FII–9 Stejnosměrné obvody I Teorie a příklady 14. 7. 2003

Hlavní body Sítě rezistorů Obecná topologie obvodů Kirchhoffovy zákony – fyzikální význam Použití Kirchhoffových zákonů Princip superpozice Metoda obvodových proudů 14. 7. 2003

r + r = rc(ra + rb)/(ra + rb + rc) Obecná síť rezistorů Nejprve nahradíme seriově zapojené rezistory, potom paralelně. Zapojení do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy : r = rbrc/(ra + rb + rc) Tento vztah vyplývá z cyklické záměny : r + r = rc(ra + rb)/(ra + rb + rc) 14. 7. 2003

Příklad I-1 (26-19) Připojení R2 znamená zvětšení proudu I1 stejně jako napětí U1 a výkonu dodávaného zdrojem. Napětí U3 = U4 musí klesnout. Před připojením I1 = 45/150 = 0.3 A a I3 = I4 = I1/2 = 0.15 A; P = VI1= 13.5 W; I2= 0; V2= 0. Po připojení I1a = 45/133.3 = 0.3375 A; I2a= I3a= I4a= I1a/3; P = VI1a= 15.2 W atd. 14. 7. 2003

Example II-1 (26-29) Nejsnažší řešení je nahradit např. levý trojůhelník hvězdou s odpory 9.09, 3.6, 4.5 . Potom přičteme odpory z pravého trojůhelníka a najdeme celkový odpor sítě Rt = 12.12  a celkový proud. Potom postupujeme nazpátek. Najdeme postupně napětí ve všech bodech a vypočítáme proudy. 14. 7. 2003

Obecná topologie obvodů Obvody se skládají z : Větví – vodiče se zdroji a rezistory Uzlů – body, kde jsou propojeny alespoň tři větve. Smyček – všechny možné uzavřené cesty rozličnými větvemi a uzly, které se neprotínají. 14. 7. 2003

Řešení obvodů Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich. Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik. Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy. 14. 7. 2003

Kirchhoffovy zákony I Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole. V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být jednoduše zobecněny pro určité typy polí časově proměnných. 14. 7. 2003

Kirchhoffovy zákony II První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících. Je to speciální případ zákona zachování náboje. Obecně je vyjádřen rovnicí kontituity náboje. Ta popisuje navíc směrové záležitosti a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu. 14. 7. 2003

Kirchhoffovy zákony III Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule. Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu(, které je obecně konzervativní) a zachování potenciální energie ve smyčce . 14. 7. 2003

Použití Kirchhoffových zákonů I Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví : Nejprve si označíme všechny proudy a každému přiřadíme určitý směr. Pokud se zmýlíme, vyjde nám proud na závěr záporný. Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom dostali lineárně závislou rovnici. Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky. 14. 7. 2003

Příklad III-1 Obvod má 3 větve, 2 uzly a 3 smyčky, z nichž 2 jsou nezávislé. Protože zdroje jsou ve dvou větvích, nemůžeme problém jednoduše převést na serio-paralelní zapojení rezistorů. 14. 7. 2003

Příklad III-2 Nazveme prudy a přiřadíme jim směr. Nechme všechny opouštět uzel a, takže alespoň jeden musí vyjít záporný. Označme polarity na rezistorech podle předpokládaných směrů proudů. Sestavme rovnici pro první uzel a : I1 + I2 + I3 = 0. 14. 7. 2003

Příklad III-3 Rovnice pro uzel b by vyšla stejná, takže další rovnice musíme najít ze smyček. Vyjdeme např. z bodu a větví 1 a vrátíme se větví 3 : -U1 + R1I1 – R3I3 = 0 Potom podobně z a větví 2 a nazpět 3: U2 + R2I2 – R3I3 = 0 14. 7. 2003

Příklad III-4 Při cestě kolem smyčky musíme zachovat určitý systém, například psát všechny výrazy na jednu stranu rovnice se znaménkem podle polarity napětí, ke kterému u příslušného prvku přijdeme nejprve. Řešíme : z první rovnice vyjádříme : -I3 = I1 + I2 a dosadíme do dalších dvou : U1 = (R1 + R3)I1 + R3I2 -U2 = R3I1 + (R2 + R3)I2 14. 7. 2003

Příklad I-5 Numericky máme : 25I1 + 20I2 = 10 20I1 + 30I2 = -6 Můžeme postupovat několika způsoby a dostaneme : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A Vidíme, že proudy I2 a I3 mají opačný směr, než jsme původně předpokládli. 14. 7. 2003

Použití Kirchhoffových zákonů II Pro praktické řešení obvodů nejsou Kirchhoffovy zákony příliš užitečné, protože je nutné sestavit a vyřešit stejný počet rovnic, jako je počet větví. Lze ale ukázat, že k úplněmu řešení obvodu postačí stejný počet rovnic, jako je nezávislých smyček, což je obecně méně. 14. 7. 2003

Příklad IV-1 I v našem předchozím, jednoduchém příkladu jsme museli řešit systém tří rovnic, který je praktickou hranicí, kterou lze vyřešit relativně jednoduše ručně. Ukážeme, že pro nepatrně komplikovanější obvod by již počet rovnic byl příliš velký na ruční řešení. 14. 7. 2003

Příklad IV-2 Nyní máme 6 větví, 4 uzly a mnoho smyček, z nichž jsou 3 nezávislé. Kirchhoffovy zákony nám poskytnou 3 nezávislé rovnice pro uzly a 3 pro smyčky. Máme tedy systém 6 rovnic o 6 neznámých. Řešení je principiálně možné, ale velmi obtížné. 14. 7. 2003

Princip superpozice I Princip superpozice lze použít tak, že všechny zdoje pracují nezávisle. Pokaždé můžeme zkratovat všechny zdroje až na j-tý a najít proudy Iij v každé větvi. Opakujeme to pro všechny zdroje a nakonec pro proud určitou větví platí : Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + … 14. 7. 2003

Princip superpozice II Jednoduchá ilustrace: Máme zdroj 12 V, jeho kladná elektroda je spojena s kladnou elektrodou druhého zdroje 6 V. Záporné elektrody obou zdrojů jsou spojeny přes odpor 3  . První zdroj generuje proud I1 = +4 A Druhý zdroj generuje proud I2 = –2 A Oba zdroje působí současně , tedy celkový proud je: I = I1 + I2 = +2 A 14. 7. 2003

Příklad III-6 Vraťme se k našemu prvnímu příkladu. Ponechme první zdroj a zkatujme druhý. Získáme jednoduché serio-paralelní zapojení rezistorů, v němž snadno nalezneme proudy : I11= 6/7 A; I21= -4/7 A; I31= -2/7 A 14. 7. 2003

Příklad III-7 Opakujeme totéž s druhým zdrojem : I12= 12/35 A; I22= -3/7 A; I32= 3/35 A Celkově dostaneme : I1= 1.2 A; I2= -1 A; I32= -0.2 A Výsledek je stejný jako předchozí. Princip superpozice je užitečný, když chceme například zjistit, co se stane když zdvojnásobíme napětí prvního zdroje. 14. 7. 2003

Metoda obvodových proudů Existuje několik pokročilejších metod, které používají pouze nezbytný počet rovnic, potřebných k vyřešení daného obvodu. Nejelegantnější a nejjednodušší na použití i pamatování je metoda obvodových proudů. Je založena na myšlence, že obvodem tečou proudy v nezávislých smyčkách a proud v každé větvi je jejich superpozicí. 14. 7. 2003

Příklad III-8 V našem příkladě existují dva nezávislé obvodové proudy, např. I ve smyčce a(1)(3) a I ve smyčce a(2)(3). Proudy ve větvích mohou být považovány za jejich superpozici : I1= I I2= I I3= -I  - I 14. 7. 2003

Příklad III-9 Napíšeme rovnice pro smyčky : (R1 + R3)I + R3I = U1 R3I + (R2 + R3) I = -U2 Po dosazení numerických hodnot máme : I = 1.2 A a I = -1A, které dají opět stejné proudy proudy v obvodech : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A 14. 7. 2003

Příklad III-10 Výsledek je stejný, ale řešili jsme soustavu pouze dvou rovnic o dvou neznámých. Vyhnuli jsem se substituci proudu I3. Výhoda je ještě lépe vidět na druhém příkladu. 14. 7. 2003

Homework The homework from assigned on Wednesday is due Monday! 14. 7. 2003

Things to read Repeat the chapters 21 – 26 except 25-7 and 26-4 ! 14. 7. 2003