Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II IV/2-2-2-16 NEKONEČNÁ GEOMETRICKÁ ŘADA Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Zpracováno dne 24. 9. 2013 Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nekonečná řada „Nekonečná“ spirála se skládá z půlkružnic, poloměr první půlkružnice je 1 cm, poloměr každé další je o jednu třetinu menší než poloměr předchozí. Vypočítejte délku spirály. r1 r2 r3 Nekonečná geometrická řada 2

Délky jednotlivých půlkružnic tvoří členy G.P.: a1 = , q = 2/3. Nekonečná řada r1 r2 r3 Délky jednotlivých půlkružnic tvoří členy G.P.: a1 = , q = 2/3. Délku spirály vypočítáme jako součet délek jednotlivých půlkružnic. Nekonečná geometrická řada 3

Nekonečná řada r1 r2 r3 sn = ? Nekonečná geometrická řada 4

Nekonečná řada n   sn  3 Vytvoříme posloupnost částečných součtů . r1 r2 r3 n   sn  3 . Hypotéza: posloupnost je konvergentní a její limita je 3 . Nekonečná geometrická řada 5

Nekonečná řada Délka spirály je l = 3. Dokážeme hypotézu, že posloupnost je konvergentní a její limita je 3: K je K. Délka spirály je l = 3. Nekonečná geometrická řada 6

Čti: Suma an od n rovno jedné do nekonečna. Nekonečná řada 1. , sn = a1 + a2 + ... + an, je posloupnost částečných součtů. 2. a1 + a2 + ... + an + ... = se nazývá nekonečná řada. 3. Je-li konvergentní  nekonečná řada je konvergentní. Čti: Suma an od n rovno jedné do nekonečna. 4. Je-li divergentní  nekonečná řada je divergentní. 5. Součet s nekonečné řady je limitou posloupnosti . 6. Je-li G. P.  nekonečná řada se nazývá geometrická. Nekonečná geometrická řada 7

Nekonečná geometrická řada Nechť je geometrická posloupnost a . je konvergentní. 1. , sn = a1 + a2 + ... + an, 2. Dokažte  Nekonečná geometrická řada a1 + a2 + ... + an + ... = Nekonečná geometrická řada 8

Použitá literatura Literatura Nekonečná řada JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997. VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-719-6221-X. Nekonečná řada

soubor prezentací MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.