LOGISTICKÉ SYSTÉMY 7/14

Osnova přednášky Logistické optimalizační modely – Optimalizace dopravních sítí Dopravní obsluha úseků sítě

Dopravní obsluha úseků sítě Každý vrchol je třeba navštívit právě jednou (TSP) Každý úsek sítě je třeba navštívit alespoň jednou úsek sítě – hrana (Úloha o Čínském pošťákovi – hrana=ulice) Při podmínce průchodu hranou právě jednou = Eulerův tah Při podmínce průchodu hranou alespoň jednou = Eulerův sled

Dopravní obsluha úseků sítě Neorientovaný Eulerův tah – nutná a postačující podmínka: Všechny uzly sudého stupně nebo Právě 2 uzly lichého stupně Ad a) – uzavřený tah Ad b) – otevřený tah

Dopravní obsluha úseků sítě Orientovaný Eulerův tah – nutná a postačující podmínka: Všechny uzly stejný vstupní a výstupní stupeň nebo Právě 2 uzly U a V pro něž platí Ad a) – uzavřený tah Ad b) – otevřený tah Hledání ET – Fleuryho algoritmy a jejich modifikace

Dopravní obsluha úseků sítě Hledání uzavřeného ET v neorient. grafu Sestavíme libovolný uzavřený tah Při kontrole procházíme podél tahu a v každém uzlu U testujeme, zda v množině hran incidentních s tímto uzlem, existuje hrana h, která dosud v tahu neleží. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu existuje (tj. v tahu dosud neleží), tak v uzlu u tah rozpojíme a začneme jej prodlužovat, počínaje hranou h; toto prodlužování skončí v uzlu u. Po propojení nového a starého tahu pokračujeme v kontrole podle kroku [1] počínaje uzlem u a postupujeme podél nové části tahu. Tím je zajištěno, že jak při prodlužování, tak při kontrole postupujeme podél každé hrany právě jednou; postup je proto velmi rychlý. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu již neexistuje, tak naposledy (propojením) získaný tah je eulerovský.

Dopravní obsluha úseků sítě Hledání uzavřeného ET - příklad

Dopravní obsluha úseků sítě Hledání uzavřeného ET - příklad 1-10-11 1-2-6-8-10-11 1-2-3-5-8-10-11 1-2-3-4-5-8-10-11 1-2-3-4-5-9-7-6-8-10-11 Délka trasy: 62

Dopravní obsluha úseků sítě Hledání uzavřeného ET - příklad Uzavřený ET existuje právě jeden (konstantní počet hran) Nezáleží na ohodnocení Libovolný takový tah je optimálním řešením Vybraná posloupnost hran tvoří plán obsluhy úseku dopravní sítě Eulerův graf (síť)– existuje-li uzavřený ET Pokud dva vrcholy lichého stupně…doplnění fiktivní hanou … stejný postup, počátek tahu v jednom z těchto vrcholů

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled Počet vrcholů lichého stupně je vždy sudý 1) 2) Pro každou dvojici různých uzlů (u,v) z množiny V’ vytvoříme doplňkový úsek h’=(u,v) o délce d(h’) rovné vzdálenosti těchto uzlů v S, tyto úseky tvoří množinu H’ 3) Obdržíme S=(V’,H’) jakožto úplný graf 4) Hledáme n’ párů úseků tak, aby součet ohodnocení byl minimální (počet vrcholů je 2n’) 5) Řešíme pomocnou úlohu „Nejlevnějšího maximálního párování“

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled Pomocná úloha: Nejlevnější maximální párování PÁROVÁNÍ V grafu S = (V,H) je takový jeho podgraf P, ve kterém má každý uzel stupeň nejvýše 1, tzn. že je spojen nejvýše jednou hranou s jiným uzlem. Párování je tedy taková podmnožina hran původního grafu (tedy podgraf), ve které žádné dvě hrany nemají společný uzel. O uzlu v říkáme, že je NASYCEN V PÁROVÁNÍ, existuje-li v párování hrana, která je s tímto uzlem incidentní. PERFEKTNÍ PÁROVÁNÍ je takové párování, které nasycuje všechny uzly původního grafu. MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ obsahuje největší možný počet hran původního grafu. NEJLEVNĚJŠÍ MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ je takové maximální párování, ve kterém je součet ohodnocení hran minimální

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled Pomocná úloha: Nejlevnější maximální párování D={dij}…matice vzdáleností uzlů V’ Řešíme úlohu bivalentního programování:

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled Pomocná úloha: Nejlevnější maximální párování Přičemž: 6) Po určení úseků projetých 2x postupujeme dle algoritmu pro ET 7) Délka všech úseků nalezených pomocí nejlevnějšího maximálního párování tvoří vzdálenost ujetou navíc.

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled - příklad Společnost rozvážející mražené potraviny disponuje několika vozidly. Schéma uliční sítě většího města v okruhu rozvozu jednoho z nich je zobrazena na následujícím obrázku. Navrhněte optimální rozvoz do jednotlivých ulic s cílem minimalizace počtu najetých km (čísla u hran grafu). Vrcholy grafu reprezentují křížení ulic (pro snazší orientaci očíslováno červeně v závorce). 2 7 5 4 8 11 9 (2) (3) (4) (5) (6) 3 6 (1) (7)

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled – příklad Uzly lichého stupně: V2, V3, V5, V6 Matematický model pro nalezení nejlevnějšího maximálního párování na listu Excelu

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled – příklad Optimální řešení nalezeného SW Linkosa

Dopravní obsluha úseků sítě Eulerův sled – příklad Optimální řešení – nejkratší trasa:1-2-3-4-5-3-2-6-5-7-6-5-2-7-1 – minimální délka:součet ohodnocení + 9 = 70