Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08 Neurčitý integrál a jeho vlastnosti Základní integrační metody jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Definice neurčitého integrálu Linearita neurčitého integrálu Základní integrační vzorce Metoda per partes Substituční metoda

Definice neurčitého integrálu

Primitivní funkce – neurčitý integrál Definice Nechť jsou funkce f(x) a F(x) definovány na otevřeném intervalu I. Funkci F(x) budeme nazývat primitivní funkcí k funkci f(x) ( neurčitým integrálem z funkce f(x) ) právě tehdy, když platí: Neurčitý integrál z funkce f(x) budeme též označovat:

Schéma k zapamatování derivování F(x) f(x) integrování

Příklady Z faktu, že existuje vlastní derivace funkce F(x) vyplývá, že funkce F(x) je spojitá v intervalu I.

Existence a unicita neurčitého integrálu Věty Nechť je funkce f(x) spojitá na otevřeném intervalu I. Pak k ní existuje primitivní funkce F(x). Je-li funkce F(x) primitivní funkcí k funkci f(x) na otevřeném intervalu I, pak je primitivní funkcí k funkci f(x) na intervalu I i funkce G(x) = F(x) + C, kde C je libovolné reálné číslo. Jsou-li funkce F(x) a G(x) primitivními funkcemi k funkci f(x) na otevřeném intervalu I, pak existuje reálné číslo C takové, že platí G(x) = F(x) + C.

Linearita neurčitého integrálu

Linearita neurčitého integrálu Věta Nechť funkce f(x) a g(x) mají na otevřeném intervalu I primitivní funkce, nechť c je libovolné reálné číslo. Pak platí:

Základní integrační vzorce

Zapamatujte si! U každého vzorce si pomocí zpětného derivování uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!

Zapamatujte si! Pokračování U každého vzorce si pomocí zpětného derivování uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!

Zapamatujte si! Pokračování U každého vzorce si pomocí zpětného derivování uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!

Metoda per partes

Idea metody per partes Při metodě per partes integrujeme podle vzorce: Odůvodnění:

Příklady

Substituční metoda

Idea substituční metody Pravidlo: Diferenciál funkce t =  (x) je roven výrazu d t = ´(x) . d x Při substituční metodě integrujeme podle vzorce:

Příklady

Co je třeba znát a umět? Rozumět definici neurčitého integrálu (vztah k derivacím) znát věty linearitě neurčitého integrálu, znát základní integrační vzorce, umět počítat integrály metodou per partes, umět počítat integrály substituční metodou.

Děkuji za pozornost