Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu jiri.cihlar@ujep.cz Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu jiri.cihlar@ujep.cz
O čem budeme hovořit: Obsah rovinné oblasti Objem rotačního tělesa Délka křivky Povrch rotačního tělesa Další aplikace
Obsah rovinné oblasti
Opakování Obsah rovinné oblasti rozložíme na elementární útvary. Obsah plochy pod grafem funkce vypočítáme určitým integrálem:
Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolou o rovnici y = 6x – x2 a osou x.
Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolami o rovnicích:
Znaménková konvence Při výpočtu obsahu se oblasti ohraničené grafem funkce, které leží nad osou x, počítají s kladným znaménkem a oblasti, které leží pod osou x, se záporným znaménkem.
Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené křivkou o rovnici y = x . sin x a osou x.
Objem rotačního tělesa
Jak počítat objem? Těleso rozřežeme na tenké válečky. Objem rotačního tělesa vytvořeného rotací grafu funkce vypočítáme tímto integrálem:
Příklad Vypočítejte objem kužele. (Vzniká rotací funkce f(x) = rx/v).
Příklad Vypočítejte objem anuloidu.
Délka křivky
Jak počítat délku křivky? Křivku aproximujeme krátkými úsečkami. Délku křivky vypočítáme tímto integrálem:
Příklad Vypočítejte délku kružnice.
Povrch rotačního tělesa
Jak počítat obsah pláště rotačního tělesa? Těleso rozřežeme na tenké válečky. Plášť rotačního tělesa vypočítáme tímto integrálem:
Příklad Vypočítejte obsah pláště kužele.
Příklad Vypočítejte povrch koule.
Další aplikace
Příklad Vypočítejte potenciální energii tělesa hmotnosti m v nehomogenním gravitačním poli Země. Použijte Newtonův gravitační zákon.
Příklad Vypočítejte únikovou rychlost z nehomogenního gravitačního pole Země. Ze zákona zachování energie plyne: Odtud pak vypočítáme:
Co je třeba znát a umět? Vypočítávat určitým integrálem obsahy rovinných oblastí, umět vypočítat objem rotačních těles, umět vypočítat délky křivek, umět vypočítat povrch rotačních těles, umět používat určité integrály k dalším výpočtům z oblasti přírodních věd.
Děkuji za pozornost