DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury

O čem budeme dnes hovořit? Matematické pojmy a poznatky související s poměrem Poměr a aplikace matematiky Některé zvláště zajímavé poměry

Jaké matematické pojmy a poznatky souvisejí s pojmem POMĚR? Souvislosti Jaké matematické pojmy a poznatky souvisejí s pojmem POMĚR?

Pojmy z algebry a aritmetiky Rovnost poměrů, převrácený poměr Hodnota poměru, podíl Porovnávání podílem (rozdílem) Zlomky (krácení, rozšiřování) Racionalita a iracionalita Postupný poměr a přibližný poměr Procenta, trojčlenka Geometrická posloupnost (aritmetická, morfismus)

Pojmy z geometrie a další pojmy Dělení úseček (čísel) v daném poměru Podobnost útvarů Goniometrické funkce Přímá a nepřímá úměrnost Druhy průměrů a jejich vztahy, vážený průměr Pravděpodobnost

Co je podstatné? U žáků vytváříme strukturu poznatků, další látka se musí vracet k dříve zvládnutým představám, modelům a metodám v nových kontextech, a tím je posouvat na vyšší úroveň. HESLO: V každé kapitole se vracíme ke všem předchozím kapitolám!

Aplikace Dokážeme nalézt v ostatních předmětech na ZŠ a v žákům dostupné praxi dosti zajímavých aplikací?

Aplikace z přírodních věd Páka, kladkostroj, těžiště Měřítko (mapy, modely, planetární soustava) Molekulární stavba (chemické výpočty) Transformátory Krevní skupiny

Další aplikace Formáty papíru Převody, ozubená kola (jízdní kolo) Směsi, slitiny, roztoky, koncentrace Kuchařské recepty Úroky Kurzovní lístky Indexy v ekonomii, analýza časových řad Míchání barev

Zajímavosti Poměry takřka magické

Jak geometricky zkonstruovat číslo  ? Eukleidovská konstrukce úsečky, která má délku , vyplývá z vyjádření tohoto čísla. Užijeme pouze Pythagorovu větu: Číslu  říkáme zlatý poměr.

Jak vznikají Fibonacciho čísla ? Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této rekurentní definice: Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd. Nepřipadají vám známá? Objevovala se u aproximací čísla . (Proč??)

Vzorec pro Fibonacciho čísla Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Důkaz není ani tak složitý, jako spíš dlouhý. Spokojme se s ověřením pomocí Excelu: Fibonacci.xls

Co se stane při přemístění obrazců? Prohlédněme si to podrobně a počítejme obsahy!

Jak to vysvětlit? Čtvereček tedy vzniká záměrně špatným kreslením. Problém chybějícího čtverečku.cdr Čtvereček tedy vzniká záměrně špatným kreslením. A jaká je souvislost s Fibonacciho čísly? 5 . 13 + 5 . 8 - 8 . 13 = = 5 . (8 + 13) - 8 . 13 = = 5 . 21 - 8 . 13 = = 105 – 104 = 1 Fibonacci.xls

Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku: oktáva 2 : 1 kvinta 3 : 2 kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5

Jak dělili pythagorejci oktávu?

Jak dále dělili kvintu?

Jak počítat durové a mollové kvintakordy? Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oběma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) Moll malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)

Jak můžeme jinak počítat frekvence?

Jaké jsou výsledky? Počet půltónů Jméno intervalu Frekvence z kvart Frekvence z kvint prima 2 0 : 3 0 = 1,000 3 0 : 2 0 = 1,000 1 malá sekunda 2 8 : 3 5  1,053 3 7 : 211  1,068 2 velká sekunda 216 : 310  1,110 3 2 : 2 3  1,125 3 malá tercie 2 5 : 3 3  1,185 3 9 : 214  1,201 4 velká tercie 213 : 3 8  1,249 3 4 : 2 6  1,266 5 kvarta 2 2 : 3 1  1,333 311 : 217  1,352 6 triton 210 : 3 6  1,405 3 6 : 2 9  1,424 7 kvinta 218 : 311  1,480 3 1 : 2 1  1,500 8 malá sexta 2 7 : 3 4  1,580 3 8 : 212  1,602 9 velká sexta 215 : 3 9  1,665 3 3 : 2 4  1,687 10 malá septima 2 4 : 3 2  1,778 310 : 215  1,802 11 velká septima 212 : 3 7  1,873 3 5 : 2 7  1,898 12 oktáva 220 : 312  1,973 312 : 218  2,027

Co je to pythagorejské comma, ptolemaiovské comma a schizma? Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste obdrželi? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 2 5 : 3 3  1,185 6 : 5  1,200 3 9 : 214  1,201

Jak se ladí kytara? Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e , a , d , g , h , e . Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Jaké chyby při ladění se dopustíme, když budeme ladit čistě?

Děkuji vám za pozornost.