EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce) Anotace Zopakování pojmu složené funkce, věta o derivování složené funkce, procvičení derivování složené funkce na příkladech. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe princip skládání funkcí a složenou funkci, dovede rozlišit (určit) vnitřní a vnější funkci, umí derivovat složené funkce. Klíčová slova Složená funkce, vnitřní funkce, vnější funkce, derivace složené funkce. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 11. 1. 2013

PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g. Skládání funkcí není komutativní.

PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce. Máme danou funkci chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x  R. Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: Pokud zvolíme x = 2 dostaneme: Podrobněji: Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ] dostaneme: Danou (složenou) funkci jsme rozložili na dvě elementární funkce:

Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější: PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce. Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější: y = f(g(x)) a = g(x) y = f(a) y = (5x – 7) 2 y = sin(6x +5) y = cos(–3x + 8) y = sin2x y = tg3x y = cotg5x y = 27x–3 y = ln(9x+5) y = ln cosx y = ln 2x

PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky. a = 3 x – 2 y = f(g(x)) a = g(x) y = f(a) a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 y = a2 y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 y = sin a y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 y = cos a y = sin2x a = sin x y = tg3x a = tg x y = a3 y = cotg5x a = cotg x y = a5 y = 27x–3 a = 7 x – 3 y = 2a y = ln(9x+5) a = 9 x + 5 y = ln a y = ln cosx a = cos x y = ln 2x a = 2x

PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 y = a2 y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 y = a117 y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 y = sin a y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 y = cos a y = sin2x a = sin x y = cos3x a = cos x y = a3 y = tg4x a = tg x y = a4 y = cotg5x a = cotg x y = a5

PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? a = 3 x – 2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y = sin2x a = sin x a' = cos x y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4

Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ? a = 3 x – 2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y = sin2x a = sin x a' = cos x y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4

Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ? a = 3x–2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y ' = – 5/(3x-2)2 y = (5x – 7) 2 a = 5x–7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11)117 a = 4x+11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y ' = 117 (4x+11)116 y = sin(6x + 5) a = 6x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8) a = –3x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(–3x+8) y = sin2x a = sin x a' = cos x y ' = 2 sinx y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y ' = 3 cos2x y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y ' = 4 tg3x y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4 y ' = 5 cotg4x

PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu). y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ? a = 3x–2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y ' = – 5/(3x-2)2

PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0  f(g(x)) = (5x – 7)2 Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např. 3 457 už nelze tento výpočet prakticky používat). Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). Zjednodušeně  Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace).

derivace vnitřní funkce derivace vnější funkce PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti). Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky. y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? derivace vnitřní funkce y = f(a) y ' = ? y' (x) = ? derivace vnější funkce y = (5x – 7) 2 a = 5x–7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11)117 a = 4x+11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y ' = 117 (4x+11)116 y = sin(6x + 5) a = 6x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8) a = –3x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(–3x+8) y = sin2x a = sin x a' = cos x y ' = 2 sinx y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y ' = 3 cos2x y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y ' = 4 tg3x y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4 y ' = 5 cotg4x

[ f(g(x0)) ]/ = f/(g(x0)) • g/(x0). VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCE Jestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v bodě a0 = g(x0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí [ f(g(x0)) ]/ = f/(g(x0)) • g/(x0). DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace) Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“). PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x5+3x2+7)9.

 AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN 80-7196-099-3. p1) p2) p3) p5) p6) p4) p8) p9) p7) p11) p12) p10)

 KONTROLA AUTOTESTU p1) p2) p3) p4) p5) p6) p8) p7) p9) p10) p11) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.