25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.1 Statistika (D360P03Z) akademický rok 2004/2005 doc. RNDr. Karel Zvára, CSc. KPMS MFF UK II. část

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.2 pravděpodobnost pokus – dobře definovaná situace (postup), který končí jedním z řady výsledků náhodný pokus – pokus, u něhož předem nevíme, který výsledek nastane; předpokládá se stabilita relativních četností možných výsledků náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu pravděpodobnost náhodného jevu A – číselné vyjádření očekávání, že výsledkem náhodného pokusu bude právě A při velkém počtu opakování pokusu se relativní četnost jevu blíží k jeho pravděpodobnosti

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.3 klasická pravděpodobnost nechť každý jev se skládá ze stejně pravděpodobných elementárních jevů (symetrie) celkem M stejně pravděpodobných disjunktních elementárních jevů z nich je M A příznivých jevu A klasická pravděpodobnost

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.4 příklad - hrací kostka idealizovaná symetrická homogenní kostka každá strana má stejnou pravděpodobnost A – padne šestka B – padne sudé číslo M = 6 M A = 1, tedy P(A) = 1/6 M B = 3, tedy P(B) = 3/6 = 1/2

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.5 faktoriál faktoriál n ! = n · (n – 1) · … · 2 · 1 (kolika způsoby lze uspořádat za sebou n rozlišitelných prvků) příklady: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 1! = 10! = 1 kolika způsoby mohu uspořádat za sebou 14 krajů: 14! =

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.6 počet kombinací kombinační číslo (n nad k) počet k-prvkových podmnožin množiny o n prvcích nezávisle na jejich pořadí kolika způsoby mohu z pěti knížek vybrat dvě na dovolenou kolika způsoby si mohu vybrat tři knihy? (10)

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.7 příklad – losování otázek (1) student neumí 5 otázek, umí 10 otázek losuje se dvojice otázek z oněch 15 pravděpodobnost, že nezná ani jednu z nich elem. jevy: první losovaná 15 možností, druhá 14, nezáleží na pořadí => dělit 2 příznivé: obě z pěti, které neumí

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.8 příklad – losování otázek (2) pravděpodobnost, že zná právě jednu pravděpodobnost, že zná obě otázky pravděpodobnost, že zná aspoň jednu

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.9 pravidla pro pravděpodobnost (1) B C B C sjednocení platí B nebo C průnik platí B a současně C

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.10 pravidla pro pravděpodobnost (2) neslučitelné jevy: nemohou nikdy současně nastat, platí pro ně podmíněná pravděpodobnost nezávislé jevy: výskyt jednoho neovlivní pravděpodobnost výskytu druhého B C

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.11 idealizovaný příklad A – jednička ze statistiky, P(A) = 0,3 B – jednička z matematiky, P(B) = 0,2 A  B – jednička z obou předmětů P(A  B) = 0,1 jsou jedničky nezávislé? NE (0,2 · 0,3 = 0,1?) jaká je pravděpodobnost, že bude 1 ze statistiky, když už je z matematiky? P(A | B) = P(A  B) / P(B) = 0,1 / 0,2 = 0,5 aspoň jedna jednička: P(A)+P(B)-P(A  B)=0,4

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.12 rozdělení náhodné veličiny náhodná veličina - číselně vyjádřený výsledek náhodného pokusu diskrétní rozdělení určeno seznamem možných hodnot a jejich pravděpodobnostmi spojité rozdělení určeno distribuční funkcí nebo hustotou

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.13 příklad: známka u zkoušky jak jedním číslem charakterizovat úroveň? průměr nerozliší X, Y vážený průměr, vahami psti známek populační průměry:  X = 1· 0,3 + 2 · 0,4 + 3 · 0,2 + 4 · 0,1 = 2,1  Y = 1· 0,3 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 + 4 · 0,2 = 2,3 známka k1234 P(X = k)0,30,40,20,1 P(Y = k)0,3 0,2

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.14 parametry rozdělení náhodné veličiny střední hodnota náhodné veličiny X (populační průměr) vážený průměr možných hodnot vahami jsou pravděpodobnosti hodnot  X = E X = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + … když se použije operátor E na náhodnou veličinu X, spočítá vážený průměr hodnot X, vahami jsou u diskrétního rozdělení pravděpodobnosti těchto hodnot, u spojitého rozdělení integrál

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.15 parametry rozdělení náhodné veličiny (populační) rozptyl náhodné veličiny X vážený průměr čtverců vzdáleností možných hodnot od střední hodnoty  2 X = E(X -  X ) 2 =(x 1 -  X ) 2 P(X=x 1 )+(x 2 -  X ) 2 P(X=x 2 )+…  2 X = E(X -  X ) 2 = směrodatná odchylka odmocnina z rozptylu

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.16 příklad: známka u zkoušky jak vždy jedním číslem charakterizovat kolísání (variabilitu)? vážený průměr čtverců vzdálenosti od střední hodnoty, vahami známky = populační rozptyl  2 X =(1-2,1) 2 · 0,3 + (2-2,1) 2 ·0,4 + (3-2,1) 2 ·0,2 + (4-2,1) 2 ·0,1 = 0,89 = 0,943 2  2 Y = (1-2,3) 2 · 0, = 1,21 = 1,1 2 známka k1234  P(X = k)0,30,40,20,12,1 P(Y = k)0,3 0,2 2,3

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.17 vlastnosti střední hodnoty a rozptylu X, Y – náhodné veličiny  a+bX = E (a+bX ) = a + b EX = a + b  X  X+Y = E (X + Y) = E X + E Y =  X +  Y  2 X+Y =  2 X +  2 Y + 2  XY  XY = E(X -  X )(Y -  Y ) kovariance X, Y = (x 1 -  X )(y 1 -  Y )P(X=x 1,Y=y 1 ) + … (všechny dvojice) jsou-li X, Y nezávislé, pak  XY = 0, tedy  2 X+Y =  2 X +  2 Y rozptyl součtu = součet rozptylů

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.18 alternativní (nula-jedničkové) rozděl. diskrétní, má jediný parametr  P(X=1) = , P(X=0) = 1 -  (0<  <1) X - kolikrát v jednom pokusu došlo k události, která má pravděpodobnost  střední hodnota X (populační průměr): (populační) rozptyl:

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.19 binomické rozdělení bi(n,  ) (1) diskrétní rozdělení, parametry n,  n nezávislých pokusů v každém zdar s pravděpodobností , nezdar s pravděpodobností 1 -  X - celkový počet zdarů má binomické rozdělení s parametry n a  (0    1) je to součet n nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením 

25. října 2004Statistika (D360P03Z) 4. předn.20 binomické rozdělení bi(n,  ) (2) s pstí k-krát kolikrát zvolit místo pro Z, ostatní N, nezávisí na pořadí umisťování Z (kombinační číslo)