Fakulty informatiky a statistiky Průřezové a generační úmrtnostní tabulky Modelování úmrtnosti Brassovou relační metodou RNDr. Tomáš Fiala, CSc. Katedra demografie Fakulty informatiky a statistiky VŠE Praha fiala@vse.cz

Základní data o úmrtnosti (pro každé pohlaví zvlášť) Za jednotlivé roky (t): Počty zemřelých podle věku x (Mt,x) Počty žijících podle věku x (St,x) Výpočet specifických měr úmrtnosti (ve jmenovateli je průměrný počet žijících) Na základě řady specifických měr úmrtnosti pro všechny jednotky věku lze spočítat úmrtnostní tabulky

Průřezové (transverzální) úmrtnostní tabulky Na základě specifických měr úmrtnosti v jednom roce Průřez úmrtnosti zhruba 110 generací narozených Charakterizují úmrtnost v daném roce, nikoli vymírání nějaké skupiny žijících osob Charakteristiky délky života – pouze za předpokladu, že by se úmrtnost neměnila v čase Nutno správně interpretovat

Generační (longitudinální) úmrtnostní tabulky Na základě specifických měr úmrtnosti osob narozených ve stejném roce Popisují úmrtnost těchto osob po celou dobu jejich života (zhruba 110 let) Charakteristiky délky života se týkají dané skupiny osob

Charakteristika generačních úmrtnostních tabulek Zpravidla nejsou k dispozici data za celou dobu života sledované generace (pouze neúplná řada specifických měr úmrtnosti) Neaktuální hodnoty Jsou vhodným doplňkem průřezových úmrtnostních tabulek Mohou vysvětlit generační zákonitosti úmrtnosti

Vysoká úmrtnost v určitém věku může mít za následek snížení pozdější úmrtnosti téže generace (přirozený výběr, přežijí jen „silní“ jedinci) a naopak Příklad: V roce 1990 byla úmrtnost osob do 60 let nižší v ČR než v SR, pro starší osoby tomu bylo naopak Hypotéza: Jednou z příčin může být vysoká kojenecká a dětská úmrtnost na Slovensku na počátku minulého století

Modelování úmrtnosti Brassovou relační metodou Snaha nalézt funkci zachycující závislost míry úmrtnosti na věku Řada pokusů – zpravidla nepoužitelné pro předpověď budoucího vývoje Myšlenka Williama Brasse: nemodelovat vlastní průběh intenzit úmrtnosti, ale modelovat změny úmrtnosti, ke kterým dochází v čase On the scale of mortality In: Biological Aspects of Demography. Ed. W. Brass, Taylor and Francis, London 1971.

Východisko metody: křivky l(x) počtu dožívajících se přesného věku x, mají vždy podobný průběh, charakterem připomínající nepravidelně „stlačenou“ logistickou křivku (Obrázek převzat z Koschin F., Vybrané demografické modely, VŠE Praha 1995, ISBN 80-7079-761-4)

Popis metody: Uvažujme nějakou „standardní“ úmrtnost popsanou funkcí l*(x), (l*(0)=1) po vhodné transformaci osy x bude logistická křivka křivkou počtu dožívajících obecná rovnice logistické křivky: hledáme takovou transformační funkci g*(x) aby, transformační funkce má tedy tvar

Klíčový předpoklad metody: (zjednodušení reality) Odlišnost úmrtnosti l(t,x) od l*(x) se projeví pouze změnou posunutí a strmosti příslušné logistické křivky na , tedy eventuální další odchylky považujeme za náhodné chyby. Dostáváme tedy řadu regresních rovnic Neznámými parametry jsou nejen u(t) a v(t), ale i l*(x) t=1, 2, …, T x = 0, 1, …, ω-1

Nalezení odhadu parametrů modelu 1. Položíme i = 0 a určíme počáteční odhad standardu 2. Řešíme T regresních rovnic pro parametry u(t) a v(t)    3. Řešení označíme u(i)(t) a v(i)(t) a řešíme ω regr. rovnic pro parametry logit l*(x)   4. Řešení označíme logit l(i+1)(x) a vypočteme     5. Porovnáme rozdíly l(i)(x) a l(i+1)(x) pro všechna x , pokud jsou „velké“, položíme i = i +1 a opakujeme kroky 2, 3, 4 a 5; jinak skončíme 6. Položíme l*(x) =  l(i+1)(x) u(t) =  u(i)(t) a v(t) =  v(i)(t).

Příklad: Úmrtnost žen v ČR v letech 1980-91 (Obrázek převzat z Koschin F., Vybrané demografické modely, VŠE Praha 1995, ISBN 80-7079-761-4)

Využití pro prognózu úmrtnosti: Extrapolace hodnot u(t) a v(t) v čase umožňuje modelovat vývoj úmrtnosti pomocí výše uvedené rovnice Na rozdíl od jiných modelů zpravidla dostáváme poměrně rozumné výsledky