Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Přístrojová technika Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah přednášky Obecná teorie měření - chyby měření a zpracování dat Chyby měření závislých veličin, chyby při měření závislostí, fitování Techniky měření nejzákladnějších veličin Kalibrace a kalibrační křivka Měření elektrických veličin, převody měření jiných veličin na ně Použití multimetrů, čítačů a osciloskopů Zpracování elektrických signálů, modulární elektronika Spektroskopie ionizujícího i neionizujícího záření Urychlovačová technika a experimenty se svazky částic Experimenty částicové fyziky Cvičení : měření elektrických veličin, použití základních přístrojů, Cvičení : základní elektronika Cvičení : program Gnuplot

Pozorování a experiment Fyzikální práce Teoretická fyzika Experimentální fyzika Teoretický popis tvorba matematického modelu Pozorování a experiment ověření matematického modelu

Jak ověřit experimentální model? Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit. Teorie je třeba srovnat se skutečností - provést experiment či pozorování. Předpověď Měření Měření 2 F = 100 N F = 103 N F = 292 N F = 300 N

Jak ověřit experimentální model? Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit. Je potřeba učinit více měření ... Předpověď Měření F = 100 N F = 300 N 103, 292, 98, 115, 152, 87, 109, 76, 32, 94, 114, 152, 5, 201, 141, 101 N ... a z rozdělení naměřených hodnot je třeba usoudit na hodnotu měřené veličiny.

Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Při měření fyzikální veličiny se můžeme dopustit mnoha chyb – a vždy se nějakých dopustíme. Každé měření je zatíženo chybou. Chyby jsou v zásadě tří druhů: Hrubé chyby Systematické chyby Náhodné chyby (fluktuace)

Hrubé chyby Hrubé chyby jsou zaviněny nepromyšleností experimentu, nepozorností fyzika nebo poruchou na přístrojích. Lze na ně přijít použitím šedé kůry mozkové – jako u každé jiné činnosti, i u měření vždy pomůže, když při něm myslíme. Kolik měří tato úsečka? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 l = 8 cm

Systematické chyby l = 14 cm Systematické chyby vznikají obvykle špatnou kalibrací přístrojů nebo působením neznámého vlivu, který k měření trvale přidává (odebírá) nějakou hodnotu. Příkladem budiž měření se špatně označeným pravítkem. Systematické chyby se hledají a odstraňují těžko – tím se nebudeme zabývat. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Kolik měří tato úsečka? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 l = 14 cm

Náhodné chyby - fluktuace I když odhlédneme od chyb hrubých či systematických, nikdy se nelze zbavit tzv. fluktuací. Fluktuace naměřené vznikají součtem mnoha vlivů okolního prostředí na experiment. Jejich základní vlastnosti jsou : Jsou velmi malé Je jich velmi mnoho různých druhů Každá sama o sobě je zcela náhodná a nezávislá na ostatních Jsou se stejnou pravděpodobností kladné či záporné Příklad vidíte na obrázku vpravo – na přístroji odečítáme hodnotu cca 3 A, ačkoliv ve skutečnosti ručička ukazuje -3 A (viz stín přímého osvětlení). Tato chyba závisí na úhlu, pod jakým se na přístroj díváme – a ten může být pokaždé jiný. Této chybě se lze vyvarovat pečlivostí měření, ale fluktuace mají kořen až v kvantové povaze mikrosvěta, kde děje probíhají náhodně. Předpokládáme, že samotná veličina se během měření nemění!

Rozdělení chyby měření Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Jako nejjednodušší příklad předpokládejme, že při měření působí jen tři různé vlivy, a každý z nich měření náhodně upraví o +0.5 nebo o -0.5. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je x0 – reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí. Δa Δb Δc Δa + Δb + Δc -0.5 +0.5 -1.5 +1.5 Rozdělení chyby měření Vidíme, že celková změna výsledku o +0.5 je stejně pravděpodobná jako o -0.5 a třikrát pravděpodobnější než změna o ±1.5 .

Rozdělení chyby měření Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Jako další příklad předpokládejme, že při měření působí opět jen tři různé vlivy, a.e každý z nich měření náhodně upraví o +0.5, -0.5, nebo jej neupraví vůbec. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je x0 – reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí. Δa Δb Δc Δ Δa Δb Δc Δ Δa Δb Δc Δ Rozdělení chyby měření

Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Budeme-li přidávat další fluktuace a rozšíříme-li jejich možnosti, budou se rozdělení dále komplikovat: Co nám toto připomíná?

Gaussovo normální rozdělení Gaussovo normální rozdělení (hustota pravděpodobnosti) je jedno z nejdůležitějších statistických rozdělení vůbec. Je popsáno konstantami μ (poloha maxima na ose x) a σ (pološířka křivky v přibližně polovině výšky). Přesněji je to vzdálenost μ a inflexních bodů. Plocha, kterou křivka pod sebou uzavírá, je rovna jedné (to zajišťuje výraz před exponenciálním členem). Dokažte tato tvrzení. Karl Friedrich Gauss 1777-1855

Gaussovo normální rozdělení Gaussovo rozdělení tedy popisuje rozdělení naměřených hodnot s tím, že hledaná hodnota je v místě vrcholu, tedy x0 = μ. Dá se ukázat, že uděláme-li n měření xi, pak výběrový průměr směrodatná odchylka (parametr rozdělení chyb) Tj. lze nalézt konkrétní Gaussovo rozdělení, podle kterého se měření veličiny řídí.

Gaussovo normální rozdělení Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny). Přístroj s dobrým rozlišením (σ = 0.1)

Gaussovo normální rozdělení Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny). Přístroj se špatným rozlišením (σ = 0.4)

Gaussovo normální rozdělení Z parametru σ lze také určit, z jakou pravděpodobností padne další měření do určeného okolí μ. Plocha pod křivkou v páse symetrickém kolem středu a širokém σ nalevo i napravo od středu je veliká přibližně 0.683 a s touto pravděpodobností tedy každé další měření padne do intervalu (μ - σ, μ + σ). Do intervalu (μ - 2σ, μ + 2σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.954 0.683 Do intervalu (μ - 3σ, μ + 3σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.997 0.954 0.997

Aritmetický průměr Rozlišení nás ale obvykle moc nezajímá (pokud neměříme spektroskopické veličiny). Mnohem více nás zajímá, co se děje s aritmetickým průměrem (tj. naměřenou hodnotou veličiny) při opakovaných měřením. Díky fluktuacím si můžeme být jisti, že uděláme-li několik sad měření téže veličiny za týž podmínek, dostaneme aritmetický průměr pokaždé jiný : 1. měření 2. měření 3. měření

Chyba aritmetického průměru Směrodatnou chybu aritmetického průměru lze spočítat pomocí vzorce Tato chyba vyjadřuje, že se při dalším měření znovu vypočítaný aritmetický průměr do intervalu (μ - Δx, μ + Δx) trefí s pravděpodobností 68.3 %. Jako odhad chyby při měření jedné konstantní veličiny se pak obvykle udává interval (μ - 3Δx, μ + 3Δx) , ve kterém každý další aritmetický průměr skončí s pravděpodobností 99.7 %. Každé fyzikální měření musí mít odhadnutou svou chybu - bez toho nemá vůbec žádnou výpovědní hodnotu!

Zápis naměřeného výsledku Chyba aritmetického průměru Použijeme-li předchozí vzorce, pak je hodnota měřené veličiny v tomto intervalu s pravděpodobností 99,7 % . Výsledek zapisujeme ve tvaru Pozn. : čísla je třeba zaokrouhlit na nějaký rozumný počet desetinných míst – a hlavně obě na stejný počet desetinných míst!

Zpracování výsledků v programu MS Excel Uvedené výpočty sice nejsou těžké, ale zdlouhavé a otravné. Je proto výhodné na ně použít výpočetní techniku. Pokud jsme udělali desítky tisíc či dokonce milióny měření, nic jiného nám ani nezbývá. Pro malý počet měření (desítky) se dobře hodí nějaký tabulkový procesor (MS 197,855 200,694 204,367 201,740 200,956 200,283 204,691 204,181 203,421 203,496 Excel, Open Office Calc). Dejme tomu, že jsme 20x měřili vzdálenost Praha-Brno a vyšly nám násle-dující hodnoty zapsané v rámečku vpravo. Zpracu-jme je v programu MS Excel. 202,699 207,779 197,743 206,260 202,998 209,535 197,594 206,571 211,751 210,157

Zpracování výsledků Výsledky nejprve zapíšeme do jednoho sloupce. Můžeme je opatřit i pořadovými čísly, i když ta pro další výpočet nejsou důležitá. Lze na nich ale dobře demonstrovat funkci automatického rozkopírovávání obsahu buněk. Klikneme myší na pravý dolní roh buňky a roztáhneme ji do sloupce. Program bude při této operaci automaticky měnit číslo řádků v zapsaném vzorci. Každá nová buňka tak bude mít o 1 větší hodnotu než předchozí. Pořadové číslo 1 zapíšeme normálně, pořadové číslo 2 pak jako vzorec - součet předchozí buňky s číslem 1.

Zpracování výsledků Spočítáme aritmetický průměr (v jednom kroku) a chybu měření (ve více krocích). První krok je výpočet druhých ocnin rozdílů aritmetického průměru a naměřených hodnot. Aritmetický průměr zapíšeme pomocí funkce součtu SUMA() dělené počtem měření. Forma zápisu je zřejmé z obrázku. Zadáme vzorec pro druhou mocninu rozdílů jednotlivých měření a průměrů. Pro rozkopírování do všech řádků použijeme stejnou funkci, jako u pořadových čísel. Musíme ale zajistit, aby se neměnilo číslo buňky, ve které je uložen průměr. To zajistíme zapsáním znaku dolar před číslo řádku (popř. písmeno sloupce)

Provedeme rozkopírování jako v případě pořadových čísel. Zpracování výsledků Další krok je druhé mocniny sečíst … Dokončíme výpočet. Druhé mocniny pro všechna měření je nejprve třeba sečíst … Provedeme rozkopírování jako v případě pořadových čísel.

V buňce D30 je nyní absolutní chyba měření a tedy Zpracování výsledků … pak podělit n*(n-1), odmocnit a vynásobit třemi. Dostaneme absolutní chybu. Pokud bychom chtěli relativní, museli bychom do další buňky zapsat vzorec „ = 100 * ( 2 * D30 ) / D29 “ . Dokončíme vzorec. Vydělíme výrazem n*(n-1), odmocníme a vynásobíme třemi. V buňce D30 je nyní absolutní chyba měření a tedy

Zpracování výsledků Pozn.: během zpracování dat můžete použít tzv. 3σ kritérium pro odstranění hrubých chyb. Provedete-li hrubou chybu, velikost příslušné naměřené hodnoty patrně bude hodně daleko od ostatních. Vesměs tedy můžete hodnoty, které jsou vzdálené o 3σn a více od aritmetického průměru z naměřených dat vyhodit (a přepočítat průměr a σn) . Je-li ale takových hodnot příliš, je třeba se zamyslet, zda za jejich výskytem neleží nějaký hlubší problém, než jen nepozornost při měření! V předchozím příkladu je σn = 4.067, tedy všechny naměřené hodnoty menší než 199.69 a větší než 207.81 z naměřené sady dat vyhodit - zbytečně by nám kazily výsledek.

Chyby závislých veličin Bývá častým případem, že měříme více různých veličin a na jejich základě pak stanovujeme požadovanou hodnotu. V rámečku napravo je například schéma úlohy měření konstanty e/m, kdy změříme urychlovací napětí elektronů (U), poloměry kružnic (R), které opisují v magnetickém poli a intenzitu pole (B). Předchozím postupem můžeme určit chybu měření pro každou z veličin, tj. a víme, že konstantu lze spočítat ze vzorce Jak lze nyní získat ?

Chyby závislých veličin Předpokládejme, že máme naměřeno n hodnot od U, R i B. Častou chybou je dopočítat podle známého vzorce deset hodnot K a pak spočítat průměr a odchylku. TO JE VŠAK ŠPATNĚ! Takto vzniklé hodnoty nemají gaussovské rozdělení N(x) a vzorce proto nelze použít. Lze ovšem ukázat, že máme-li naměřeny veličiny x1 ... xn a známe průměry a odchylky, pak platí

Chyby závislých veličin Pro funkci K(U,R,B) to pak tedy bude : Do derivací dosadíme střední hodnoty. Je zjevné, že velikost výsledné chyby bude nesmírně citlivé pro malá R a B, tj. budou-li malé poloměry nebo malé pole, pak se i drobné chyby jejich měření podepíší obrovskou měrou na chybě celkové. Dosadíme a získáme Všimněte si, že pořád sedí jednotky!

Chyby závislých veličin Chyba součtu Chyba rozdílu je stejná díky druhým mocninám Chyba násobku Chyba podílu

C o s t í m ? Měření závislostí Gaussovo rozdělení mají veličiny, jejichž vlastní hodnota se během měření nemění (podepisují se na ní pouze fluktuace). Pokud si ovšem veličiny během experimentu záměrně pozměňujeme (nebo se pozměňují samy), nelze vzorce pro průměr a odchylku použít. Při měření odporů měříme proud a napětí. Obě veličiny si měníme regulací napětí zdroje. Výsledný odpor R je sice jen jeden a principiálně se nemá co měnit, měřené veličiny ale ano. Pokud bychom pro každou měřenou dvojici spočítali Ri = Ui Ii a z výsledných čísel dopočítali průměr a odchylku, bylo by to ŠPATNĚ, protože v takovém případě rozdělení Ri opět není gaussovské. A V R C o s t í m ?

Měření závislostí Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí A V R Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když najdeme nejlepší možnou přímku, kolem které se body motají, její směrnice nám určí naměřené R. U [V] I [A] 107,5074 2,087575 112,6532 2,343539 124,967 2,587698 133,725 2,841758 146,6796 3,035892 157,3893 3,326307 162,7348 3,565494 176,3669 3,762262 187,8068 4,066512 195,6361 4,273882 206,7545 4,521785

Měření závislostí Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí A V R Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když najdeme nejlepší možnou přímku, kolem které se body motají, její směrnice nám určí naměřené R. U [V] I [A] 107,5074 2,087575 112,6532 2,343539 124,967 2,587698 133,725 2,841758 146,6796 3,035892 157,3893 3,326307 162,7348 3,565494 176,3669 3,762262 187,8068 4,066512 195,6361 4,273882 206,7545 4,521785

Metoda nejmenších čtverců Jak tuto přímku určit? Intuitivně tušíme, že by měla být zvolena tak, aby vzdálenosti bodů od ní byly co nejmenší. li+1 li Tento princip je možnost, ale není úplně nejvhodnější. Vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky totiž obsahuje absolutní hodnotu a s tou se špatně pracuje - a tato metoda má i další nevýhody. Si+1 Si Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak, aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui .

Metoda nejmenších čtverců Toto je součet čtverců v závislosti na R. Jak jej udělat nejmenším? Si+1 Si Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak, aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui . Zderivovat a položit rovno nule.

Měření závislostí Dopočítáme : R A V I*I I*U 4,357969 224,4298 5,492175 264,0072 6,696181 323,3769 8,075589 380,0141 9,21664 445,3034 11,06432 523,5251 12,71275 580,23 14,15462 663,5385 16,53652 763,7186 18,26607 836,1256 20,44654 934,8994 U [V] I [A] 107,5074 2,087575 112,6532 2,343539 124,967 2,587698 133,725 2,841758 146,6796 3,035892 157,3893 3,326307 162,7348 3,565494 176,3669 3,762262 187,8068 4,066512 195,6361 4,273882 206,7545 4,521785

Fitování Postup se dá zobecnit na libovolné funkce s libovolným počtem parametrů (v předcho-zím příkladu byl parametr jeden - R). Tento postup se nazývá fitování. Výraz chí kvadrát určuje kvalitu fitu, tj. jak moc křivka do bodů sedí. Spočítá se jako tj. pro předchozí příklad je Čím menší je toto číslo, tím lépe křivka do bodů "sedí".

Fitování Proložení naměřených bodů přímkou či křivkou se dnes již obvykle dělá s pomocí počítače (hledejte v programech výrazy fit, fitování, regrese, spojnice trendu a podobně). Křivka, kterou naměřené body proložíte, ale vždy musí mít fyzikální smysl ! Na obrázcích vlevo je také nějaké měření, u kterého se dá předpokládat, že závislost je lineární. Kvůli velkým chybám měření je ale u lineárního fitu mnohem větší chí2 než u fitu polynomem 9. stupně. Fit takovým polynomem ale nemá žádný fyzikální smysl. Při tomto postupu je samozřejmě také třeba určit chybu nafitovaného parametru (či parametrů). Nebudeme zabíhat do podrobností, stačí vědět, že velikost chyb je nějakým způsobem úměrná velikosti čtverců (a tedy chí2). Chybu nám specializované programy (třeba GnuPlot) spočítají. Pozn.: ovšem třeba MS Excel počítat chyby fitů neumí, takže má ve fyzice jen omezené použití.

Měření rozdělení Je celkem častou úlohou zjistit, jaké má nějaká veličina rozdělení. To nás zajímá zejména ve spektroskopických úlohách. Spektrum udává, kolik událostí nastane v nějakém určeném intervalu vzhledem k ostatním - na předchozích dvou obrázcích konkrétně kolik fotonů dané energie se vyskytuje v záření emitovaným nějakým zdrojem. Teoreticky se vlastně jedná o rozdělení pravděpodobnosti. Rozdělení pravděpodobnosti je ovšem spojité - jak jej tedy naměřit, máme-li k dispozici pouze omezený čas a tedy omezený počet naměřených událostí (fotonů nějaké energie)?

Histogram a měření v kanálech Mějme N naměřených hodnot (energií fotonů). Z nich si vytvoříme tzv. histogram. n1 n2 n3 nk a b Měříme-li na intervalu <a, b> , vytvoříme rozdělení tohoto intervalu na k částí. Ke každé části přiřadíme počet událostí (fotonů), které do tohoto interválku padly. Tím získáme jakési zobrazení, které lze zobrazit v grafu.

Co je histogram Počet událostí Hodnota události

Co je histogram Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo. Počet událostí Hodnota události

Co je histogram Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo. Počet událostí Hodnota události

Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Histogram s 500000 naměřenými hodnotami veličiny, která má normální rozdělení (fluktuace). Silně připomíná tvar Gaussova normálního rozdělení a lze jej gaussiánem snadno nafitovat.

Shrnutí Cvičení Fyzikální práce Druhy chyb měření Chyby jedné veličiny a Gaussovo normální rozdělení Aritmetický průměr a chyba aritmetického průměru Zpracování v programu MS Excel Chyby závislých veličin Měření závislostí Fitování metodou nejmenších čtverců Měření rozdělení Cvičení Práce s programem GnuPlot