Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST – ŘEŠENÉ ÚLOHY MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Úloha 1 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 2 Rozhodněte, zda je posloupnost geometrická. Posloupnost je geometrická. q = a n+1 a n q = 2323

Úloha 2 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 3 Určete geometrickou posloupnost, ve které je a 1 + a 4 = 18, a 2 + a 3 = 12. Vypočítejte s 10. q´ = 1212 a 1 + a 1 q 3 = 18 a 1 q + a 1 q 2 = 12 a n = a 1 · q n – 1 a 1 (1 + q 3 ) = 18 a 1 q(1 + q) = 12 2q 2 − 5q + 2 = 0 q = 2a 1 = 2 a 1 ´ = 16

Úloha 2 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 4 Určete geometrickou posloupnost, ve které je a 1 + a 4 = 18, a 2 + a 3 = 12. Vypočítejte s 10. s 10 = 2046 s ´ 10 = 32.

Úloha 3 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 5 Vyhráli jste ve sportce Kč. Jak byste tuto částku zhodnotili, kdybyste ji uložili na spořící účet s roční úrokovou sazbou 2 % a po dobu 5 let byste žádné peníze z účtu nevybírali ani na něj nevkládali? a n = a 0 (1 + ) n p 100 a 0 = 10 8 n = 5 p = 2 % a 5 = ,32 Kč na počátku 1. roku a 0 na konci 1. roku a 1 = a 0 + 0,02a 0 = a 0 (1 + 0,02) na konci 2. rokua 2 = a 1 + 0,02a 1 = a 1 (1 + 0,02) = a 0 (1 + 0,02) 2

Úloha 4 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 6 Řešte Úlohu 3 za předpokladu, že počítáte s 15% daní z připsaného úroku. a n = a 0 (1 + 0,85 · ) n p 100 a 0 = 10 8 n = 5 p = 2 % a 5 = ,9 Kč na počátku 1. roku a 0 na konci 1. roku a 1 = a 0 + 0,85 · 0,02 a 0 = a 0 (1 + 0,85 · 0,02) na konci 2. rokua 2 = a 1 + 0,85 · 0,02a 1 = a 0 (1 + 0,85 · 0,02) 2

Úloha 5 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 7 Řešte Úlohu 3 za předpokladu, že počítáte s 15% daní z připsaného úroku a úroky se vám připisují čtvrtletně. a n = a 0 (1 + 0,85 · ) n p 100 a 0 = 10 8 n = 20 p = 0,5 % a 5 = Kč Z roční úrokové sazby je třeba vypočítat odpovídající úrokovou sazbu čtvrtletní!! Počet úrokových období bude 4× více (1 rok = 4 čtvrtletí)!!

Složené úrokování Geometrická posloupnost - řešené úlohy 8 a n = a 0 (1 + 0,85 · ) n p 100 je schéma, podle kterého lze vypočítat celkovou částku na konci n-tého úrokovacího období za předpokladu, že:  vkladatel vloží částku a 0  úroková míra pro jedno úrokovací období je p %  daň z úroku je 15 %  vkladatel po celou dobu na účet nevkládá a z účtu nevybírá

Úloha 6 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 9 Kuřák, který vykouří 10 cigaret denně, prokouří ročně Kč. Kolik peněz by uspořil, kdyby tuto částku ukládal po dobu 10 let vždy na počátku roku na spořící účet s ročním úročením 2 %? Počítejte daň z úroků 15 %. První částka úročena 10krát: a 10 = a 0 (1 + 0,85 · ) 10 p 100 Druhá částka úročena 9krát: a 9 = a 0 (1 + 0,85 · ) 9 p 100 Desátá částka úročena jednou: a 1 = a 0 (1 + 0,85 · ) p 100

Úloha 6 Geometrická posloupnost - řešené úlohy 10 Kuřák, který vykouří 10 cigaret denně, prokouří ročně Kč. Kolik peněz by uspořil, kdyby tuto částku ukládal po dobu 10 let vždy na počátku roku na spořící účet s ročním úročením 2 %? Počítejte daň z úroků 15 %. Uspořenou částku vyjádříme jako součet deseti postupně vložených a zhodnocených částek a 1,...., a 10. Tyto tvoří 10 členů GP s kvocientem.(1 + 0,85 · ) p 100 s 10 = Kč.

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN X. Geometrická posloupnost - řešené úlohy

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA