Ing. Lukáš OTTE kancelář: A909 telefon: 3840 Modelování a simulace Ing. Lukáš OTTE kancelář: A909 telefon: 3840

Obsah předmětu: Tvorba matematických modelů Tvorba teoretických počítačových modelů Seznámení s prostředím Simulink Realizace počítačových modelů v prostředí Simulink

Fáze simulačního procesu

Fáze simulačního procesu Analýza: Specifikace dějů probíhajících v procesu Vymezení působících vlivů Určení veličin popisujících proces Rozhodnutí o zapojení jednotlivých prvků do modelu Zavedení zjednodušujících předpokladů

Fáze simulačního procesu Teoretický model (ne Teoretický počítačový model) Je přehledný a jednoduchý Umožňuje snazší řešení matematického modelu (výsledných rovnic) Nepopisuje zcela přesně skutečnost

Fáze simulačního procesu Některé zjednodušující předpoklady: Rozdělení systému na jednodušší subsystémy Zavádění neexistujících forem (ideální plyn apod.) Předpoklad nezávislostí (vlastnost látek na teplotě) Zanedbání ztrát Linearizace nelineárních závislostí Použití empiricky zjištěných vztahů a závislostí

Fáze simulačního procesu Tvorba matematického modelu: Využíváme matematické rovnice vyjadřující známé zákony a vztahy (fyzikální, fyzikálně – chemické a chemické) Postupujeme ve třech krocích: 1) výběr matematického popisu zákonitostí 2) vytvoření modelových rovnic (včetně doplnění zjednodušení) 3) určení podmínek řešení (počáteční a okrajové podmínky)

Fáze simulačního procesu Volba simulačního programu Postupujeme ve třech krocích: 1) volba metody řešení modelových rovnic 2) zpracování modelových rovnic 3) sestavení výpočetního programu Realizace simulačního modelu Výsledkem je vytvoření počítačového modelu použitelného v praxi. Je potřeba provést následující: 1) Identifikaci modelu - nalezení neznámých parametrů 2) Verifikaci modelu - kontrola správnosti modelu

Vytváření matematických modelů Příklad 1: Je třeba analyticky popsat a simulačně ověřit proces hromadění (akumulaci, skladování) materiálu na skládce. Analýza systému a teoretický model: m(t) [kg]- celkové množství materiálu na skládce q1(t) [kg*sˆ1] dovážené množství q2(t) [kg*sˆ1] odvážené množství

Vytváření matematických modelů Výběr matematického popisu zákonitostí Bilanční rovnice: Vytvoření modelových rovnic Úpravou získáme lineární diferenciální rovnici: Určení podmínek řešení Počáteční podmínka říká, že množství na skládce nemůže být záporné, a že na počátku již nějaké množství na skládce bylo

Vytváření matematických modelů Integrací vztahu při uvažování počátečních podmínek získáme:

Vytváření matematických modelů Příklad 2: Mějme systém tvořený nádrží s přítokem a odčerpáváním vody. Je potřeba identifikovat regulovanou soustavu. Analýza systému: q1(t) [mˆ3*sˆ-1] - objemový přítok, q2(t) [mˆ3*sˆ-1] - odčerpávané množství - odtok h(t) [m] - výška hladiny v nádrži S [mˆ2] - plošný obsah hladiny (t) [rad*sˆ-1] - úhlová rychlost čerpadla k1 [mˆ3*radˆ-1] - konstanta čerpadla

Vytváření matematických modelů Teoretický model:

Vytváření matematických modelů Výběr matematického popisu zákonitostí – základní předpoklady: Hladina závislá na objemu kapaliny a ploše nádrže: Objem v nádrži je závislý na přítoku a odtoku: Odtok je dán konstrukcí čerpadla (úhlová rychlost a konstanta čerpadla)

Vytváření matematických modelů Vytvoření modelových rovnic Platí opět bilanční rovnice: Úpravou získáme lineární diferenciální rovnici: Určení podmínek řešení Předpokladem je, že výška hladiny na počátku odpovídá ustálenému stavu (přítok = odtok) a mít pouze kladnou hodnotu omezenou pouze její konstrukcí . .

Vytváření matematických modelů Integrací předchozího vztahu při uvažování počátečních podmínek dostaneme ekvivalentní vyjádření systému:

Vytváření matematických modelů Příklad 3: Mějme stejnosměrný motor řízený proudem kotvy za předpokladu, že celková indukčnost kotvy je zanedbatelně malá a že buzení je konstantní. Jako výstupní veličiny zde uvažujeme úhlovou rychlost a úhlové natočení hřídele motoru. ua(t) [V] – napětí kotvy, ia(t) [A] – proud kotvy, Ra [] – celkový odpor kotvy, mh(t) [N m] – hnací moment, mz(t) [N m] – zátěžný moment, J [kg m2] – celkový moment setrvačnosti,  [Wb] – konstantní magnetický tok, (t) [rad s-1] – úhlová rychlost, (t) [rad] – úhlové natočení

Vytváření matematických modelů

Vytváření matematických modelů Vycházíme zde z obecného předpokladu pohybové rovnice: U stejnosměrného motoru s konstantním buzením je hnací moment mh(t) přímo úměrný proudu kotvy ia(t), z čehož vyplývá, že , kde km [N m A-1] – je konstanta motoru Mezi úhlovou rychlostí (t) a úhlovým natočením j(t) platí jednoduchý vztah

Vytváření matematických modelů Poslední dvě diferenciální rovnice tvoří matematický model. Následnou integrací vztahů za předpokladu nulových počátečních podmínek získáme:

Vytváření matematických modelů