Formální axiomatické teorie Teorie relací a funkcí

2 Teorie (nad daným důkazovým kalkulem) –je určena Jazykem –formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina dobře utvořených formulí – DUF) Množinou axiomů je podmnožinou DUF a skládá se z: –množiny logických axiomů (logicky pravdivé) –množiny speciálních axiomů (pravdivé v zamýšlené interpretaci): teorie „v kostce“ Množinou dedukčních pravidel daného kalkulu Formální teorie v širším slova smyslu je množina všech formulí (teorémů), které lze dokázat z axiomů teorie.

3 Teorie Důkaz formule A v teorii T (T|  A) je posloupnost kroků (DUF) takových, že: –poslední krok je formule A –každý krok důkazu je buď logický axiom nebo speciální axiom nebo je formule získána aplikací dedukčního pravidla na některou z předchozích formulí posloupnosti Pozn.: srovnej s definicí důkazu z předpokladů v daném kalkulu Hilbertův kalkul a přirozená dedukce jsou speciální typy teorií (bez speciálních axiomů, pouze logické axiomy a korektní ded. pravidla) => dokazovat lze pouze logicky pravdivé formule.

4 Nejdůležitější teorie Teorie aritmetiky –Robinsonova aritmetika (Q), Peanova aritmetika (PA) viz: kurs Vybrané partie z matematické logiky Teorie relací –teorie uspořádání –teorie ekvivalence Algebraické teorie –teorie grup, okruhů a těles –teorie svazů

5Teorie relací Teorie ostrého uspořádání Teorie ostrého uspořádání verze 1: speciální znaky: =, <binární predikáty –Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu –Speciální axiomy: O1.  x (x = x)reflexivita O2.  x  y [(x=y)  (y=x)]symetrie O3.  x  y  z [(x=y  y=z)  (x=z)]transitivita O4.  x  y  z [(x=y  x<z)  (y<z)] O5.  x  y  z [(x=y  z<x)  (z<y)] O6.  x  y [(x<y)   (y<x)]asymetrie O7.  x  y  z [(x<y  y<z)  (x<z)]transitivita O8.  x  y [x=y  x<y  y<x] O9.  x  y [x<y] O10.  x  y [y<x] O11.  x  y [x<y   z [x<z  z<y]]

6Teorie relací Teorie ostrého uspořádání speciální znaky =, < binární predikáty Logické axiomy daného kalkulu Speciální axiomy: A1 A1:  x  y [x<y   (y<x)]asymetrie A2 A2:  x  y  z [(x<y  y<z)  x<z]transitivita –Přidáme-li axiom A3, obdržíme teorii lineárního ostrého uspořádání A3 A3:  x  y [x=y  x<y  y<x]linearita –Přidáme-li axiom A4, obdržíme teorii hustého lineárního ostrého uspořádání A4 A4:  x  y [x<y   z [x<z  z<y]]

7 Příklady, modely Každá teorie T definuje množinu svých modelů, tj. těch interpretací, ve kterých jsou pravdivé speciální axiomy teorie („teorie v kostce“). Ostré uspořádání Universum = potenční množina 2 M (kde M je libovolná množina, např. individuí) vlastní podmnožinou Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace  (být vlastní podmnožinou) Universum = množina individuí být potomkem Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace „být potomkem“ Lineární ostré uspořádání Universum = množina přirozených čísel ostře menší Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace ostře menší (<) Lineární husté usporádání Universum = množina reálných čísel ostře menší Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace ostře menší (<) ostře větší Symbol ‘ )

Ostré uspořádání Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ostrého uspořádání, platí, že R je: –asymetrická –transitivní ireflexivní, a navíc také ireflexivní, neboť ireflexivita vyplývá z asymetrie Důkaz rezoluční metodou:  x  y [(x<y)   (y<x)](asymetrie)  x  (x<x)(ireflexivita)  x (x<x) 1.  (x<y)   (y<x)předpoklad 2. (a<a)negovaný a skolemizovaný závěr 3. # 1., 2. x/a, y/a Negovaný závěr je ve sporu s předpokladem, tedy původní závěr vyplývá, tedy v dané teorii je platná ireflexivita. Důkaz přirozenou dedukcí: 1.  x  y [(x<y)   (y<x)]předpoklad asymetrie 2.  x  (x<x)předpoklad nepřímého důkazu 3.  x  (x<x)   x (x<x)teorém: de Morgan 4.  x (x<x)2,3: modus ponens 5.a<a4, eliminace  6.(a<a)   (a<a)1, eliminace , x/a 7.  (a<a)5,6, modus ponens 8.#5,7, spor 8

Ostré uspořádání Věta Věta: Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ireflexivity a transitivity, platí, že R je asymetrická: –Tedy ostré uspořádání stačí definovat pouze dvěma z výše uvedených tří axiomů (transitivita je nutná, + ireflexivita nebo asymetrie) DůkazDůkaz (rezoluční metodou):  x  (x<x) ireflexivita  x  y  z [(x<y  y<z)  x<z] transitivita  x  y [(x<y)   (y<x)] asymetrie důkaz rezoluční metodou: 1.  (x<x) 2.  (x<y)   (y<z)  (x<z) 3. (a<b) negovaný 4. (b<a) závěr + skolemizace 5.  (b<z)  (a<z) 2.,3.: x/a, y/b 6. (a<a) 4., 5.: z/a 7. # 1., 6.: x/a Negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní závěr vyplývá.

10Teorie relací Částečné (neostré) uspořádání speciální znak:  binární predikát Logické axiomy daného kalkulu Speciální axiomy: 1.  x (x  x)reflexivita 2.  x  y [((x  y)  (y  x))  x=y]anti-symetrie 3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)]transitivita ‘=’ znak pro identitu Každá struktura  U, R , která je modelem této teorie, se nazývá částečně uspořádaná množina. Příklady: –  N, , kde N je množina přirozených čísel a  je relace menší nebo rovno na číslech. –  2 M, , kde 2 M je množina všech podmnožin dané množiny M a  je relace být (vlastní či nevlastní) podmnožinou

11Teorie relací Quasi uspořádání Někdy se stává, že chceme zavést částečné uspořádání R na množině M, ale relace R není antisymetrická. Potom můžeme využít teorii quasi uspořádání: –speciální znaky:  binární predikát –Logické axiomy –Speciální axiomy: PO1.  x (x  x)reflexivita PO3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)]transitivita Struktura  U, R , která je modelem této teorie, kde relace R není antisymetrická, se nazývá quasi-uspořádaná množina. Příklad: U = množina všech DUF, kde relace R je definována jako: F 1, F 2  DUF, R(F 1, F 2 )  = df F 2 |= F 1 Tato relace není anti-symetrická, neboť, je-li F 2 |= F 1 a F 1 |= F 2, pak jsou sice formule F 1, F 2 ekvivalentní, F 1  F 2 (mají stejné modely), ale není pravda, že jsou identické. Např. formule p  q,  p  q jsou ekvivalentní, ale nejsou to identické formule.

12Teorie relací Teorie ekvivalence –speciální znaky:  binární predikát –logické axiomy … Speciální axiomy: 1.  x (x  x) reflexivita 2.  x  y [((x  y)  (y  x))] symetrie 3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Příklad modelu: relace ekvivalence nad množinou DUF, kde F 1  F 2 právě když (F 1 |= F 2 ) a (F 2 |= F 1 ) (tedy formule mají stejné modely)

13Teorie relací Rozklad na množině Jestliže máme quasi-uspořádanou množinu, a relace  není antisymetrická, pak můžeme částečně uspořádat množinu ekvivalenčních tříd, neboť každá ekvivalence definuje rozklad na množině M (a naopak) Definice: rozklad na množině A je množina X = {X i ; X i  A } jejích podmnožin taková že: –X i  X j = Ø pro  i,j  I, i  j (X i jsou vzájemně disjunktní) –  X i = A (sjednocení X i pokrývá celou A) X i – třídy rozkladu Definice: Nechť  je relace ekvivalence na množině A. Nechť [x] = {y  A; y  x}. Pak A/  = {[x]; x  A} se nazývá faktorová množina množiny A podle ekvivalence . Věta: Množina A/  je rozklad na množině A. Věta: Nechť {X i ; X i  A } je rozklad na množině A. Definujeme relaci  na A takto: (a  b) iff existuje X i taková, že (a  X i ) a (b  X i ). Pak  je ekvivalence na množině A.

Faktorová množina, rozklad [0] [1] [2] [3] [0] {x; x  0} [1] {x; x  1} [2] {x; x  2} [3] {x; x  3} [4] {x; x  4} [4]

15Teorie relací Rozklad na množině: příklad Definujeme relaci ekvivalence  5 (modulo 5) na množině celých čísel Z takto (  5  Z  Z):  5 = {(x,y); 5 dělí x-y }. (Ověřte, že je to ekvivalence!) Pak Z/  5 {[0], [1], [2], [3], [4]}, kde [0] = {…-5, 0, 5, 10, 15, …} [1] = {…-9, -4, 1, 6, 11, …} [2] = {... -8, -3, 2, 7, 12, 17,... } [3] = {... -7, -2, 3, 8, 13, 18,... } [4] = {... -6, -1, 4, 9, 14, 19,... } Je rozklad na množině Z.

16 Částečné uspořádání faktorové množiny Příklad (pokračování): Definujeme částečné uspořádání  5 na množině Z/  5 z předchozího příkladu: [x]  [y] iff (x/5) zb  (y/5) zb, x, y je libovolný reprezentant dané třídy. –kde (i/5) zb = r a i=k*5+r; Důkaz, že definice je korektní (nesmí záviset na výběru reprezentantů): –[x]=[x’], [y]=[y’] a [x]  [y] pak musí být [x’]  [y’]: Je-li [x]=[x’], pak x=k*5 + r 1, x’=k’*5 + r 1 Je-li [y]=[y’], pak y=l*5 + r 2, y’=l’*5 + r 2 –Tedy [x]  [y] iff [r 1 ]  [r 2 ] iff [x’]  [y’]. Důkaz, že takto definovaná relace je částečným uspořádáním – cvičení.

17Teorie relací Teorie relací, shrnutí příkladů quasi uspořádání 1.„množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X|  |Y| (kardinalita X je menší nebo rovna kardinalitě Y) 2.relace dělitelnosti na množině celých čísel 3.„nebýt starší“ na množině lidí částečné uspořádání –relace množinové inkluze (  ) na množině množin –relace dělitelnosti na množině přirozených čísel –relace částečného uspořádání na množině DUF/ , kde [F 1 ]  [F 2 ] právě když F 2 |= F 1 ekvivalence –relace ekvivalence na množině DUF „mít stejné modely“: F 1  F 2 právě když F 1 |= F 2 a F 2 |= F 1. –relace ekvivalence na množině lidí „být stejně vysoký“

18Teorie relací Obecně speciální axiomy zapisujeme ve tvaru: –  x R(x,x)reflexivita –  x  R(x,x)i-reflexivita –  x  y [R(x,y)  R(y,x)]symmetrie –  x  y [R(x,y)   R(y,x)]asymmetrie –  x  y  z [(R(x,y)  R(y,x))  x=y)]anti-symentrie –  x  y  z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)]transitivita R je zde binární relace a víme, že každý speciální axiom je pravdivý v zamýšlené interpretaci. Ani jeden speciální axiom však není logicky pravdivá formule! (Snadné ověření v libovolném korektním kalkulu)

19Teorie relací Dokazování v teorii –teorie je budována nad kalkulem, tedy samotné dokazování se provádí v daném kalkulu, kdy jako předpoklady klademe speciální axiomy teorie Teď již záleží nad jakým kalkulem (rezoluční metoda, přirozená dedukce, Hilbertův kalkul) svou teorii budujeme a podle toho ověřujeme, které formule jsou teorémy dané teorie.

Teorie funkcí Každá funkce (zobrazení) je relace, ale ne naopak –každá n-ární funkce je (n+1)-ární relace F:  a  b  c ([R(a,b)  R(a,c)]  b=c) Parciální F: ke každé n-tici prvků a  M ...  M existuje nanejvýš jeden prvek b  M. teorii funkcí – pokud vezmeme formuli F jako speciální axiom, tak můžeme hovořit o teorii funkcí příklad: Funkce dělení. R můžeme interpretovat jako relaci, kdy 2. prvek každé dvojice je výsledek po dělení prvků dvojice a: {  1,1 ,1 ,  2,1 ,2 ,  2,2 ,1 , …,  4,2 ,2 , …} 20

Teorie funkcí Funkce jako relace Totální funkce F: A  B: Ke každému prvku a  A existuje právě jeden prvek b  B takový, že F(a)=b:  a  b F(a,b)   a  b  c [(F(a,b)  F(a,c))  b=c] Modelem této teorie tedy bude interpretace splňující danou formuli (danou relaci F můžeme interpretovat jako množinu všech dvojic, kdy 2. prvek je následníkem prvku a), funkce sčítání, násobení, … Teorie relací21

Teorie funkcí Funkce (zobrazení) Zobrazení f : A  B je surjekce (zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b  B existuje a  A takový, že f(a)=b.  b [B(b)   a (A(a)  F(a,b))]. Zobrazení f : A  B je injekce (prosté zobrazení A do B), jestliže pro všechna a  A, b  A taková, že a  b platí, že f(a)  f(b).  a  b [(A(b)  A(a)  (a  b))   c  d (F(a,c)  F(b,d)  c  d)]. Zobrazení f : A  B je bijekce (prosté zobrazení A na B), jestliže f je surjekce a injekce. Teorie relací22

23Teorie relací Isomorfismus vzhledem k relaci R Definice (isomorfní množiny): –Uspořádané množiny (A,  1 ), (B,  2 ) se nazývají isomorfní, jestliže existuje bijekce f: A  B taková, že  x,y  A: x  1 y právě když f(x)  2 f(y) Například množina přirozených čísel N a množina sudých kladných čísel jsou isomorfní vzhledem k uspořádání čísel dle velikosti – existuje bijekce f (např. 2x) Dále bude isomorfismus nad (DUF/ ,  ), kde, F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F2 |= F1 a funkce f bude identita.

24Teorie relací Úplnost x neúplnost teorie Definice: teorie T je úplná, právě když rozhoduje každou formuli F, tj. T |  F nebo T |   F Zároveň víme, že pro (např.) Hilbertův kalkul platí silná věta o úplnosti kalkulu (neplést úplnost teorie s úplností kalkulu!): A |  F  T |  F, kde A je množina speciálních axiomů teorie T. Tedy teorie dokazuje vše, co z ní vyplývá. neúplná Je-li teorie T neúplná, pak existují nezávislé sentence F (které T nerozhoduje). Pak ovšem F nemůže vyplývat z T. Tedy existuje model M teorie T, ve kterém F není pravdivá. Proto, V případě, že existují aspoň 2 neisomorfní modely (M 1, M 2 ) dané teorie T, pak existuje aspoň jedna nezávislá sentence F, pro niž platí: M 1 |  F a M 2 |  F, pak je tato teorie T neúplná.

M1M2 (N,  )(P({a,b,c}),  ) A  x R(x,x)  x  y [(R(x,y)  R(y,x))  x=y]  x  y  z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)] … {a,b,c} | 2 {a,b}{a,c}{b,c} | 1 {a}{b}{c} | 0  F:  x  y [R(x,y)  R(y,x)] 25Teorie relací Úplnost x neúplnost teorie

Obecně: Pokud je teorie úplná, pak má všechny modely vzájemně izomorfní (vzhledem k axiomům teorie) Teorie částečného uspořádání je neúplná. Teorie lineárního uspořádání je úplná. 26Teorie relací