FIFEI-00 Základy fyzikálních měření Doc. Miloš Steinhart, UPCE , ext. 6029

Hlavní body Fyzika je založena na experimentu. Plánování měření a zpracování dat. Chyby měření. Chyby systematické - správnost měření. Chyby náhodné - přesnost měření. Základy statistického zpracování dat.

Experiment I Fyzika je založena na experimentu. Vysvětluje fungování hmoty na základě pozorování. Napřed pozorování byla náhodná, např. blesk, noc. Později byly vymýšleny stále sofistikovanější experimenty (měření). To jsou pozorování navržená a prováděná tak, aby bylo možné dojít k určitému konkrétnímu závěru, např. rozhodnout mezi dvěmi hypotézami nebo modely (Galileovy koule).

Experiment II Experiment je nutné správně naplánovat a uskutečnit. To má to mnoho aspektů, včetně ekonomického (TOKAMAK, LHC). Plánováním se zabývá strategie měření. Z naměřených dat je potřeba odhalit pokud možno veškeré informace, které obsahují. Tím se zabývají teorie a postupy vyhodnocování dat.

Experiment III Obecně jsou více ceněny pozitivní experimenty, jimiž se jistá hypotéza ověří. Například se objeví předpokládané částice, třeba Higgsův boson (LHC) Nicméně v historii sehrála důležitou roli řada experimentů negativních. Například Michelsonův pokus měl ověřit unášení světla etherem, ale dokázal pravý opak tedy, že světlo unášeno není a šíří se ve všech inerciálních soustavách stejnou rychlostí. Tím inicioval vznik speciální teorie relativity.

Strategie měření Řeší co se má zjistit. Jak se provede experiment jaké přístroje se použijí a jak se zapojí. Jaké veličiny, v jakých bodech a s jakou přesností se budou měřit. je potřeba využít znalosti, jak se projeví odchylka každé měřené veličiny na výsledku.

Chyby měření I Každé pozorování je zatíženo jistou chybou. Měřené veličiny jsou určeny s odchylkami. Jde o principiální vlastnost. Chyby existují, i když nedojde k selhání člověka nebo přístroje. Často je zvýšení přesnosti nebo správnosti jedné veličiny vyváženo jejich snížením u veličiny jiné (mikrosvět). Je nutné dosáhnout určitého kompromisu.

Chyby měření II Chyby neboli odchylky lze dělit podle různých hledisek. Nejzávažnější z hlediska strategie a vyhodnocování měření je dělení na chyby: Systematické Náhodné Ilustrace jejich rozdílu: střelba do terčeterče

Chyby systematické Jsou to obvykle chyby dané metody. Bývají způsobeny například tím, že určování jedné veličiny ovlivňuje měření veličin jiných. (např. měření napětí a proudu při stanovení odporu přímou metodou) Mnohonásobné opakování experimentu není účinné, protože systematickou chybou je ovlivněn každý z nich. Nicméně se hodí kvůli současné přítomnosti chyb náhodných. Metody se musí kalibrovat. je-li to možné, je vhodné srovnat výsledky více metod. Srovnání ale neznamená otrocký výpočet aritmetického průměru!

Kalibrace I Normální měření používá určitou metodu na neznámém vzorku s cílem získat informace o tomto vzorku. Kalibrační měření je zvláštní v tom, že se provádí na vzorku známém s cílem získat informace o experimentální metodě. Minimální počet kalibračních měření je dán počtem stupňů volnosti měřeného problému

Kalibrace II Často stačí určit jeden kalibrační parametr. Například u měření odporů metodou přímoumetodoupřímou měrného teplatepla velkých odporůodporů Jindy je jich potřeba několik kalibrace spektrometruspektrometru K zjištění počtu stupňů volnosti se používá metoda faktorové analýzy.

Chyby náhodné I Jsou způsobeny větším množstvím ne zcela přesně postihnutelných vlivů, jejichž míra může být navíc proměnná v čase. Zpravidla předpokládáme, že známe rozdělení náhodných chyb. To bývá Gaussovo a z jeho integrálu vyplývající rozdělení chybové. Při korektní analýze je samozřejmě předpokládané chování chyb nutno ověřit.

Chyby náhodné II Gaussovo rozdělení chyb je symetrické kolem nuly a má jistou šířku. Rozdělení měřených veličin jsou potom určena dvěma parametry střední hodnotou a (například) pološířkou.rozdělení Tyto parametry jsou maximem získatelné informace. Snažíme se je určit statistickým zpracováním určitého množství měření.

Chyby náhodné III Musíme zaručit, že opakovaná měření jsou uskutečněna za přesně stejných podmínek. Jinak se do problému dostává také systematická chyba a průměrné hodnoty nemají očekávaný smysl (specifický n. elektronu). Výsledkem měření a zpracování jeho dat tedy není jedno číslo, ale určitá střední hodnota a interval kolem ní, ve kterém na zadaném stupni věrohodnosti přesná hodnota leží.

Chyby náhodné IV Obvyklým odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr = (  x i )/n i = 1, 2, … n Obvyklým odhadem pološířky rozdělení je výběrový rozptyl s 2 = [  (x i - ) 2 ]/(n-1)

Základy statistiky I Rozložení náhodné proměnné f(x) bychom získali, kdybychom ji mohli změřit nekonečněkrát. Lze ji chápat jako pravděpodobnost výskytu proměnné v intervalu. Pro získání výskytu v jistém konečném intervalu využíváme její integrál nebo přímo distribuční funkci, která je takovým integrálem v celém definičním oboru p(x 1 < x < x 2 ) = F(x 2 ) - F(x 1 ).

Základy statistiky II Distribuční funkce je důležitá pro řešení inverzní úlohy: pro jaké x p bude mít náhodná proměnná jistou pravděpodobnost, tedy platí F(x p ) = p. Hodnota x p se nazývá kvantil.funkce Důležité parametry rozdělení jsou: medián x 0.5, horní kvartil x 0.75, horní decil x 0.9 modus - maximum funkce střední hodnota a střední kvadratická hodnota

Základy statistiky III Rozložení náhodné proměnné f(x) je důležité pro výpočet střední hodnoty jisté funkce g(x), která na náhodné proměnné x závisí. Pro ni platí: Rozložení Nejdůležitějším parametrem každého rozdělení je jeho střední hodnota μ:

Základy statistiky IV Speciální význam mají obecné a r a centrální μ r momenty : Kromě střední hodnoty je důležitá variance neboli druhý centrální moment μ 2 a druhá mocnina pološířky σ :

Základy statistiky V Důležitá jsou takzvaná výběrová rozdělení : Pearsonovo - pro interval kolem střední hodnoty Studentovo - pro interval pološířky Snedecorovo - pro porovnávání pološířek

Pronikání chyb I Chyby přirozeně pronikají do nepřímo měřených neboli vypočítávaných veličin. Je nutné si pamatovat pronikání při základních aritmetických operacích a mít na paměti závažné situace, jako vyšší mocniny jedné z veličin nebo odečítaní pozadí.

Pronikání chyb II Mějme veličinu a   a určenou s absolutní chybou  a a s ní nekorelovanou veličinu b   b. Chybu lze vyjádřit jako relativní  a=  a/a Pro: c = a  b je  c   a +  b Přesněji:  c = (  2 a +  2 b) 1/2 Problém: odečítání blízkých veličin (!!) :  c  (  a +  b)/(a – b)

Pronikání chyb III Pro: d = ab  1 je  d   a +  b Přesněji:  d = (  2 a +  2 b) 1/2 Na veličinách s vyšší mocninou záleží více: Pro: d = ab n je  d = (  2 a + n  2 b) 1/2 b je totiž korelována sama se sebou

Důležitý dodatek I Je nutné si uvědomit, že systematické a náhodné chyby se vyskytují současně a není triviální je od sebe oddělit, dokonce ani najít přesnou hranici mezi nimi. Proto je třeba dobré danou metodu z hlediska možných zdrojů chyb pečlivě analyzovat a pokud je to možné, měření každopádně opakovat.

Důležitý dodatek II Honosné statistické zpracování by nemělo zakrývat myšlenkovou prázdnotu. Častým prohřeškem je, že statisticky zpracovávaný soubor je příliš malý vzhledem k počtu stupňů volnosti zkoumaného problému. Ty mohou být i skryté. Je to velký problém třeba v medicíně, kde pacienti bývají nestejně definovanými 'vzorky'.

Určování měrného tepla Zahřáté těleso, jehož měrné teplo hledáme, přidáme do kalorimetru, kde je známé množství vody o známé teplotě a sledujeme následnou změnu teploty. Kalorimetr musí být dobře izolován, aby nedocházelo k prostupu tepla z něj nebo do něj. Nicméně nelze zamezit tomu, aby jeho vnitřní část neodebírala nebo nedodávala tepelnou energii při jejím zahřátí nebo ochlazení. S tímto jevem je nutno počítat a znát tepelnou kapacitu, aby bylo možné tuto energii určit. Ta se určuje měřením, kdy se v kalorimetru smíchají známá množství vody o známých teplotách. Kdyby se na tento jev nebral ohled, bylo by měrné teplo určeno nesprávně. ^

Měření velkých odporů Velké odpory se měří přímou metodou obtížně, protože je nutné určovat přesně velmi malé proudy. Existuje ale elegantní metoda, založená na měření časové konstanty při vybíjení kondenzátoru přes měřený odpor. Zde se ale musí vzít v úvahu vlastní svodový odpor měřícího zapojení. Ten se určuje z měření naprázdno a při ostrém měření se uvažuje, že je paralelně k měřenému velkému odporu. Kdybychom svod zanedbali, vyšel by nám měřený odpor menší. ^

Disperzní křivka spektrometru Hranolový spektrometr je založen na jevu disperze, kdy k rozkladu světla dochází proto, že se světlo každé vlnové délky šíří poněkud jinou rychlostí. Příslušná kalibrační křivka musí být v dobrém přiblížení minimálně druhého řádu. K jejímu určení tedy potřebujeme změřit minimálně tři známé spektrální čáry. Samozřejmě není na škodu, je-li jich víc. Vyrábí se speciální kalibrační výbojky, které mají několik vhodných čar přes celé spektrum (Hg-Cd). ^

Šikmý vrh Pod jakým úhlem  musíme vystřelit, aby střela dolétla při dané počáteční rychlosti co nejdále? Souřadnici doletu můžeme chápat jako funkci v 0, x 0 a  : ^ Hledáme extrém doletu jako funkce  :