Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Struktura úlohy LP TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Standardní tvar úlohy LP v maticových vyjádřeních b) Matice A je typu (m, n), b je typu (m, 1), c je typu (n, 1), x je typu (n, 1). TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Předpoklady spojené se standardním tvarem úlohy LP U standardní úlohy LP předpokládáme, že: b  0, m  n, h(A) = m . Uvedené předpoklady nejsou na újmu obecnosti. Jestliže má nějaká rovnice zápornou pravou stranu, můžeme tuto rovnici vynásobit (–1). Je-li m > n nebo je-li h(A) < m, jsou buď některé rovnice závislé a pak je můžeme vypustit, nebo jsou v rozporu a pak se úlohou nemusíme zabývat, protože nemá přípustné řešení. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Převod úlohy LP na standardní tvar Minimalizační úloha se převede na maximalizační změnou znaménka účelové funkce. Nerovnice typu  se převede na rovnici přičtením nezáporné doplňkové proměnné k levé straně nerovnice. Nerovnice typu  se převede na rovnici odečtením nezáporné doplňkové proměnné od levé strany nerovnice. Nezápornost proměnných se zajistí vhodnou substitucí: nekladná proměnná se nahradí nezápornou proměnnou s opačným znaménkem, proměnná neomezená co do znaménka se nahradí rozdílem dvou nezáporných proměnných. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Interpretace doplňkových proměnných Doplňkovou proměnnou lze interpretovat v souladu s interpretací příslušné omezující podmínky. Jestliže např. v nerovnici typu  vyjadřuje levá strana spotřebu nějakého výrobního zdroje a pravá strana jeho kapacitu, pak doplňková proměnná zavedená do této podmínky představuje nevyužitou kapacitu zdroje. Jestliže např. v nerovnici typu  vyjadřuje levá strana vyrobené množství nějakého výrobku a pravá strana minimálně požadované množství tohoto výrobku, pak příslušná doplňková proměnná představuje množství výrobku, které se vyrobí nad daný požadavek. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Množina přípustných řešení standardní úlohy LP Je-li množina přípustných řešení úlohy LP neprázdná, je to konvexní polyedrická množina. Tato množina je průnikem konečného počtu nadrovin a uzavřených poloprostorů. Pozn.: Je-li množina optimálních řešení úlohy LP neprázdná, je to také konvexní polyedrická množina. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Konvexní množina Podmnožinu K vektorového prostoru V nazveme konvexní množinou, jestliže s libovolnými dvěma body x1K, x2K leží v této množině také všechny body x =t x1 + (1– t )x2 kde 0 < t < 1. Geometricky to znamená, že množina K spolu s libovolnými dvěma různými body musí obsahovat i úsečku spojující tyto dva body. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Konvexní kombinace vektorů Nechť x1, x2, … , xn jsou vektory z vektorového prostoru V a t1, t2, … , tn jsou reálná čísla taková, že a) ti  0, i = 1, 2, … , n b) t1 + t2 + … + tn = 1 Pak vektor x = t1 x1 + t2 x2 + … + tn xn se nazývá konvexní kombinací vektorů x1, x2, … , xn . TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Krajní body a konvexní polyedr Bod x z konvexní množiny K se nazývá krajním bodem nebo vrcholem této množiny, jestliže se nedá vyjádřit jako konvexní kombinace dvou jiných bodů z této množiny. Konvexní polyedr je ohraničená konvexní množina, která má konečný počet krajních bodů. Libovolný bod konvexního polyedru lze vyjádřit jako konvexní kombinaci jeho krajních bodů. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Konvexní polyedrická množina Konvexní polyedrická množina je konvexní množina, která má konečný počet krajních bodů (na rozdíl od konvexního polyedru tedy tato množina nemusí být ohraničená). Libovolný bod konvexní polyedrické množiny lze vyjádřit jako konvexní kombinaci jejích krajních bodů a nezápornou lineární kombinaci jejích krajních směrů. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Krajní směry Nechť K je konvexní množina. Vektor y  0 se nazývá krajním směrem množiny K, jestliže platí: a) existuje krajní bod xi  K takový, že xi + l y  K pro všechna l > 0. b) vektor y se nedá vyjádřit jako lineární kombinace l1 y1 + l2 y2 , kde l1 > 0, l2 > 0 a y1, y2 jsou lineárně nezávislé vektory takové, že xi + l y1  K , xi + l y2  K pro všechna l > 0. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Bázické řešení Řešení soustavy Ax = b se nazývá bázické, jestliže sloupce matice A, které odpovídají nenulovým složkám tohoto řešení, tvoří lineárně nezávislou soustavu vektorů. Přípustné bázické řešení je takové bázické řešení, které navíc vyhovuje podmínkám nezápornosti x  0. Přípustné řešení úlohy LP je bázické právě tehdy, je-li krajním bodem množiny přípustných řešení. Bázické řešení může mít nejvýše m nenulových složek, kde m = h(A). Je-li počet nenulových složek roven m, bázické řešení se nazývá nedegenerované. Bázické řešení s počtem nenulových složek menším než m se nazývá degenerované. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Báze Mějme úlohu Nechť A je typu (m, n) o hodnosti m a nechť B je matice tvořená m lineárně nezávislými sloupci matice A. Pak matice B se nazývá bází uvedené úlohy LP. Každá báze určuje právě jedno bázické řešení. Proměnné odpovídající sloupcům matice B se nazývají bázické. Ostatní proměnné se nazývají nebázické. Počet různých bází a tedy i počet různých bázických řešení je shora ohraničen číslem . TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Báze a bázické řešení Mějme úlohu kde B je báze. Označme xB … vektor bázických proměnných xN … vektor nebázických proměnných Položme nebázické proměnné rovny nule, tj. xN = 0. Pak xB = B–1b TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP Základní věta LP Pro úlohu LP může nastat právě jedna z těchto tří možností: a) množina přípustných řešení M = , b) M   a množina optimálních řešení M* = , c) M*  . Dále platí: Je-li M  , pak existuje přípustné bázické řešení. Je-li M*  , pak existuje bázické optimální řešení. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Slovní vyjádření základní věty LP Pro úlohu LP může nastat právě jedna z těchto tří možností: a) úloha LP nemá žádné přípustné řešení, b) úloha LP má přípustné řešení, ale nemá žádné optimální řešení, c) úloha LP má optimální řešení. Dále platí: Jestliže má úloha LP přípustné řešení, má také přípustné bázické řešení. Jestliže má úloha LP optimální řešení, má také bázické optimální řešení. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

Význam základní věty LP V základní větě se tvrdí, že jestliže má úloha LP optimální řešení, pak má také bázické optimální řešení. To znamená, že při hledání optimálního řešení úlohy LP se můžeme omezit pouze na řešení bázická. Jejich počet je konečný a je shora ohraničen kombinačním číslem . Základní věta LP je teoretickým základem simplexové metody řešení úloh LP. TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP