Output regulation problem Branislav Rehák ÚTIA AV ČR, Odd. teorie řízení

Motivace Jak zajistit, aby výstup řízeného systému sledoval výstup referenčního systému (tzv. exosystému) Chyba sledování se asymptoticky blíží nule. Procedura by měla zajistit použitelnost výsledku pro celou třídu exosystémů, která je parametrizovaná jedním parametrem. 2.2.

Příklad: výstup řízeného systému sleduje sinusovou trajektorii, která má pevně zadanou periodu, ale fáze a amplituda se mohou měnit. Formulace nejprve pro lineární systémy, ptoé pro nelineární, a to i pro případ neúplné znalosti o řízeném systému. 3.3.

Formulace problému – lineární případ Je dán řízený systém Zde je x stav systému, u je řízení, d je porucha a y je výstup. 4.4.

Systém, který vytváří referenční a poruchový signál (exosystém) Cílem je najít řízení u tak, aby 5.5.

Jednoduché, pokud lze systém transformovat do tvaru 6.6.

Složitější, pokud v systému ještě něco zbývá (tzv. nulová dynamika) 7.7.

Posledním případem se budeme zabývat. Při jeho řešení je někdy potřeba vzít v úvahu i chování nepozorovatelné části. 8.8.

Zpětná vazba je statická, pokud je informace o stavech systému i exosystému a poruchách dostupná Dynamická zpětná vazba – je-li potřeba rekonstruovat. Pro rekonstrukci se používá chyba sledování 9.9.

Motivace Je-li zajištěno přesné sledování výstupu exosystému, pak lze očekávat existenci funkcí x(v), u(v) takových, že a

Z linearity navíc dostaneme existenci matic X, U takových, že tedy Toto implikuje pro každé v(t) z čehož plyne

Označení: je-li Pak 12.

Řešitelnost lineárního problému regulace výstupu Předpoklady: 1)Matice S nemá vlastní čísla se zápornou reálnou částí 2)Pár je stabilizovatelný 3)Pár je detekovatelný 4)Matice je Hurwitzovská. 13.

Pak platí: 1.Jsou-li splněny předpoklady 1,2 a 4, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: i.Pro uzavřenou smyčku s maticí ve stavové zpětné vazbě platí, že ii.Existují matice X, U takové, že 14.

… 2.Jestliže jsou splněny předpoklady 1, 2, 3 a 4, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní i.Pro uzavřenou smyčku s maticemi ve stavové zpětné vazbě platí, že ii.Existují matice X, U, Z takové, že

Řízení systému, které zaručí asymptotické sledování, je Z toho

Podobné vztahy je možné nalézt i pro případ zpětné vazby od výstupu. Rovnice pro X a U se nazývají rovnice regulátoru (regulator equations). 17.

Úloha robustního sledování výstupu Systém je dán rovnicemi

Neexistuje stavový statický regulátor, který by řešil úlohu robustního sledování Důvodem je „internal model principle“. Dynamický regulátor musí obsahovat kopii exosystému 19.

Regulace výstupu pro nelineární systémy Je dán systém 20.

Předpokládáme, že poruchy i reference jsou generovány exosystémem 21.

Úkolem je najít řízení pro systém tak, aby chyba výstupu e konvergovala k nule.

Příklad: řízení systému bez poruchových veličin 23.

Příklad: kyvadlo Přitom má platit, že Exosystém je tedy generátor sinusovky: Nakonec 24.

Statická zpětná vazba Dynamická zpětná vazba 25.

Řešení nelineárního problému regulace výstupu: 1.Trajektorie složeného systému (řízený systém + exosystém) na nějakém okolí počátku existují a jsou omezené. 2.Chyba sledování se limitně blíží nule. 26.

Předpoklady: 1.Počátek je ljapunovsky stabilní rovnovážný bod exosystému. 2.Exosystém má všechna vlastní čísla s nulovou reálnou částí. 3.Následující pár je stabilizovatelný. 27.

Následující dvojice matic je detekovatelná 28.

Motivace: stejná jako v lineárním případě, ale nyní nelze provést transformaci 29.

Úloha sledování výstupu pro nelineární systém je řešitelná stavovou zpětnou vazbou, jestliže platí a existují funkce x(v), c(v), které jsou řešením rovnic 30.

Řízení systému je Matice je taková, že vlastní čísla matice mají reálné části menší než

Důležitá vlastnost je, že pro nějaké kladné konstanty C, λ. 32.

Řešitelnost rovnice regulátoru Rovnice regulátoru je poměrně nestandardní rovnice. 1.Je to diferenciálně algebraická rovnice – je to systém parciálních diferenciálních rovnic s algebraickou podmínkou. 2.Je to rovnice prvního řádu, zatímco v teorii jsou obvyklejší rovnice 2. řádu. 3.Měla by se řešit na celém R q, nikde nejsou dány okrajové podmínky. 33.

Metody řešení: 1.Metoda založená na Taylorově rozvoji všech funkcí, které vstupují do rovnice regulátoru, a následném porovnávání neurčitých koeficientů. Je to nejstarší metoda. Zprvu byla používána, aniž by byl podán důkaz použitelnosti. 34.

Metoda založená na neuronových sítích Novější přístup – Huang. 35.

Výpočet řešení pomocí metody konečných prvků. O to se nyní pokoušíme. 36.

Princip – oddělit řešení algebraické a diferenciální rovnice. Řešení diferenciální rovnice probíhá na omezené množině, která by měla obsahovat všechny trajektorie exosystému, které se budou potřebovat. 37.

Algoritmus: Zafixovat řízení, pro něj spočítat x(v). Spočítat hodnotu funkcionálu, který vyčísluje chybu v algebraické podmínce, např. Najít jinou hodnotu řízení c(v), pro niž je hodnota funkcionálu menší. Testovat podmínku zastavení. 38.

Odhad chyby sledování trajektorie, pokud není algebraická rovnice splněna přesně: Jestliže pak existuje konstanta R >0 taková, že 39.

Příklady Kyvadlo s přidaným vozíkem (Huang) Jedná se o standardní modelový příklad 40.

Úlohou je regulovat polohu prvního vozíku tak, aby sledovala zadanou trajektorii. 41.

Jedná se o systém s neminimální fází (to lze definovat i pro nelineární systémy), takové jsou pro úlohu regulace výstupu nejobtížnější. Řešení: 1.Aproximace řešení rovnice regulátoru pomocí Taylorových řad 2.Nejprve stabilizace, potom řešení rovnice regulátoru pro celý systém pomocí FEM. 42.

Poloha 43.

Hodnota kritéria 44.

Řízení 45.

Gyroskop Úhel ψ má sledovat zadanou trajektorii. 46.

Výstup a reference 47.

Stavy 48.