4 Vydělíme číslem při neznámé r = -1 KOŘEN ROVNICE

A zkouška správnosti: Nejprve dosadíme za neznámu kořen rovnice do levé strany rovnice: L(-1)= Potom dosadíme za neznámu kořen rovnice do pravé strany rovnice: P(-1)= Porovnáme výsledky, které vznikly po vypočítaní levé a pravé strany rovnice: L = P

A teď další příklad: /. 6 6 6 6 6 6 L = P odstraníme zlomky 2 3 3 2 6 6 6 6 6 zkrátíme (vydělíme) zjednodušíme převedeme x nalevo, číslo napravo zjednodušíme vypočítáme kořen rovnice zkouška L = P

Řešení rovnic – postup Odstraníme závorky (roznásobením, umocněním). Co se dá sečíst, sečteme. Odstraníme zlomky (vynásobením obou stran rovnice společným jmenovatelem). Členy s neznámou převedeme na levou a číselné členy na pravou stranu rovnice. Obě strany rovnice vydělíme koeficientem u neznámé. Zkouška správnosti. Odpověď. Důležité: Lineární rovnice může mít 0 (=žádné), 1 nebo nekonečně řešení.

Lineární rovnice s jedním řešením: Čekají nás tři řešené příklady: Při řešení se snaž postupovat sám, pomocníkem nebo kontrolou ti bude

První příklad: Roznásobíme závorky a spočítáme, co jde … Přesuneme neznámou nalevo a čísla napravo … / -4x+22 Spočítáme Zbavíme se -5 ( / :(-5) ) Vypočítáme kořen Zkouška – kořen 8 dosadíme do zadání

Druhý příklad: Odstraníme zlomky – rovnici vynásobíme společným jmenovatelem 4, 3 a 6 ( /.12) Odstraníme závorky a spočítáme … Přesuneme neznámou nalevo a čísla napravo ( /+10x+7 ) Vypočítáme kořen rovnice ( /:5 ) a uděláme zkoušku 

Třetí příklad: ZKUS TO SÁM !!!  NEZAPOMEŇ NA ZKOUŠKU !!!

Lineární rovnice s nekonečně mnoha řešeními: Jedná se o případ, kdy nám při řešení rovnice vyjde pravdivý zápis a neznámá se „ztratí = vyruší“ . Při provádění zkoušky si vybereme sami libovolný kořen a pro něj zkoušku spočítáme. Čekají nás dva řešené příklady: Při řešení se snaž postupovat sám, pomocníkem nebo kontrolou ti bude

První příklad: Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Odstraníme a roznásobíme závorky, spočítáme, co jde Přesuneme neznámou nalevo a čísla napravo … ( / -4x-7 ) Spočítáme Neznámá se vyrušila, zápis je pravdivý Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Zkouška – pro kořen 1 dosadíme do zadání

Druhý příklad: Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Odstraníme zlomky – rovnici vynásobíme společným jmenovatelem 2, 3 a 6 ( /.6) Spočítáme … Přesuneme neznámou z prava na na levo ( /-6x ) Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Zkouška – pro kořen 0 dosadíme do zadání

Lineární rovnice s žádným řešením: Tento případ nastává, jestliže se při řešení rovnice dostaneme do stavu, že nám vychází nepravdivé tvrzení. Například: 3.(x-1) = 3x + 5 3x – 3 = 3x + 5 /-3x -3 = 5 / Rovnice nemá řešení.

/ První příklad: Rovnice nemá řešení. Odstraníme zlomky – rovnici vynásobíme společným jmenovatelem 4, 3 a 12 ( /.12) Odstraníme závorky a spočítáme … Přesuneme neznámou nalevo a čísla napravo ( /+5x+11 ) / Rovnice nemá řešení.

Druhý příklad: Rovnice nemá řešení. Při řešení se snaž postupovat sám, pomocníkem nebo kontrolou ti bude Rovnice nemá řešení.

Nelineární rovnice: Při řešení rovnic se můžeme setkat i s rovnicemi, které ve svém zadání (nebo při provádění výpočtů) obsahují nelineární tvary (například: x2). Při jejich řešení se nám ale neznámé s mocninami „vyruší“. Spočítáme si dva příklady:

Zkoušku proveď sám a nezapomeň – kořen dosazujeme do zadání rovnice!!! První příklad: Při řešení se snaž postupovat sám, pomocníkem nebo kontrolou ti bude Zkoušku proveď sám a nezapomeň – kořen dosazujeme do zadání rovnice!!!

Druhý příklad: Při řešení se snaž postupovat sám, pomocníkem nebo kontrolou ti bude

Druhý příklad - zkouška: Ukážeme si zkoušku ve tvaru, kdy dosazujeme kořen najednou do celé rovnice: L = P

Příklady na procvičení I.: Řešení

Příklady na procvičení II.: Řešení

Konec II. části

Výsledky příkladů I. Zpět na příklady

Výsledky příkladů II. Zpět na příklady

Použité zdroje, inspirace http://dum.rvp.cz/materialy/linearni-rovnice-2.html http://dum.rvp.cz/materialy/linearni-rovnice.html 3) www.zshorakhk.cz/vyuka/02_ekvivalentni_upravy_rovnic.pps 4) www.moderniskola.info/1/8/MAT/linearni_rovnice.ppt ….. Autorům uvedených i neuvedených DUMů patří dík za inspiraci, nápady i provedení jejich vlastních prací.