Získávání informací Získání informací o reálném systému Statistické metody v simulaci Získávání informací Získání informací o reálném systému Model a výpočet vs. experiment Analytické a numerické metody Simulace vs. Monte Carlo David Hartman 2004 1/30

Metoda Monte Carlo Řešení využívající náhodná čísla Statistické metody v simulaci Metoda Monte Carlo Řešení využívající náhodná čísla Numerická metoda řešení deterministických úloh Konstrukce pravděpod. procesu, kde charakteristiky = hledané hodnoty David Hartman 2004 2/30

Příklad deterministické Statistické metody v simulaci Příklad deterministické úlohy Řešení určitých integrálů ∫f(x)dx analyticky numericky - obdelník. m. - Monte Carlo David Hartman 2004 3/30

Použití MC při integraci Statistické metody v simulaci Použití MC při integraci Převod D(f) i H(f) na <0,1> Generování (x,y) z <0,1> x <0,1> y ≤ f(x,y) => inc(n) (m-krát) Hodnota integrálu = p(x) ≈ n / m David Hartman 2004 4/30

Graf MC integrace m = n = 0 x =R(0,1),y = R(0,1) if (y ≤ f(x)) inc(n) Statistické metody v simulaci Graf MC integrace m = n = 0 x =R(0,1),y = R(0,1) if (y ≤ f(x)) inc(n) inc(m), goto 2. I = p ≈ n/m David Hartman 2004 5/30

Oprávněnost použití relativní četnosti 1 Experiment s řadou hypotéz Ai Statistické metody v simulaci Oprávněnost použití relativní četnosti 1 Experiment s řadou hypotéz Ai Výsledky experimentu Počet realizací konkrétního výsledku μ ~ Bi(n, p) (četnost) David Hartman 2004 6/30

Oprávněnost použití relativní četnosti 2 Statistické metody v simulaci Oprávněnost použití relativní četnosti 2 Realizace konkrétního výsledku Bayesův vztah David Hartman 2004 7/30

Oprávněnost použití relativní četnosti 3 Statistické metody v simulaci Oprávněnost použití relativní četnosti 3 Při použití Bayesova postulátu Dosazením hodnota hustoty David Hartman 2004 8/30

Oprávněnost použití relativní četnosti 4 Z hustoty maximum Statistické metody v simulaci Oprávněnost použití relativní četnosti 4 Z hustoty maximum David Hartman 2004 9/30

Regulace přesnosti výsledků opakováním 1 Statistické metody v simulaci Regulace přesnosti výsledků opakováním 1 Počet výskytů jevu μ ~ Bi(n, p) E(μ) = np, D(μ) = np(1 – p) Relativní četnosti výskytu = μ / n E(μ /n) = p, D(μ /n) = p(1 – p) / n David Hartman 2004 10/30

Regulace přesnosti výsledků opakováním 2 Čebyševova nerovnost Statistické metody v simulaci Regulace přesnosti výsledků opakováním 2 Čebyševova nerovnost Bernoulliho nerovnost David Hartman 2004 11/30

Regulace přesnosti výsledků opakováním 3 Jelikož p(1 – p) ≤ 1/4 Statistické metody v simulaci Regulace přesnosti výsledků opakováním 3 Jelikož p(1 – p) ≤ 1/4 Bernoulliho limitní věta David Hartman 2004 12/30

Regulace přesnosti výsledků opakováním 3 Statistické metody v simulaci Regulace přesnosti výsledků opakováním 3 Vztah pro regulaci počtu pokusů Regulace provádíme volbou spolehlivosti α a výpočtem nutných n David Hartman 2004 13/30

Řešení úlohy ve formě střední hodnoty Statistické metody v simulaci Řešení úlohy ve formě střední hodnoty Náhodná veličina Y s hustotou h(y) Náhodná veličina G = g(Y) Generujeme yi a spočteme gi a E(G) David Hartman 2004 14/30

Integrace metodou E(x) Statistické metody v simulaci Integrace metodou E(x) Převod na Y rovnoměrně na (0,1) : h(s)=1 David Hartman 2004 15/30

MC integrace přes E(x) m = sum = 0 r = R(0,1) sum += f(r) Statistické metody v simulaci MC integrace přes E(x) m = sum = 0 r = R(0,1) sum += f(r) inc(m), goto 2. I = ≈ 1/m * sum David Hartman 2004 16/30

Srovnání MC metod 1 Odhad pravděpodobnosti Odhad střední hodnoty Statistické metody v simulaci Srovnání MC metod 1 Odhad pravděpodobnosti Odhad střední hodnoty David Hartman 2004 17/30

Srovnání MC metod 2 Rozdíl rozptylů Statistické metody v simulaci David Hartman 2004 18/30

Redukce rozptylu (VR) Zmenšování rozptylu odhadů Statistické metody v simulaci Redukce rozptylu (VR) Zmenšování rozptylu odhadů Kombinace s analytickým výpočtem Znalost náhodných čísel Naivní simulace David Hartman 2004 19/30

Metody VR Metoda antitetických veličin Metoda stratifikovaných výběrů Statistické metody v simulaci Metody VR Metoda antitetických veličin Metoda stratifikovaných výběrů Metoda řídících veličin David Hartman 2004 20/30

Metoda antitetických veličin 1 Statistické metody v simulaci Metoda antitetických veličin 1 Záporně korelovaný odhad Pro rozptyl platí David Hartman 2004 21/30

Metoda antitetických veličin 2 Statistické metody v simulaci Metoda antitetických veličin 2 Podmínka výhodnosti Výpočet integrálu na intervalu (0,1) David Hartman 2004 22/30

Metoda stratifikovaných Statistické metody v simulaci Metoda stratifikovaných výběrů 1 Rozdělit výběrový prostor Ω do strat Na dílčí oblasti metodu E(X) Vážený součet přes délky intervalů David Hartman 2004 23/30

Metoda stratifikovaných Statistické metody v simulaci Metoda stratifikovaných výběrů 2 Hodnota rozptylu Volba s největšími rozdíly v E(X) Volba kolem problémových míst David Hartman 2004 24/30

Metoda řídících veličin 1 Statistické metody v simulaci Metoda řídících veličin 1 Kromě odhadované Y také známou C Odhad E(Y) statistikou Přičemž jde o nestranný odhad, tj. David Hartman 2004 25/30

Metoda řídících veličin 2 Statistické metody v simulaci Metoda řídících veličin 2 Minimum rozptylu pro Pak David Hartman 2004 26/30

Metoda řídících veličin 3 Statistické metody v simulaci Metoda řídících veličin 3 Korelační koeficient co nejblíže 1 Volba b generováním dvojic (Yi,Ci) David Hartman 2004 27/30

Metodou řídících veličin Statistické metody v simulaci Stanovení integrálu Metodou řídících veličin Hledanou f(x) a známou g(x): Hledaný integrál je Rozptyl David Hartman 2004 28/30

Výhledy Problém chyby modelu ve srovnání s chybou odhadu Statistické metody v simulaci Výhledy Problém chyby modelu ve srovnání s chybou odhadu Provedení specifikace chyb Zhodnotit přínos redukce chyby v relaci se spotřebovaným časem David Hartman 2004 29/30

Statistické metody v simulaci :-) Bye David Hartman 2004 30/30