Náhodná veličina

Základní pojmy Náhodná veličina - výsledek náhodného pokusu vyjádřený reálným číslem. Příklady: počet padlých líců při hodu pěti mincemi číslo, které padne v ruletě čas od spuštění stroje do jeho první poruchy počet volání na zákaznickou linku během 10 minut

Základní pojmy Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny - pravidlo, které každé hodnotě (popř. každému intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (popř. hodnoty z tohoto intervalu).

Řešení: Postupně vypočítáme: Příklad 1: Nechť náhodná veličina X vyjadřuje počet šestek, které padnou při hodu čtyřmi kostkami. Určete rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Řešení: Postupně vypočítáme: Pravděpodobnost, že šestka nepadne ani jednou: Pravděpodobnost, že šestka padne právě jednou:

Pravděpodobnost, že šestka padne právě dvakrát: Pravděpodobnost, že šestka padne právě třikrát: Pravděpodobnost, že šestka padne právě čtyřikrát:

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny Náhodná veličina X vyjadřuje počet šestek, které padnou při hodu čtyřmi kostkami. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. k 1 2 3 4 P(X = k) 0,4823 0,3858 0,1157 0,0154 0,0008

Základní typy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Řekneme, že náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně „je diskrétní“) právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot k tak, že P(X = k) … pravděpodobnostní funkce

Zadání pravděpodobnostní funkce předpisem tabulkou grafem k 1 2 3 P(X=k) 0,729 0,243 0,027 0,001

Příklad 2: V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě) Příklad 2: V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci této náhodné veličiny. Náhodná veličina X … počet porouchaných strojů v dílně X může nabývat pouze konečně mnoha (tří) hodnot {0; 1; 2}, mělo by se tedy jednat o diskrétní náhodnou veličinu Označíme jevy: S1 … první stroj se porouchá, S2 … druhý stroj se porouchá. , .

Ze zadání vidíme, že P(S1) = 0,2 a P(S2) = 0,3. xi P( X  xi ) 0,56 1 0,38 2 0,06 Σ 1,00 Pravděpodobnostní funkce

Distribuční funkce Distribuční funkce F(x) – pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než x. Vlastnosti distribuční funkce: nabývá hodnot z intervalu je neklesající, je zleva spojitá, má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti,

Distribuční funkce Ukázka distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny – X vyjadřuje číslo, které padne při hodu kostkou

Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Příklad 2 (pokračování): V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. , Distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny X můžeme vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce jako xi P( X  xi ) 0,56 1 0,38 2 0,06 Σ 1,00 x F( x) 0,56 0,56 + 0,38 = 0,94 0,56 + 0,38 + 0,06 = 1 Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce

Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Příklad 2 (pokračování): V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. , Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce

Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (diskrétní náhodná veličina) Pravděpodobnostní funkce je nenulová v bodech, v nichž je distribuční funkce nespojitá.

Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (diskrétní náhodná veličina)

Spojitá náhodná veličina Řekneme, že náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně „je spojitá“) právě tehdy, má-li spojitou distribuční funkci. Pravděpodobnostní funkce SNV je nulová!!! Určení rozdělení spojité náhodné veličiny hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

Přechod od histogramu k hustotě pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti f(x) spojité náhodné veličiny je reálná nezáporná funkce taková, že Ve všech bodech, kde existuje derivace distribuční funkce, platí:

Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti je nezáporná funkce. Plocha pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je rovna 1.

Distribuční funkce Ukázka distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Ukázka distribuční funkce spojité náhodné veličiny

Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (spojitá náhodná veličina) V případě SNV jsou ostré a neostré nerovnosti ve výše uvedených vztazích zaměnitelné.

Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (spojitá náhodná veličina)

Geometrická interpretace vztahu mezi pravděpodobností, distribuční funkcí a hustotou pravděpodobnosti