Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z Udělejme kombinace (1, 3, -2, -1, 6) , skalární součin (0, -3, 2, 0, -1) a velikosti obou vektorů. =(1, -6, 4,-1, 3) =(3, 15, -10,-3, 20) =-19

Př.:Mějme dva vektory z Vypočtěme skalární součin a velikosti obou vektorů. = (2, -1, 3, 0) =-10 =

Kvůli fyzice - jednotkový vektor a pravoúhlý průmět a složka Př.: Mějme vektory (1, -2, -1) z prostoru 1 (3, 0, -1) Vytvořme jednotkové vektory, jdoucí jejich směrem:

(1, -2, -1) P . Teď vypočtěme pravoúhlý průmět vektoru do . =(1, -2, -1). Nyní pravoúhlou složku:

Lineární nezávislost Ověřme, jestli skupina daných vektorů je lineárně nezávislá nebo ne a je-li závislá, kolik ve skupině je nezávislých. (1, 2, 0) (1, 2, 0) (1, 2, 0) (0, 4, 1) (-2, 0, 1) (0, 4, 1) LN 9 (0, 0, 21) (4, -1, 3) (0, -9, 3) 4 (-1, 1, 1) (-2, 2, 0) (-1, 1, 1) LZ, dva LN (0, 0, -2) (-1, 1, 1) (0, 0, -2) (0, 0, 4) (0, 0, 0) (3, -3, 1)

LZ, 3 LN (1, 5, -1, 4) (1, 5, -1, 4) (1, 5, -1, 4) (1, 5, -1, 4) (2, -1, 1, -2) (0, -11, 3, -10) (0,-1, -1, 2) (0,-1, -1, 2) (-1, 0, -1, 2) (0, 5, -2, 6) (0, 0, -7, 16) (0, 0, -7, 16) (1, 4, -2, 6) (0, 0 , 14, -32) (0,-1, -1, 2) (0, 0 , 0, 0) (-1, 0, 1, 2) (-1, 0, 1, 2) (-1, 0, 1, 2) (0, 1, 1, 4) (0, 1, 1, 4) (2, 1, -1, 0) LZ, 3 LN (0, 0, -2, -4) (0, -1, -3, -8) (-3, -1, 0, -2) (0, 0, -1, -2) (0, 1, 0, 2) (1, 1, -1, 0)

Maticová algebra

5 12 X= 15 -11 -1 -6 -1 -6 0 1 2 0 -2 0 0 -3 1 -1 0 2 -1 3 -1 0 2 -1 3 -2 0 A= B= -1 0 2 -10 2 -9 2 -2 5 -5 -4 -1 -1 2 0 -6 0 -3 0 -2 1 1 0 -1 0 1 -1 2 -1 3 -1 0 -2 3 2 0

Násobení matic 2 8 -2 3 -1 1 2 -3 1 -1 -2 -1 3 1 -3 2 -1 3 -3

-2 3 -2 8 -3 1 2 1-

Hodnost matice 1 -1 h(B)=2. 1 -1 1 -1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0 1 -1 -2 1 -1 h(B)=2. 1 -1 1 -1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0 1 -1 -2 1 -1 -2 0 2 5 0 2 5 0 0 4 0 4 12 h(A)=3

1 3 0 -1 1 3 0 -1 3 0 -1 0 2 1 -2 1 1 -1 1 h=2 0 2 1 -2 0 2 1 -2 0 -2 -1 2 -1 0 2 -1 0 2 1 0 -1 0 2 -3 1 -1 4 -1 0 -1 0 2 0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 -7 0 1 -7 0 0 11 0 -1 8 0 -1 8 0 0 12 h=3

Soustavy rovnic 1 2 -1 2 -1 x + 2y - z = 0 -2 1 -2 3 1 1 0 5 -4 1 2 -1 2 -1 -2 1 -2 3 1 1 x + 2y - z = 0 0 5 -4 -2x + y - 2z = 0 3x +y + z = 0 0 -5 4 h=2, n=3, soustava má nekonečně mnoho řešení volíme n-h=1 parametr x + 2y - z = 0 x + 2y = t 5y - 4 z = 0 5y = 4t

x + 2y + z = 0 -2x – y -2z = 0 -x +3y + z = 0 1 2 1 2 1 -2 -1 -2 -1 3 1 1 2 1 0 3 0 0 3 0 0 5 2 0 0 6 h=3, n=3, soustava má jen jedno řešení x=y=z=0.

x + 3y + z - 2v = 1 -2x -2y -2z + v = 2 -x +y -z - v = 3 1 3 1 –2 1 3 1 -2 1 -2 -2 -2 1 2 -1 1 - 1 -1 3 0 4 0 -3 4 řešení má, n=4 takže volíme n-h=4-2=2 parametry… 0 4 0 -3 4 x + 3y + z - 2v = 1 x + 3y = 1- s + 2t 4y -3v = 4 4y =4 +3t

x + 2y + z = 1 -2x – y -2z = 0 -x + y -z = 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 -2 -1 -2 0 -1 1 -1 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 0 0 1 Soustava nemá žádné řešení.

Determinanty -3 4 -1 5 = 18 =10 -1 -2 -3 -3 2 -3 0 1 -1 = -1+0+4 -3 4 -1 5 = 18 =10 -1 -2 -3 -3 2 -3 0 1 -1 -2 0 -1 = -1+0+4 -(6+0+0)= -3 1 2 -3 0 1 -1

0 1 2 -1 3 0 -2 0 3 = 0+0+0-(-12+0-3)= 15 0 1 2 -1 3 0 -1 -1 0 2 -1 1 -2 0 -2 = -4 -2+0+2-(0+0+4)= -1 -1 0 -1 0 -1 3 2 0 -1 -1 0-2-1)= = -3+0+0-( 2 -1 1 1 -1 0 -1 3 2

Rozvoj podle řádku nebo sloupce 2 -1 +(-4) 2 = -2- 8 =-10 = -1 -2 -2 - 4 0 -1 -1 3 0 -1 2 -1 3 0 -2 1 -1 0 -1 -2 1 1 3 -2 1 = + (-1) = 2 + = 2.7 + (-1).1 =13 je algebraický doplněk prvku je minor … determinant, který vznikne z původního vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce

k=1 -1 2 3 0 0 -1 2 -1 3 0 -2 1 -1 -1 2 1 -1 3 0 1 -1 = + (-2) = 0. + (-1) = -1.(-1).(-1) + (-2).1.(-6) =11 i=3 1 2 2 -2 2 0 -2 1 0 -1 3 1 0 2 1 + 3 = = 0+ (-1) = -1.(-1).(1) + 3.1.(-6) =-17

Cramerovo pravidlo x + 2y = 1 1 2 2 -1 matice je regulární… det = -5 1 2 2 -1 matice je regulární… det = -5 2x - y = -1 1 2 -1 -1 1 2 -1

x +2y + z = 1 2 1 2 -1 2 1 -2 -2 2x – y + 2z = 2 det = 2-4+4-(-1-4-8) = 15 x – 2y - 2z =-1 matice je regulární… 1 2 -1 2 -1 -2 1 2 1 2 -2 1 2 -1 1 2 -2 1 2 2 -1 -2 1 2 -1 = 5 det = 10 det det = 0

Kvůli fyzice – vektorový součin 1 2 0 = 0 -1 -2 1 2 0 jsou jednotkové vektory souřadnicových os výsledek vyjde jako lineární kombinace báze -1 -2 3 = 1 -3 0 -1 -2 3

A=(2, 1, -3) Vypočtěme obsah trojúhelníka ABC B=(0,-1, 2) B-A=(-2,-2, 5) C=(1,-2, 1) C-A=(-1,-3, 4) -2 -2 5 = -1 -3 4 -2 -2 5

Nová věc – inverzní matice Matice umíme sčítat a odčítat, násobit číslem a mezi sebou, ale co dělení? Motivace: řešme rovnici a.x=b, a,b jsou čísla. Podobně: inverzní prvek k a Budiž A čtvercová regulární matice. Víme: je definován pro takto: Roli jedničky pří násobení matic hraje jednotková matice E… neboli Tedy: D.: Inverzní matice k takové matici A je matice (ozn. ), definovaná vztahem

Můžeme si tedy myslet , že ale tohle označení se nezavádí!! Inverzní matice se může vypočítat dvěma způsoby: a) pomocí vzorce, který používá determinanty a jejich vlastnosti b) Gauss-Jordanovou eliminační metodou

a) vzorec pomocí determinantů kde je algebraický doplněk prvku je minor … determinant, který vznikne z původního vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce

Že je to dobře: Př.: matice je regulární Porovnáme-li transponovanou matici doplňků s původní maticí, je vidět jednoduchá souvislost (platí jen pro matice 2x2) transponovaná matice doplňků

Pro matice 2x2 je tedy možno postupovat velice jednoduše: potom Př.: Že je to dobře:

Podobně:

Matice 3x3 -1 2 0 = 1 -3 -1 -1 1 0 1 =-1 =1 =1 =0 =-1 =-1 =0 =2 =-3

Že je to dobře: -1 2 0 1 = 1 -3 -1 1 1 -1 1 0

Znaménka se pravidelně střídají, takže postup můžeme zmechanizovat takto: 0. Nejprve vypočteme determinant – když je roven nule, inverzní matice neexistuje 1. Poté do matice vyplníme znaménka 2. Nakonec dopočítáme ty minory…. T + (-1) - 1 + (-1) -1 1 -1 -1 1 - 1 + 1 - (-1) = + (-1) - (-1) + (-1) -2

Podobně: 2 - 1 T 1 -1 1 -1 2 1 - 2 - = 1 - (-1) 1

b) Gauss-Jordanova eliminace Postup: napíšeme vedle sebe do jednoho schematu danou matici A a matici jednotkovou E a dáváme nuly pod i nad diagonálu (kombinacemi řádků nebo křížovým násobením) tak dlouho dokud nezískáme nalevo místo matice A matici jednotkovou E napravo na místě jednotkové matice pak vyjde matice inverzní…. A E E

Př.: 1 0 -2 1 0 0 0 -2 1 0 -1 -2 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 -1 1 0 0 -1 -3 2 0 1 1 0 0 -1 2 0 1 0 0 -1 2 0 1 0 -2 1 0 0 0 -1 0 -1 3 1 0 -1 -3 2 0 1 0 1 0 1 ´-3 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 1 -1 1 0

Proč to tak je? Technika je založena na tom, že hledáme sloupce inverzní matice (např. 3x3), označme je třeba z definiční rovnice Tato maticová rovnice jsou vlastně tři soustavy rovnic pro tři sloupce , které mají všechny stejnou matici soustavy A a jejich pravé strany jsou sloupce matice E: Předchozí postup je vlastně řešení všech těchto tří soustav najednou… na pravé straně vyjdou neznámé sloupce….

Že je to dobře: Ještě jednou: -1 1 1 -1 1 0 -2 1 1 1 1 = 1 1 0 -1 1 0 0 0 -1 1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 -1 1 0 0 -1 1 -1 0 1 1 0 0 -1 1 1 1 0 -1 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 1 -2 1 1 0 0 1 -2 1 1

Maticové rovnice Teď již máme všechen potřebný aparát k tomu, abychom mohli řešit lineární maticové rovnice. Jen je třeba dát pozor na to, že násobení matic není komutativní a rozlišovat násobení zleva a zprava. Př.: Vypočtěme matici X z rovnice A.X + B = A – X, kde matice A a B jsou tyto: Rovnici nejprve vyřešíme obecně a pak do ní dosadíme dané konkrétní matice.

Tedy: nejdříve dáme členy s neznámou nalevo a ostatní napravo… tzn. přičteme k oběma stranám rovnice X a odečteme B A.X + B = A – X + X - B A.X + X = A – B Teď vytkneme X… protože stojí napravo od A, musíme ho vytknout také napravo… když ho vytkneme ze sebe sama, zbyde po něm jednička .. čili E.. (A + E).X = A – B zleva Nakonec vydělíme maticí A + E, tj. rovnici vynásobíme maticí k ní inverzní….. protože A + E stojí nalevo od X , musíme obě strany rovnice vynásobit maticí zleva. (A + E).X = (A – B) X= (A – B) a protože E.X=X, je nakonec E

X= (A – B) Nyní konkrétně: det(A + E)=-3

Podobně: najděme matici X, která je řešením rovnice kde matice A je tato: Nejprve opět obecně: na levé straně vytkneme X, tentokrát doleva obě strany rovnice vynásobíme maticí tentokrát zprava zprava a protože E.X=X, je nakonec E

Konkrétně: det(A - E)=1 Samozřejmě záleží na pořadí….

Je třeba si uvědomit, že: ze vztahu XA + XB = X(A + B) vytýkáme X doleva ze vztahu AX + BX = (A + B)X vytýkáme X doprava ze vztahu AX + X B nejde vytknout X ani na jednu stranu rovnice s takovým výrazem nejde obecně řešit…. Vyřešme pouze obecně další příklady. AX – B = CX + D AX – CX = B + D (A – C)X = B + D zleva (A – C)X = (B + D) X = (B + D)

C – XB = XA + F -XA – XB = F - C X(-A – B )= F - C zprava X(-A – B ) = (F – C) X = (F – C)