FIIFEI-09 Obvody stejnosměrných a střídavých proudů http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_09.ppt 25.2.2007 Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026) 02. 12. 2014

Hlavní body Jednoduché obvody Vznik a popis střídavých proudů Střední, efektivní hodnoty a výkon Komplexní symbolika Vlastnosti jednoduchých obvodů RLC Měření základních elektrických veličin: napětí, proudu, odporu, impedance, výkonu, frekvence… Výpočet předřadných odporů a bočníků. 02. 12. 2014

Úvod do střídavých proudů I Střídavé proudy jsou obecně proudy, které se mění v čase a občas mění svůj směr. V průběhu času tedy náboj teče oběma směry (EKG). Střídavými proudy (AC alternating currents) se často myslí důležitá podskupina: proudy periodické a harmonické. Ovšem i proudy jiných průběhů např. obdélníkový nebo trojúhelníkový (pilový) mají velký praktický význam. 02. 12. 2014

Úvod do střídavých proudů II Nejprve budeme definovat určité střední hodnoty, které umožní jednoduše popsat důležité vlastnosti střídavých proudů. Později se soustředíme na periodické proudy harmonického průběhu, protože: se hojně vyrábějí a užívají. každou funkci lze vyjádřit jako řadu nebo integrál harmonických funkcí a proto dědí jejich některé vlastnosti. 02. 12. 2014

Střední hodnota I Střední hodnota <f> časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za určitý čas  stejný integrál jako funkce f(t). Například střední proud je konstantní proud, který by za určitou dobu  přenesl stejný náboj jako střídavý proud, o jehož střední hodnotu se jedná. 02. 12. 2014

Efektivní hodnota I Při práci se střídavými veličinami je užitečný ještě další druh střední hodnoty – hodnota efektivní. Teče-li střídavý proud rezistorem, jsou tepelné ztráty v něm úměrné druhé mocnině proudu. Ztráty tedy nezávisí na směru, kterým je přenášen náboj. 02. 12. 2014

Efektivní hodnota II Efektivní hodnota fef časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za nějaký čas  stejné teplotní účinky jako časově závislá funkce. Budeme například napájet žárovku časově proměnným proudem I(t). Kdybychom ji nápajeli konstantním stejnosměrným proudem o velikosti Ief, svítila by se stejným jasem. Efektivní hodnota se často nazývá hodnota střední kvadratická a značí frms z angl. root mean square. 02. 12. 2014

Harmonické AC I Z praktických i teoretických důvodů hrají velmi důležitou roli střídavé proudy harmonického průběhu. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos(), exp(i)] času, např.: U(t)=U0sin(t + ) I(t)=I0sin(t + ) 02. 12. 2014

Harmonické AC II Parametry U0 a I0 se nazývají amplitudy nebo špičkové hodnoty a z vlastností goniometrických funkcí je jasné, že U(t) a I(t) se mění sinusově mezi hodnotami –U0 a U0, respektive mezi –I0 a I0. Zde budeme dále střídavými napětími a proudy rozumět napětí a proudy průběhu harmonického. 02. 12. 2014

Harmonické AC III Harmonická napětí mohou být generována například využitím elektromagnetické indukce, když cívka s plochou S s N závity rovnoměrně rotuje v homogenním magnetickém poli o indukci B. V tomto případě se mění pouze úhel mezi osou cívky a směrem siločar. Předpokládejme závislost: (t) = t kde  = 2f je úhlová frekvence a f je frekvence rotace. 02. 12. 2014

Vemf(t) = -dm/dt = NSBsin(t) Harmonické AC IV Magnetický tok cívkou lze popsat: m = NSBcos(t) A elektromotorické napětí z Faradayova z. : Vemf(t) = -dm/dt = NSBsin(t) To odpovídá harmonickému napětí s amplitudou U0 = NSB. Připojí-li se k cívce rezistor R, poteče jím střídavý proud s amplitudou I0 = NSB/R. 02. 12. 2014

Harmonické AC V Všimněme si důležitých skutečností: m(t) and Vemf(t) jsou fázově posunuty o 90° nebo-li /2. Když je m(t) nula, má Vemf(t) maximální hodnotu. V tomto okamžiku je totiž změna m(t) největší. Amplituda U0 závisí na . 02. 12. 2014

Harmonické AC VI -L dI/dt + Uc = 0 Harmonické napětí může být také výstupem z obvodu LC, je-li možné zanedbat ztráty nebo je-li energie vyzářená jako teplo trvale dodávána. Připojíme-li nabitý kondenzátor k cívce, bude v každém okamžiku platit druhý Kirchhoffův zákon: -L dI/dt + Uc = 0 To vede na diferenciální rovnici druhého řádu, jejímž řešením jsou harmonické oscilace. 02. 12. 2014

Střední hodnota II Je možné snadno ukázat, že střední hodnota harmonického napětí nebo proudu je nulová, zatímco u usměrněného napětí není. Znamená to, že náboj se nepřenáší , ale pouze osciluje a energie, která přenášena je, je skryta právě v oscilacích. 02. 12. 2014

Efektivní hodnota III Lze také snadno ukázat, že efektivní hodnoty harmonických napětí nebo proudů nulové nejsou. Říkáme-li například, že střídavé napětí v zásuvce je 240 V, mluvíme hodnotě efektivní Uef = 240 V. Takže žárovka připojená do zásuvky by zářila se stejným jasem, jako kdyby byla připojená ke konstantnímu stejnosměrnému napětí 240 V. Špičková hodnota napětí v zásuvce ale je U0  338V. 02. 12. 2014

Fázový posun Napájíme-li obvody střídavým napětím, může v jeho větvích docházet k fázovému posunu mezi napětím a proudem. Tyto veličiny tedy nedosahují nulové nebo maximální hodnoty ve stejný okamžik. Střídavý zdroj tedy generuje napětí s určitou časovou závislostí a vlastnosti spotřebiče určují, jaký poteče proud a tedy, jak bude odebírán náboj. Fázový posum popisujeme pomocí fáze  : U(t) = U0sin(t) a I(t) = I0sin(t + ) 02. 12. 2014

Výkon střídavého proudu Výkon v každém okamžiku je součin proudu a napětí: P(t) = U(t) I(t) = U0sin(t)I0sin(t + ) Střední hodnota výkonu závisí na fázovém posunu mezi napětím a proudem: <P> = UefIefcos Výraz cos se nazývá účiník. 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s R Protéká-li proud I(t) = I0sint ohmickým odporem R, platí Ohmův zákon v každém okamžiku a napětí na odporu je s proudem ve fázi,  = 0 : U(t) = RI0sint = U0sint U0 = RI0 <P> = UefIef cos = RIef2 = Uef2/R Definujeme impedanci rezistoru : XR = R 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s L I Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, indukčností L, platí v každém okamžiku druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – LdI(t)/dt =0 Napětí na indukčnosti tedy je: U(t) = LI0cost = U0sin(t+/2) U0 =  LI0 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s L II Mezi proudem a napětím na indukčnosti je tedy fázový posun. Napětí předchází proud nebo proud je opožděn za napětím o úhel  = /2 . Střední výkon bude nyní nulový: <P> = UefIef cos = 0 Definujeme impedanci indukčnosti - induktanci: XL = L  U0 = I0 XL 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s L III Protože impedance, tomto případě, induktance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotami napětí ku proudu, můžeme ji považovat za zobecnění rezistance. Všimněme si závisloti na ! Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je impedance. 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s C I Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, kapacitou C, platí v každém okamžiku opět druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – Q(t)/C =0 To odpovídá integrální rovnici pro napětí: U(t) = –I0/C cost = U0sin(t – /2) U0 = I0/C 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s C II Mezi proudem a napětím na kondenzátoru je opět fázový posun. Tentokrát se proud předbíhá o úhel  = /2 před napětím. Střední výkon bude opět nulový: <P> = VefIef cos = 0 Definujme impedanci kondenzátoru - kapacitanci: XC = 1/C  U0 = I0 XC 02. 12. 2014

Obvody střídavého proudu s C III Protože impedance, tomto případě, kapacitance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotami napětí ku proudu, můžeme ji opět považovat za zobecnění rezistance. Všimněme si opět závislosti na ! Čím vyšší je frekvence, tím je nyní impedance nižší. 02. 12. 2014

Výhybka u reprobeden Rozdílné frekvenční chování impedancí indukčnosti a kondenzátoru se využívá například při konstrukci výhybek u reprobeden. výškový reproduktor je připojen do série přes kondenzátor. hloubkový reproduktor je připojen do série přes indukčnost. 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody I Je-li v obvodu více elementů R, C, L , je možné vždy principiálně sestavit odpovídající integrální a diferenciální rovnice. Problémem je komplikovanost příslušných rovnic i ve velmi jednoduchých případech. Naštěstí existuje několik způsobů, jak problém elegantně zjednodušit. 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody II Řešení střídavých obvodů, napájených jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém. Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t. Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází. 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody III Používá jeden z matematických nástrojů: Dvojrozměrné vektory. Komplexní čísla v Gaussově rovině. Tento popis je výhodnější, protože pro komplexní čísla je definováno více operací (např. dělení, mocniny a odmocniny). Souřadná soustava nebo Gaussova rovina rotuje s t, takže zobrazujeme jen velikost a fázi veličin a hovoříme tedy o fázorech. 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody IV Popis oběma způsoby je podobný. Velikost příslušné veličiny (napětí nebo proudu) je popsána velikostí fázoru nebo absolutní hodnotou komplexního čísla a fáze je popsána úhlem, který svírají s kladnou částí osy x nebo reálné osy. 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody V Aparát komplexních čísel: Napětí U, proudy I, impedance Z a admitance Y = 1/Z se popisují pomocí komplexních čísel. Platí zobecněný komlexní Ohmův zákon: U = ZI nebo I = YU Pro sériovou kombinaci: Zs = Z1 + Z2 + … Pro paralelní kombinaci: Yp = Y1 + Y2 + … 02. 12. 2014

Obecné střídavé obvody VI Tabulka komplexních impedancí a admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1: R: ZR = R YR = 1/R L: ZL = jL YL = -j/L C: ZC = -j/C YC = jC Dále se postupuje obdobně jako u obvodů stejnosměrných a lze používat i účinnější metody např. metodu obvodových proudů. Zpracovávané veličiny jsou ale komplexní. 02. 12. 2014

tg = –1/RC < 0 … kapacitní zátěž RC v sérii Ilustrujme použití aparátu na sériové kombinaci RC : Proud I, společný pro oba R a C, budeme považovat za reálný. Z = ZR + ZC = R – j/C |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2 tg = –1/RC < 0 … kapacitní zátěž 02. 12. 2014

tg = L/R > 0 … induktívní zátěž RL v sérii Nyní mějme R a L , zapojené do serie: Proud I, společný pro oba R a L, bude opět reálný. Z = ZR + ZL = R + jL |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 2L2)1/2 tg = L/R > 0 … induktívní zátěž 02. 12. 2014

tg = –[C/R] < 0 … opět kapacitní zátěž RC paralelně Nyní mějme R a L zapojené paralelně: Napětí U, společné pro oba R i C, bude nyní reálné. Y = YR + YC = 1/R + jC |Y| = (YY*)1/2 = (1/R2 + 2C2)1/2 tg = –[C/R] < 0 … opět kapacitní zátěž 02. 12. 2014

Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C) RLC v sérii I Nyní mějme R, L a C zapojené do série: Opět proud I je společný pro všechny R , L, i C a bude reálný. Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C) |Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2 Nyní může být celková zátěž buď induktivní pro: L > 1/C …  > 0 nebo kapacitní pro: L < 1/C …  < 0 02. 12. 2014

RLC v sérii II Objevuje se nový jev rezonance, když : L = 1/C  2 = 1/LC imaginární složky se vykompenzují a celý obvod se chová jako čistá rezistance. Z a U mají minimum, zatímco I má maximum lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f ! 02. 12. 2014

Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L) RLC paralelně I Mějme R, L a C zapojené paralelně: Nyní je napětí U společné všem R , L, C a bude tedy reálné. Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L) |Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2 Celková zátěž bude buď induktivní pro: L > 1/C …  > 0 nebo kapacitní : L < 1/C …  < 0 02. 12. 2014

Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/C  2 = 1/LC RLC paralelně II Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/C  2 = 1/LC Opět se imaginární složky vyruší a celý obvod se chová jako čistá rezistance (nebo čistá vodivost) : Y, I mají minimum, Z,U mají maximum lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f ! 02. 12. 2014

Rezonance Obecná definice rezonance: Potřebujeme-li dodat energii do systému, který je schopen kmitat s určitou vlastní frekvencí 0, nejefektivněji to lze učinit, pokud ji dodáváme s frekvencí  odpovídající 0 a kmity jsou ve fázi. Vhodným příkladem z mechaniky je houpačka. Rezonance se užívá například v ladících obvodech přijímačů. 02. 12. 2014

Impedanční přizpůsobení. Ze stejnosměrných obvodů již víme, že potřebujeme-li přenést maximální výkon mezi dvěma obvody, musí se výstupní odpor prvního rovnat vstupnímu odporu následujícího. Ve střídavých obvodech se musí obdobně rovnat komplexní impedance. Nevyrovnaná fáze vede k odrazu! 02. 12. 2014

Vícefázové proudy Při rozvodu elektrické energie se používá vícefázových soustav. Zcela běžný je rozvod třífázový v některých zařízeních se používá soustavy pětifázové. Výhodou jsou hlavně úspora materiálu vodičů na přenesení jednotky středního výkonu přenos otáčivé informace – točivého pole 02. 12. 2014

Třífázový proud I Umístěme tři cívky v rovině, aby jejich osy navzájem svíraly 120° a otáčejme magnetem kolem osy procházející kolmo průsečíkem těchto os. Napětí indukovaná v jednotlivých cívkách budou navzájem fázově posunuta: 02. 12. 2014

Třífázový proud II Součet těchto napětí je v každém okamžiku roven nule: Díky tomu lze odpovídající konce cívek spojit a vést napětí jen z druhých konců (trojúhelník) popřípadě také ze společného bodu, ale stačí vodič dimenzovaný na menší proud, který teče jen při nerovnoměrném zatížení fází (hvězda). 02. 12. 2014

Třífázový proud III Přivedeme-li každou fázi k jedné cívce a uspořádáme-li je stejně, jako bylo napětí generováno bude průmět napětí do os x a y : To je takzvané točivé magnetické pole. Umístíme-li mezi cívky magnet nebo dokonce jen smyčku z vodiče, bude se otáčet s úhlovou rychlostí. To je základ asynchronních motorů z kotvou nakrátko. 02. 12. 2014

Třífázový proud IV Střední celkový výkon (rovnoměrně zatížené soustavy) je trojnásobek výkonu v jedné fázi: Důležité ovšem je, že tento výkon se přenáší efektivněji, méně vodiči. 02. 12. 2014

Voltmetry a ampérmetry I Měření napětí a proudů je důležité nejen ve fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha jiných oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličiny elektrické (například teplota, tlak ...). Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří. 02. 12. 2014

Konstrukce V- a A- metrů I Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plné výchylce a vnitřním odporem. Obdobné parametry, maximální proud nebo napětí a vnitřní odpor má i centrální jednotka přístrojů digitálních. Měřený obvod vnímá měřící přístroj právě jako odpor. Měřící přístroj můžeme tedy chápat jako inteligentní odpor, který ukazuje, jaký jím teče proud nebo jaké je na něm napětí. 02. 12. 2014

Konstrukce V- a A- metrů II Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce If = 50 A a vnitřním odporem Rg= 30 . Z ohmova zákona je napětí při plné výchylce Uf = If Rg = 1.5 mV Chceme-li měřit větší proudy, musíme galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvede přebytečný proud mimo. 02. 12. 2014

Konstrukce V- a A- metrů III Například chceme měřit proud I0 = 10 mA. Jedná o paralelní zapojení, je Uf = 1.5 mV a bočníkem musí procházet proud I = 9.950 mA, takže jeho odpor je Rp = 0.1508  a celkový vnitřní odpor přístroje je R = 0.15. Je tedy blíže ideálnímu ampérmetru, než vlastní galvanometr. Bočníky mají zpravidla malý odpor, ale musí být přesný a vydržet velké proudy. 02. 12. 2014

Konstrukce V- a A- metrů IV Chceme-li měřit větší napětí, musíme zase použít předřadný odpor, který je zapojen do série s galvanometrem a je na něm přebytečné napětí. Například chceme měřit napětí do U0 = 10 V. Při If = 50 A musí na předřadném odporu být U = 9.9985 V. Tedy Rs= 199970  a celkový vnitřní odpor R = 0.2 M Opět má blíže ideálnímu voltmetru než vlastní galvanometr. Předřadné odpory jsou zpravidla velké a přesné . Proud, který jimi teče je malý. Go to 19! 02. 12. 2014

Použití V- a A- metrů I Voltmetry a ampérmetry mají konečný vnitřní odpor a proto zatěžují měření systematickou chybou. Jak by se chovaly ideální přístroje? Voltmetry se zapojují paralelně. Aby přitom neovlivnily měřený obvod, měly by mít nekonečný vnitřní odpor. Ampérmetry se zapojují sériově. Aby neovlivnily obvod, musí na nich být nulový spád napětí a tedy musí mít vnitřní odpor nulový. 02. 12. 2014

Použití V- a A- metrů II Měřme odpor metodou přímou. Můžeme použít dvou zapojení. V prvním je napětí měřené správně, ale vnitřní odpor voltmetru způsobuje, že ampérmetr měří větší proud než teče měřeným odporem. Hodnota rezistoru vyjde menší. Toto zapojení může být použito pro měření malých odporů, kdy je chyba zanedbatelná 02. 12. 2014

Použití V- a A- metrů III Ve druhém zapojení se měří správně proud, ale vnitřní odpor ampérmetru způsobuje, že měřené napětí je vyšší než napětí na měřeném rezistoru. Jeho hodnota pak vychází vyšší. Toto zapojení lze použít pro měření velkých odporů. Vnitřní odpory přístrojů lze určit kalibrací. 02. 12. 2014

Použití V- a A- metrů IV Normální měření používá určité metody k určení neznámých informací o vzorku. Kalibrace je speciální měření na známém vzorku, které má vypovídat o zvolené metodě. 02. 12. 2014

Wheatstonův můstek I Jedna z nejpřesnějších a nejsprávnějších metod měření rezistance používá Wheatstonův můstek. Jsou to v principu rezistory zapojené do čtverce. Jeden z nich je neznámý. Ostatní tři jsou známé a navíc alespoň jeden z nich musí být (definovaně) proměnný. V jedné diagonále je napájecí zdroj a ve druhé galvanometr. Ten měří proud v diagonále a tedy vlastně i napětí mezi body, kde je připojen. 02. 12. 2014

Wheatstonův můstek II V průběhu měření se mění hodnota proměnného odporu s cílem můstek vyrovnat, což znamená, že galvanometrem neteče měřitelný proud. To je možné pouze, když jsou potenciály v bodech a a b stejné: I1R1 = I3R3 a I1R2 = I3R4 po vydělení  R2/R1 = R4/R3 e.g.  R4 = R2R3/R1 02. 12. 2014

Domácí úkol Určete střední a efektivní hodnotu dvojcestně usměrněného proudu trojúhelníkového tvaru. Kapitola 25 – 44, 45, 46, 47 Kapitola 29 – 28, 30, 31 02. 12. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém. ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^

Výkon střídavého proudu I Jako reprezentativní interval volíme  = T:

Výkon střídavého proudu II Protože jen první integrál je nenulový. ^

Obvody střídavého proudu s C I Z definice proudu I = dQ/dt a vztahu pro kondenzátor Uc = Q(t)/C platí: Kondenzátor je integrátor, ^

LC obvod I Dosadíme za proud I = –dQ/dt a vztah mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C: Bereme tedy v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení :

LC obvod II Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje: To je známý Thompsonův vztah pro úhlovou frekvenci netlumených harmonických kmitů.

LC obvod III Závislost proudu na čase získáme časovou derivací náboje : I = - dQ/dt: Jeho chování v čase je tedy harmonické.

LC obvod IV Napětí na kondenzátoru U(t) = Q(t)/C je také harmonické a je proti proudu fázově posunuté. ^

Střední hodnota I <f> má stejný integrál jako f(t) za určitý časový interval : Často nás zajímá střední hodnota periodické funkce za velmi dlouhou dobu. Potom za reprezentativní dobu volíme periodu  = T. ^

Střední hodnota II <I> by přeneslo stejný náboj jako I(t) za nějaký čas : Výsledek integrace je zřejmě přenesený náboj, protože I = dQ/dt. Po vydělení  dostáváme střední proud za čas : ^

Efektivní hodnota I fef má stejné tepelné účinky jako f(t) za jistý časový interval : Pro dlouhé časy volíme jako reprezentativní časový interval periodu  = T (nebo T/2) . ^

Efektivní hodnota II Ief má stejné tepelné účinky jako I(t) za jistý časový interval: Jas žárovky odpovídá teplotě a ta souvisí s tepelnými ztrátami na jejím vlákně. ^

Střední hodnota III Budiž I(t) = I0sin(t) a reprezentativní čas  = T: Protože hodnota cos je v obou mezích stejná – křivky obou polarit jsou symetrické. ^

Střední hodnota IV Protože nyní cos(T/2) – cos(0) = -2 ! ^ Po jednocestném usměrnění I(t) bude I(t) = I0sin(t) pro 0 < t < T/2 a I(t) = 0 pro T/2 < t < T: Protože nyní cos(T/2) – cos(0) = -2 ! ^

Efektivní hodnota V Ať I(t) = I0sin(t) a reprezentativní  = T: ^

Střední hodnota výkonu V ^

Třífázový proud I Ukažme například, že u2+u3=-u1 : ^

Třífázový proud II Vypočteme ux /u0: ^

Třífázový proud III Vypočteme uy /u0: ^

Třífázový proud IV Vypočteme PR/u02: ^