SUBSPACE IDENTIFICATION

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Matematická analýza Lineární algebra Diferenciální rovnice
Advertisements

Téma 5 Metody řešení desek, metoda sítí.
Trojúhelník výkonů Ing. Jaroslav Bernkopf Trojúhelník výkonů
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Města ČR – orientace na mapě
Zpracování informací a znalostí Další přístupy k vyhledávání textových dokumentů Doc. RNDr. Jan Rauch, CSc. Katedra informačního a znalostního inženýrství.
TEORIE ROZHODOVÁNÍ A TEORIE HER
Dynamické systémy.
Název školyIntegrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380 Číslo a název projektuCZ.1.07/1.5.00/ Inovace vzdělávacích metod EU.
Rekonstrukce povrchu objektů z řezů Obhajoba rigorózní práce 25. června 2003 Radek Sviták
Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny
Magnetohydrodynamický (MHD) generátor
Téma 3 Metody řešení stěn, metoda sítí.
PROGRAM PRO VÝUKU T ČLÁNKU
Rozhodněte o její pohyblivosti (určete počet stupňů volnosti).
Student: Ing. Olga Minaříková školitel: doc.akad.soch. Miroslav Zvonek, PhD. srpen 2009.
Téma 3 ODM, analýza prutové soustavy, řešení nosníků
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Dynamické rozvozní úlohy
Násobíme . 4 = = . 4 = = . 4 = = . 2 = 9 .
Sylabus V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: Nelineární úlohy Řešení nelineárních rovnic Numerická integrace Lineární.
Lineární programování Simplexový algoritmus
Lineární algebra.
Téma: SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ CELÝCH ČÍSEL 2
Vizualizace projektu větrného parku Stříbro porovnání variant 13 VTE a menšího parku.
Lineární rovnice Běloun 91/1 a
MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/ Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám.
VY_32_INOVACE_ 14_ sčítání a odčítání do 100 (SADA ČÍSLO 5)
Získávání informací Získání informací o reálném systému
Zábavná matematika.
Dělení se zbytkem 6 MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA
Dělení se zbytkem 5 MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA
Letokruhy Projekt žáků Střední lesnické školy a střední odborné školy sociální ve Šluknově.
Plošné konstrukce, nosné stěny
Jazyk vývojových diagramů
Nejmenší společný násobek
Čtení myšlenek Je to až neuvěřitelné, ale skutečně je to tak. Dokážu číst myšlenky.Pokud mne chceš vyzkoušet – prosím.
Únorové počítání.
Posloupnosti, řady Posloupnost je každá funkce daná nějakým předpisem, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n=1,2,3,… Zapisujeme.
KIV/PRO Cvičení Nalezení maxima Nalezněte (co nejefektivněji) maximum v následující posloupnosti: – 2; 12; 8; 39; 9; 4; 3; 20; 28; 19;
52_INOVACE_ZBO2_1364HO Výukový materiál v rámci projektu OPVK 1.5 Peníze středním školám Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Rozvoj vzdělanosti.
Gaussova eliminační metoda
Tento Digitální učební materiál vznikl díky finanční podpoře EU- Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Není –li uvedeno jinak, je tento.
Dělení se zbytkem 8 MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA
Zásady pozorování a vyjednávání Soustředění – zaznamenat (podívat se) – udržet (zobrazit) v povědomí – představit si – (opakovat, pokud se nezdaří /doma/)
Cvičná hodnotící prezentace Hodnocení vybraného projektu 1.
Fyzika 2 – ZS_4 OPTIKA.
Output regulation problem Branislav Rehák ÚTIA AV ČR, Odd. teorie řízení.
Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z Udělejme kombinace
Pojmy a interpretace.
1 Celostátní konference ředitelů gymnázií ČR AŘG ČR P ř e r o v Mezikrajová komparace ekonomiky gymnázií.
Technické kreslení.
Jazyk vývojových diagramů
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matice.
ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO OPTIMALIZAČNÍHO MODELU
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Přednost početních operací
DĚLENÍ ČÍSLEM 5 HLAVOLAM DOPLŇOVAČKA PROCVIČOVÁNÍ Zpracovala: Mgr. Jana Francová, výukový materiál EU-OP VK-III/2 ICT DUM 50.
Slovní úlohy řešené soustavou rovnic
A. Soustavy lineárních rovnic.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
KONTROLNÍ PRÁCE.
Gymnázium, Broumov, Hradební 218
M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka
Vektorové prostory.
Spojení a průnik podprostorů
Sylabus V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: Nelineární úlohy Řešení nelineárních rovnic Numerická integrace Lineární.
Matice Přednáška č.4. Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice.
1 Lineární (vektorová) algebra
Transkript prezentace:

SUBSPACE IDENTIFICATION METODY SUBSPACE IDENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser neuhauj@control.felk.cvut.cz Pavel Trnka trnkap@control.felk.cvut.cz Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze

V tomto semináři ukážeme: úvod V tomto semináři ukážeme: využití matematických nástrojů z minulé přednášky v algoritmech deterministické identifikace použití těchto algoritmů na jednoduchých příkladech a také na reálných datech Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

řád systému a posloupnost stavů připomenutí z minula Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z posloupnosti naměřených vstupně/výstupních dat: řád systému a posloupnost stavů a nakonec z této posloupnosti stavů určit matice stavového modelu A, B, C, D. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n): Pro odvození deterministické identifikace budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0

připomenutí - maticový tvar Stavový model v maticovém tvaru: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Up, Uf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ vstupních dat Yp, Yf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ výstupních dat Xp, Xf - časová posloupnost „minulých“/„budoucích“ stavů systému Gi - rozšířená matice pozorovatelnosti Hi - Toeplitzova matice impulsní odezvy Di - reverzovaná matice řiditelnosti počítané z matic A,B,C,D

připomenutí - maticový tvar Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr indexy značí čas a nikoliv složky vektoru

připomenutí - maticový tvar Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr v prvním sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0 a posloupnost vstupů: v druhém sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1 a posloupnost vstupů: atd…

připomenutí - nejednoznačnost Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru. Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T. Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely. Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

připomenutí - nejednoznačnost Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi: jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné. 4SID algoritmy proto nehledají konkrétní stavovou posloupnost Xi, ale právě prostor generovaný řádky matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost. K nalezení tohoto řádkového prostoru jsou používány geometrické nástroje numerické algebry. Nejednoznačnost ve volbě báze je dána nejednoznačností stavového modelu vůči podobnostní transformaci. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

připomenutí – geometrická interpretace Geometrická interpretace maticových rovnic Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Na násobení maticemi Gi, Hi, Ai, Di zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak každý řádek matice Yf vzniká jako lineární kombinace řádků matic Xf a Uf. Gi . Xf Hi . Uf Yf Xf Uf

algoritmy deterministické identifikace Průsečíkový algoritmus Projekční algoritmus Sjednocující projekční algoritmus (Theorem 2) Odlišují se odolností proti šumu. Využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp, Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektory vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku.

průnikový (intersection) algoritmus (1) Identifikační metoda pracující na základě velmi jednoduché vlastnosti řádkových prostorů datových Hankelových matic. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Řádkový prostor sekvence stavů Xf lze získat jako průnik mezi řádkovým prostorem minulých dat (Up, Yp) a řádkovým prostorem budoucích dat (Uf, Yf): Libovolná báze tohoto průnikem vzniklého prostoru tvoří platnou posloupnost stavů. Nejednoznačnost ve volbě báze odpovídá podobnostní transformaci stavového modelu T.

průnikový (intersection) algoritmus (2) K nalezení průniku lze použít například principiálních úhlů a principiálních směrů mezi podprostory počítaných pomocí SVD (minulá přednáška). Principiální úhly uvažujeme jako zobecnění úhlu mezi dvěma vektory na úhly mezi dvěma podprostory. Počet principiálních úhlů je roven dimenzi menšího ze dvou podprostorů. Průnik mezi dvěma podprostory nalezneme jako prostor generovaný principiálními směry odpovídajících nulovým principiálním úhlům. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

průnikový (intersection) algoritmus (3) Nalezení průniku za použití principiálních úhlů a principiálních směrů počítaných pomocí SVD: Singulární rozklad Matice S má na diagonále kosíny principiálních úhlů mezi principiálními směry danými řádky matice U a VT. Počet principiálních úhlů blížících se nule udává odhad dimenze průniku a tím také řád systému. Odpovídající principiální směry pak tvoří bázi tohoto průniku a tím i platnou posloupnost stavů systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

průnikový algoritmus – příklad (1) SISO systém 3. řádu: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Naměřeno 200 vzorků

průnikový algoritmus – příklad (2) Volba počtu řádek blokových Hankelových matic: i = 10 Umožní identifikovat systémy až do desátého řádu. Z naměřených 200 vzorků sestavíme datové Hankelovy matice s rozměry: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr kde počet sloupců j je zvolen tak, aby byla využita všechna data: j = (počet vzorků) – 2i = 180

průnikový algoritmus – příklad (3) Hankelovy datové matice (vykresleno pomocí pcolor): Yp Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Yf Dále budeme pracovat s řádkovými prostory těchto matic. V našem případě tedy ve 180-ti rozměrném prostoru.

průnikový algoritmus – příklad (4) Vypočteme principiální úhly mezi řádkovými prostory minulých dat (Wp) a budoucích dat (Wf): Vypočteme součin projekčních matic a provedeme jejich singulární rozklad. Z matice singulárních čísel S vypočteme principiální úhly: z počtu singulárních čísel blížících se nule odhadneme řád systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr PrincpialniUhly = acos(diag(S))*180/pi;

průnikový algoritmus – příklad (5) Prvních 15 nejmenších principiálních úhlů: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Tři nulové principiální úhly ukazují na prostor průsečíku s dimenzí 3 a tím na systém 3. řádu. Odpovídající řádky matice U (s normou rovné jedné) pak tvoří posloupnost stavů. Ta je nejednoznačná vůči podobnostní transformaci.

průnikový algoritmus – příklad (6) Nakonec jsou z posloupnosti stavů, vstupu a výstupu pomocí nejmenších čtverců určeny matice systému A, B, C, D. Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

% k maximální hodnotě výstupu vliv šumu Začneme-li přidávat k měření šum bude se zhoršovat jednoznačnost odhadu řádu systému. Minulá a budoucí data budou postupně ztrácet průnik – první tři původně nulové principiální úhly budou růst: 5% šum 10% šum 20% šum Pomocí SVD můžeme určit aproximaci průniku pro zvolený řád systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr nárůst šumu měření % k maximální hodnotě výstupu

důkaz průnikového algoritmu (1) Jak je možné, že stačí (zdánlivě) tak málo?: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Ukážeme následující: Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat (Wf) Xf leží také v řádkovém prostoru minulých dat (Wp) prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n čímž dokážeme, že libovolná báze prostoru vzniklého průnikem minulých a budoucích dat tvoří správnou (přípustnou) posloupnost stavů.

důkaz průnikového algoritmu (2) 1. Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr z maticové rovnice systému lze budoucí stavy napsat jako výsledkem násobení maticí zleva je matice jejíž řádky jsou tvořeny lineární kombinací řádků násobené matice. To ukazuje, že Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat:

důkaz průnikového algoritmu (3) 2. Xf leží také v řádkovém prostoru minulých dat Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Ze stavových rovnic: můžeme Xf zapsat jako: Což ukazuje, že také Xf leží v řádkovém prostoru minulých dat

důkaz průnikového algoritmu (4) 3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n Důkaz následující rovnosti je delší. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Omezíme se proto na výčet podmínek, za kterých platí: Řádky Hankelových matic Up, Uf jsou lineárně nezávislé. To lze zajistit dostatečným počtem vzorků. Řádky matic Xp a Xf jsou lineárně nezávislé. To odpovídá v identifikaci obvyklé podmínce dostatečného vybuzení systému.

průnikový algoritmus - poznámky stavová matice a Hankelovy matice vstupů U a matice výstupů Y mají počet sloupců přibližně rovný počtu naměřených vzorků řádkové vektory se kterými 4SID pracuje tak mohou mít rozměry v řádech 100, 1000, … je tak potřeba rozlišovat mezi stavovým prostorem systému a řádkový prostor matice Xi Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový prostor – n rozměrný s dimenzí n (n řád systému). Leží v něm všechny stavy tj. sloupce matice Xi . Řádkový prostor matice Xi – j rozměrný s dimenzí n. Báze je dána řádky matice Xi

získání matic stavového modelu (1) Z předchozích kroků algoritmu známe: odhad řádu systému (ze singulárních čísel) stavovou posloupnost Xf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr K nalezení systémových matic stačí vyřešit soustavu rovnic: Rozměry matic díky odhadu řádu systému známe. Ui|i resp. Yi|i je jeden blokový řádek vstupních resp. výstupních dat. Soustava rovnic je přeurčená, avšak pro náš deterministický případ také konzistentní – tudíž není nutné použít metodu nejmenších čtverců. známé

získání matic stavového modelu (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V případě použití deterministické identifikace na zašuměná data je použití metody nejmenších čtverců nutné:

vlastnosti SVD pro Subspace metody (1) 4SID metody používají singulární rozklad pro zjištění báze řádkového nebo sloupcového prostoru matice a pro jeho aproximaci prostorem nižšího řádu. Pro matici A2 Rm £ n: kde matice S1 je čtvercová matice s k nenulovými singulárními čísly na diagonále. Pak matice U a V jsou rozděleny následovně: Potom pro řádkový resp. sloupcový prostor matice A platí: navíc řádky V1T resp. sloupce U1 tvoří ortogonální bázi řádkového resp. sloupcového prostoru matice A. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

vlastnosti SVD pro Subspace metody (2) Z hlediska šumu umožňuje SVD jednoduchou aproximaci řádkových/sloupcových podprostorů. Příklad Matice A má v řádcích 5 vektorů ležících v rovině (x,y). V matici Anoise je k těmto vektorů přidán šum. Ukážeme, že pomocí SVD lze určit řádkový prostor matice A (nalézt jeho dimenzi a bázi) a také použití SVD pro odstranění šumu z Anoise a nalezení aproximace řádkového prostoru prostorem nižšího řádu. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

vlastnosti SVD pro Subspace metody (3) červeně – vektory z řádků matice A modře – vektory z řádků matice Anoise Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr 0.5 -0.5 2 1.5 1 2 0.5 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -2 -2

vlastnosti SVD pro Subspace metody (4) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Pro porovnání vypočteme normálové vektory k rovinám představujícím řádkové prostory matic A a Anoise:

sjednocující projekční algoritmus Algoritmus bez konkrétního názvu označovaný v literatuře jako „Theorem 2“ podle knihy „De Moor: Subspace Identification for Linear Systems”, ve které byl pod tímto označením zaveden. Pomocí váhových matic W1, W2 představující volné parametry algoritmu, zahrnuje ostatní deterministické algoritmy. Je založen na šikmé projekci prostoru budoucích výstupů do prostoru minulých dat podél podél prostoru budoucích vstupů . Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr kde

Yf Hi . Uf Stručný princip Podle maticové rovnice systému: jsou vektory řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Yf získány jako suma lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru posloupnosti stavů Xf a lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Uf. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Yf Hi . Uf Gi . Xf

Yf Hi . Uf Stručný princip 2 Lze ukázat, že vektory posloupnosti stavů lze získat jako lineární kombinaci řádkových vektorů blokových Hankelových matic minulých dat: vypočteme-li tedy projekci Yf na Wp podél Uf , zbavíme se tak složky výstupu generované vstupem Uf. Projekcí tak dostaneme řádkový prostor Xf daný součinem Gi . Xf, jehož činitele (řádkový a sloupcový prostor) můžeme určit pomocí singulárního rozkladu. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Yf Hi . Uf Wp Gi . Xf

Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS) kroky algoritmu (1) Postup: Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS) Singulární rozklad matice řádkového prostoru projekce kde váhové matice W1 a W2 jsou zvoleny, tak aby: Určení řádu systému podle počtu nenulových singulárních čísel v matici S1 Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti (sloupcový prostor projekce) kroky algoritmu (2) Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti (sloupcový prostor projekce) Pro posloupnost stavů dostaneme singulárním rozkladem část stavů ležících ve sloupcovém prostor matice W2: Posloupnost stavů nakonec dostaneme jako Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

poznámky k algoritmu Poznámky: volba matic W1 a W2 určují výslednou bázi pro stavový prostor. Transformační matice T je těmito maticemi parametrizována T(W1, W2). Sjednocující projekční algoritmus má následující algebraickou interpretaci: ze které může být vidět, že cílem 4SID algoritmů je nalezení subprostoru stavů. Jeho libovolná báze tvoří potom posloupnost stavů – tato báze (báze řádkového prostoru) je nalezena pomocí SVD. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

důkaz (1) Jak již bylo ukázáno matici posloupnosti budoucích stavů Xf můžeme získat jako lineární kombinaci minulých dat. Ze stavových rovnic: můžeme Xp zapsat jako: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

Rovnici pro budoucí výstupy Yf potom můžeme přepsat: důkaz (2) Rovnici pro budoucí výstupy Yf potom můžeme přepsat: ortogonální projekcí obou stran rovnice na prostor kolmý k prostoru budoucích vstupů Uf dostaneme: Z matice můžeme singulárním rozkladem získat bázi řádkového prostoru Xi neboť Gi má plnou sloupcovou hodnost (podobně pro bázi col(Gi) ). Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

Stejná data jako pro průnikový algoritmus: příklad (1) Stejná data jako pro průnikový algoritmus: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr SISO systém 3. řádu: Naměřeno 200 vzorků

K výstupním datům přidán šum. Singulární čísla matice příklad (2) K výstupním datům přidán šum. Singulární čísla matice Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Počet velkých singulárních čísel dává dobrý odhad řádu systému -> n=3.

Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: příklad (3) Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

Hydraulický servoválec Použití metod Subspace Identification pro identifikaci reálného systému z naměřených dat. Parametry válce: jmenovitý zdvih: 50 mm jmenovitá síla: 125 kN Parametry servoventilu: jmenovitý průtok: 240 l/min perioda vzorkování: 0,5 ms Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

naměřená data Hydraulický válec používán k testování silentbloků pro automobily. Vstupní data tak představují změřené nárazy a vibrace při testovací jízdě automobilem. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

Odhad řádu systému pomocí singulárních čísel Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

stavový model odhadovaného systému Matice identifikovaného systému Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Vypočtené chyby pro metodu Subspace identification a pro ARX model:

porovnání výstupů Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

představili jiný přístup k metodám identifikace systémů, závěr V této přednášce jsme: představili jiný přístup k metodám identifikace systémů, ukázali základy metod Subspace Identification a především jejich deterministickou část, ukázali, že 4SID metody i přes jejich abstraktnost jsou použitelné pro praktické aplikace. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr