Goniometrické funkce pro III. ročník Výuka anglického, německého jazyka a matematiky na středních školách ve třídách s integrovanými žáky se specifickými poruchami učení pomocí informačních a komunikačních technologií Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Goniometrické funkce II. kvadrant pro III. ročník cos223°25´13,258“ K učebnici Calda, E.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU 3. díl; Prometheus, 2004, s. 62 Přehled učiva Milan Hanuš

Didaktické cíle: Sinus úhlů v intervalu 0°až 360° Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: Sinus úhlů v intervalu 0°až 360° Kosinus úhlů v intervalu 0°až 360° Tangens úhlů v intervalu 0°až 360° Grafy goniometrických funkcí Test

Sinus úhlů v intervalu 0°až 360° Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: Sinus úhlů v intervalu 0°až 90° y y 1 1 II. Kvadrant (90°; 180°) I. Kvadrant (0°; 90°) M 1 sinα α -1 -1 1 1 x x Jednotková kružnice -1 -1 IV. Kvadrant (270°; 360°) III. Kvadrant (180°; 270°) sinα = yM / 1 = yM I. kvadrant + Příklad: sin 17°35’ = sin 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = sin výsledek. Kalkulačka Odvození na internetu

Sinus úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 M realizuje Evropskou strategii zaměstnanosti prostřednictvím investic do lidských zdrojů 1 sinα α α´ -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 x x x -1 -1 -1 α sinα = sin (180° - α´°) Hf = (0; 1) II. kvadrant + Příklad: sin 162° 25’ = sin(180° - 162° 25’) = sin 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = sin výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = sin výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Sinus úhlů v intervalu 180° až 270° (III. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y 1 α -1 1 α´ x sinα 1 -1 sinα = - sin (α´° - 180° ) Hf = (-1; 0) III. kvadrant - α Příklad: sin 197°35’ = - sin(197°35’ – 180°) = - sin 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 197 + 35 : 60 = -180 = sin +/- výsledek, ale lze i zadat přímo 197 + 35 : 60 = sin výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Sinus úhlů v intervalu 270° až 360° (IV. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y 1 α -1 α´ 1 x sinα 1 -1 sinα = - sin (360° - α´ ) Hf = (-1; 0) IV. kvadrant - α Příklad: sin 342°25’ = - sin(360° – 342°25’) = - sin 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 375 + 25 : 60 = +/- +360 = sin +/- výsledek, ale lze i zadat přímo 375 + 25 : 60 = sin výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Kosinus úhlů v intervalu 0°až 360° Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: Kosinus úhlů v intervalu 0°až 90° y y 1 1 II. Kvadrant (90°; 180°) I. Kvadrant (0°; 90°) M 1 α -1 -1 cosα 1 1 x x Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice -1 -1 IV. Kvadrant (270°; 360°) III. Kvadrant (180°; 270°) cosα = xM / 1 = xM I. kvadrant + Příklad: cos17°35’ = cos 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 17 + 35 : 60 = cos výsledek Kalkulačka

Investuje do rozvoje vzdělání Kosinus úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 M Investuje do rozvoje vzdělání 1 α α´ -1 -1 -1 -1 -1 cosα 1 1 1 x x x -1 -1 -1 α cosα = - cos (180° - α´°) Hf = (-1;0) II. kvadrant - Příklad: cos 162° 25’ = - cos(180° - 162° 25’) = - cos 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = cos výsledek Kalkulačka

Kosinus úhlů v intervalu 180° až 270° (III. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y 1 cosα α -1 1 α´ x 1 -1 cosα = - cos (α´° - 180° ) Hf = (-1; 0) III. kvadrant - α Příklad: cos 197°35’ = - cos(197°35’ – 180°) = - cos 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 197 + 35 : 60 = -180 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 197 + 35 : 60 = cos výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Kosinus úhlů v intervalu 270° až 360° (IV. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y 1 cosα α -1 α´ 1 x 1 -1 cosα = cos (360° - α´ ) Hf = (0; 1) IV. kvadrant + α Příklad: cos 342°25’ = cos(360° – 342°25’) = cos 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 375 + 25 : 60 = +/- +360 = sin výsledek, ale lze i zadat přímo 375 + 25 : 60 = sin výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

vyrovnává příležitosti v přístupu na trh práce Tangens úhlů v intervalu 0°až 360° Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: Tangens úhlů v intervalu 0°až 90° t vyrovnává příležitosti v přístupu na trh práce y y 1 1 M tgα α -1 -1 1 1 1 x x -1 -1 tgα = yM / 1 = yM I. kvadrant + Příklad: tg 17°35’ = tg 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = tan výsledek, ale lze i zadat přímo 17 + 35 : 60 = tan výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Tangens úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant) Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 t α α´ 1 -1 -1 -1 -1 -1 α´ 1 1 1 x x x tgα M -1 -1 -1 α tgα = - tg (180° - α´°) Hf = (-∞; 0) II. kvadrant - Příklad: tg 162° 25’ = - tg(180° - 162° 25’) = - tg 17° 35’ Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = tan výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = tan výsledek Kalkulačka Odvození na internetu

Tangens úhlů v intervalu od 180°do 360° Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: Tangens úhlů v intervalu od 180°do 360° Goniometrická funkce tangens úhlu má periodu 180° (opakuje se po 180°). Proto platí pro třetí kvadrant: tgα = tg (α° - 180° ) Hf = (0; ∞ ) III. kvadrant + a pro čtvrtý kvadrant: tgα = - tg (360° - α ) Hf = (- ∞; 0) IV. kvadrant - Kalkulačka Odvození na internetu

Grafy goniometrických funkcí Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y = sin α 0,00 -0,50 -0,87 -1,00 0,50 0,87 1,00 sinα 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 α° Vykreslení grafu (internet) Odvození grafu (internet)

Grafy goniometrických funkcí Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y = cos α 1,00 0,87 0,50 0,00 -0,50 -0,87 -1,00 cosα 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 α° Vykreslení grafu (internet) Odvození grafu (internet)

Grafy goniometrických funkcí Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° Didaktické cíle: y = tg α 270 90 Vykreslení grafu (internet)

Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° K O N E C POHÁDKA Test

Goniometrické funkce úhlů v intervalu od 0°do 360° ................................... ………………. Jméno a příjmení Třída Datum: ………………………… 1. Určete hodnoty funkce sinus λ pro následující úhly λ = 25°, λ = 237°, λ = 151° 24´ 56“ 2. Určete hodnoty funkce kosinus λ pro následující úhly 3. Určete velikost úhlu β, jsou-li hodnoty goniometrických funkcí následující sin β = 0,301; cos β = - 0,254; tg β = -12,2 ......................................................................................................................................... 1. Určete hodnoty funkce kosinus λ pro následující úhly λ = 325°, λ = 37°, λ = 181° 24´ 56“ 2. Určete hodnoty funkce tangens λ pro následující úhly 3. Určete velikost úhlu á pro hodnoty funkce následujících goniometrických funkcí: cos á = 0,911; sin á = - 0,539; tg á = - 1,256 B

A 1. cos325° = 0,819 cos37 = 0,799 cos181° 24´ 56“ = - 1,000 2. tg325° = -0,700 tg37°= 0,754 tg181° 24´ 56“ = 0,025 3. α1 = 24°21´21,92“ α2 = 335°38´38,08“ α1 = 212°36´56,13“ α2 = 327°23´3,87“ α1 = 128°31´33,76“ α2 = 308°31´33,76“ B 1. sin25°= 0,423 sin237°= - 0,839 sin 151° 24´ 56“ = 0,478 2. cos 25°= 0,906 cos237°= - 0,545 cos 151° 24´ 56“ = - 0,878 3. β1 = 17°31´3,63“ β2 = 162°28´56,37“ β1 = 104°42´51,62“ β2 = 255°17´8,38“ β1 = 94°41´9,24“ β2 = 274°41´9,24“