ŘÍZENÍ JAKOSTI A SPOLEHLIVOSTI Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček

Obsah prezentace Náhodná proměnná Rozdělení náhodné proměnné

Náhodná proměnná Hodnocené vlastnosti - většinou pravděpodobnostní, resp. statistický charakter Ukazatele spolehlivosti (kvantitativní míry vlastností) - úzce spjaty s rozdělením pravděpodobnosti náhodné proměnné. Náhodný pokus: Takový pokus, které je možný neomezeně mnohokrát opakovat, ale jeho výsledek není jednoznačně předurčen podmínkami pokusu a náhodně se mění přesto, že podmínky pokusu jsou zachovány. Náhodný jev: Kterýkoliv jev z množiny všech možných výsledků náhodného pokusu. Výsledky náhodného pokusu musí být vzájemně neslučitelné (nemůže současně nastat výskyt více než jednoho jevu) a úplné (musí nastat právě jeden z nich). Tyto možné výsledky náhodného pokusu jsou nazývány elementárními jevy.

Pravděpodobnost: Zjednodušeně míra relativní četnosti náhodného jevu v případě provedení nekonečného počtu náhodných pokusů (jejichž výsledkem může výskyt uvedeného náhodného jevu). Objektivní možnost nastoupení náhodného jevu lze vyjádřit číslem, které nazýváme pravděpodobností. kde n(A) je počet výskytů jevu A v n pokusech. Náhodná proměnná: Zjednodušeně taková proměnná, jejíž každá hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu a která současně může nabývat libovolné hodnoty z definovaného oboru hodnot, vždy však pouze s určitou pravděpodobností. Diskrétní náhodná proměnná X je taková náhodná proměnná, která může nabývat diskrétních hodnot z nějaké konečné, nebo spočetné množiny {x1, x2, x3, …}. Například počet porouchaných součástek za danou dobu provozu z celkového počtu n součástek může nabývat hodnot 1, 2, 3, …n. Spojitá náhodná proměnná X je taková náhodná proměnná, která může nabývat všech hodnot z určitého intervalu. Například doba bezporuchového provozu systému X může nabývat hodnot x  (0, ). Tuto pravděpodobnost lze vyjádřit jistým zákonem rozdělení pravděpodobnosti popsaným např. distribuční funkcí, hustotou pravděpodobnosti apod.

Zákon rozdělení pravděpodobnosti: Vztah, který dovoluje stanovit, s jakou pravděpodobností lze při realizaci pokusu očekávat nastoupení daného jevu (tj. přiřadit hodnotám náhodné proměnné odpovídající pravděpodobnosti). K popisu rozdělení náhodné proměnné nejčastěji slouží: distribuční funkce hustota pravděpodobnosti (resp. pravděpodobnostní funkce u diskrétní náhodné proměnné) intenzita náhodného jevu

Distribuční funkce - spojitá náhodná proměnná 0  F(x)  1, neklesající a zleva spojitá funkce, P(x1  X  x2) = F(x2) - F(x1) ,

Hustota pravděpodobnosti - spojitá náhodná proměnná , přičemž , ,

Pravděpodobnostní funkce - pro diskrétní náhodnou proměnnou P(X=xi) > 0 , přičemž

Distribuční funkce - diskrétní náhodná proměnná

Intenzita náhodného jevu Intenzita jevu - proměnné konstantní nebo proměnná. Ve spolehlivosti je velmi často užívaná intenzita poruch. Funkce bezporuchovosti (spolehlivosti) Ve spolehlivosti se často používá doplněk (komplement) k distribuční funkci, který nazýváme funkce spolehlivosti (bezporuchovosti), protože vyjadřuje pravděpodobnost toho, že jev (např. porucha) do okamžiku x nenastane:

Doplněk (komplement) k distribuční funkci - vyjadřuje pravděpodobnost toho, že jev (např. porucha) do okamžiku x nenastane:

Rozdělení náhodné proměnné Popis rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné distribuční funkce F(x) hustota pravděpodobnosti f(x) intenzita náhodného jevu h(x) číselné charakteristiky charakteristiky polohy (např. střední hodnota) charakteristiky variability (např. rozptyl a směrodatná odchylka) kvantily (např. medián a modus)

Vanová křivka spolehlivosti Období časných poruch (neodhalené nedostatky v konstrukci, výrobě a montáži) - intenzita poruch klesá, bezporuchovost se zlepšuje. Období konstantní intenzity poruch - hodnota intenzity poruch konstantní. Poruchy v tomto období jsou způsobovány pouze náhodným mechanismem. Období dožívání - intenzita poruch s časem roste v důsledku trvale narůstajícího působení mechanismů stárnutí, opotřebení a koroze. Použitím vhodných zákonů rozdělení náhodné proměnné lze popsat zákonitosti poruchovosti zařízení v jednotlivých etapách jeho života.

Základní typy (zákony) rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné Nejčastěji se ve spolehlivosti pro popis rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné používají tyto typy rozdělení: Spojitá náhodná proměnná normální (Gaussovo) rozdělení logaritmicko-normální rozdělení exponenciální rozdělení Weibullovo rozdělení Diskrétní náhodná proměnná binomické rozdělení Poissonovo rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení symetrické kolem střední hodnoty - parametr polohy rozdělení (střední hodnota náhodné proměnné) - parametr tvaru rozdělení (směrodatná odchylka) Použití Popis doby technického života neopravovaných objektů, kde se projevuje postupná degradace a poměr / , je malý. Jde například o elektrická zařízení se žhavícím vláknem - jako jsou žárovky, topné spirály apod. Popis doby opravy. Aproximace k některým jiným rozdělením..

Exponenciální rozdělení - parametr polohy rozdělení (střední hodnota náhodné proměnné) c - parametr posunutí počátku rozdělení, v praxi se nejčastěji používá c = 0 intenzita poruch hustota pravděpodobnosti distribuční funkce doplněk distribuční funkce (funkce spolehlivosti / bezporuchovosti) za předpokladu, že <<1 Použití Popis poruchovosti objektů s konstantní intenzitou poruch (neprojevuje se vliv postupné degradace součástí)

Weibullovo rozdělení - parametr polohy rozdělení - parametr tvaru rozdělení c - parametr posunutí počátku rozdělení, v praxi se nejčastěji používá c = 0 Použití Popis dob spojených s poruchami a dob nápravné údržby. Parametr > 1 - popis bezporuchovosti a životnosti objektů, u kterých se výrazně projevuje vliv opotřebení, únavy, koroze a dalších degradačních procesů. Parametr < 1 - popis bezporuchovosti v počátečních fázích provozu, kdy se projevují výrobní vady. Parametr = 1 - exponenciální rozdělení (zvláštní případ Weibullova rozdělení).

Binomické rozdělení n - celkový počet pokusů p - pravděpodobnost nastoupení sledovaného jevu pravděpodobnostní funkce Pravděpodobnost, že sledovaný jev při n pokusech nastane právě x - krát, když pravdě-podobnost nastoupení jevu je rovna p. distribuční funkce Pravděpodobnost, že sledovaný jev při n pokusech nastane nejvýše x - krát.

Poissonovo rozdělení m - střední hodnota náhodné proměnné m = .t při popisu výskytu určitého jevu během dané doby .... intenzita jevu t .... doba pozorování pravděpodobnostní funkce Pravděpodobnost, s jakou se určitý jev s intenzitou vyskytne během doby t právě x - krát. distribuční funkce Pravděpodobnost, že určitý jev s intenzitou se vyskytne během doby t nejvýše x - krát.

Poděkování Tento text pro výuku byl vytvořen s podporou ESF v rámci projektu: „Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy“, číslo projektu CZ.04.1.03/3.2.15.3/0442.

Děkuji Vám za pozornost.