3 Elektromagnetické pole 3.1 Zákony elektromagnetického pole ve vakuu 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.3 Magnetické pole v magnetikách 3.4 Zobecněný Ampérův zákon 3.5 Indukované elektrické a magnetické pole 3.6 Maxwellovy rovnice 3.7 Elektromagnetické vlnění Fyzika II, 2014-15, přednáška 3

rotace, translace 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.2.1 Popis pole dielektrikum (bez volných náb.) polarizace hustota polarizačního (vázaného) náboje sP rel. permitivita er vektor polarizace sP 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝑃= 𝜀 0 𝜀 𝑟 −1 𝐸 𝑃 = 𝜀 0 𝜒 𝑒 𝐸 𝑃 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑉 …tabule ce el. susceptibilita

𝐷 𝑆 𝐷 ∙𝑑 𝑆 =𝑄 𝐷 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝑃 = 𝑃 𝜀 0 𝐸 = 𝐸 0 + 𝐸 𝑃 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.2.2 Gaussova věta v dielektrikách (elektrická indukce 𝐷 ) 𝐷 indukce elektrického pole Gaussova věta pro el. pole v dielektriku 𝑆 𝐷 ∙𝑑 𝑆 =𝑄 Tok vektoru indukce uzavřenou plochou je ro-ven volnému náboji uzavřenému uvnitř plochy 𝐷 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 pro různé e různé E, stejné D 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝑃 = 𝑃 𝜀 0 𝐸 = 𝐸 0 + 𝐸 𝑃 𝐷 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸

𝑚 =− 𝑒 2 𝑚 𝑒 𝐿 𝑒 2 𝑚 𝑒 𝑚 𝑠𝑝𝑖𝑛 =− 𝑒 𝑚 𝑒 𝑆 𝑒 𝑚 𝑒 3.3 Magnetické pole v magnetikách magnetikum 3.3.1 Magnetismus elektronu v atomu orbitální magnetický moment spinový magnetický moment elektronu 𝑚 =− 𝑒 2 𝑚 𝑒 𝐿 moment hybnosti 𝑒 2 𝑚 𝑒 …gyromagnetický poměr orbitální spin S ≡ vnitřní moment hybnosti 𝑚 𝑠𝑝𝑖𝑛 =− 𝑒 𝑚 𝑒 𝑆 𝑒 𝑚 𝑒 …gyromagnetický poměr spinový

3.3 Magnetické pole v magnetikách Magnetický moment atomu D. cv. Proč ytterbium Yb3+ má tak velký mag. moment? Fyzika II, 2014-15, přednáška 3

3.3 Magnetické pole v magnetikách 3.3.2 Magnetika (slabá) magnetizace Analogie: el. pole mag. pole dielektrikum rel. permeabilita mr : 𝐵= 𝜇 𝑟 𝐵 0 𝑀 = 𝑑 𝑚 𝑑𝑉 ≡magnetický moment jedn. objemu 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝑃 = 𝑃 𝜀 0 𝐸 = 𝐸 0 + 𝐸 𝑃 𝐷 =𝜀 𝐸 elektrická indukce 𝐻 = 𝐵 𝜇 intenzita magnetického pole 𝐵 = 𝐵 0 + 𝐵 𝑚 𝐵 = 𝜇 𝑟 𝐵 0 𝐵 𝑚 = 𝜇 0 𝑀

𝐷 =𝜀 𝐸 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐽 =𝜎 𝐸 𝐻 = 1 𝜇 𝐵 = 1 𝜇 0 𝜇 𝑟 𝐵 𝐹 =𝑄 𝐸 + 𝑣 × 𝐵 3.6 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 =𝜇 𝑖 𝑅 +𝜀 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 zdroj el. pole je náboj mag. pole není vyvoláno mag. monopólem (nezřídlové) zdroj mag. pole je proud a čas. změna el. pole indukované el. pole (nekonzervativní) vyvolané proměnným mag. polem 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 hlavní Maxwellovy rovnice 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 vedlejší Maxwellovy rovnice 𝐷 =𝜀 𝐸 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐽 =𝜎 𝐸 𝜎 je měrná vodivost 𝐻 = 1 𝜇 𝐵 = 1 𝜇 0 𝜇 𝑟 𝐵 𝐹 =𝑄 𝐸 + 𝑣 × 𝐵

𝐷 =𝜀 𝐸 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐽 =𝜎 𝐸 𝐻 = 1 𝜇 𝐵 = 1 𝜇 0 𝜇 𝑟 𝐵 𝐹 =𝑄 𝐸 × 𝑣 × 𝐵 3.6 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 = 𝜇 0 𝑖 𝑅 + 𝜀 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 hlavní Maxwellovy rovnice 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 0 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 vedlejší Maxwellovy rovnice 𝐷 =𝜀 𝐸 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐽 =𝜎 𝐸 𝐻 = 1 𝜇 𝐵 = 1 𝜇 0 𝜇 𝑟 𝐵 𝐹 =𝑄 𝐸 × 𝑣 × 𝐵

integrálně diferenciální rovnice: shrnují zákonitosti elmag. pole 3.6 Maxwellovy rovnice Maxwell. rov. ve vakuu 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 = 𝜇 0 𝑖 𝑅 + 𝜀 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 (1) 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 (2) 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 0 (3) 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 (4) integrálně diferenciální rovnice: shrnují zákonitosti elmag. pole souvislost el. a mag.pole existence elmag. vlnění Fyzika II, 2014-15, přednáška 3

existence elektromagnetického vlnění Zjednodušení: 3.6 Maxwellovy rovnice Maxwell. rov. ve vakuu Cíl: Z Maxwell. rov. ve vakuu → existence elektromagnetického vlnění Zjednodušení: prostředí bez makroskopických nábojů a proudů Prostředek: převedení Maxwell rov. z integrálního do diferenciálního tvaru Pozn: Vakuum → prostředí: e0 → e = e0er m0 → m = m0mr 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 = 𝜇 0 𝑖 𝑅 + 𝜀 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 (1) 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 (2) 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 0 (3) 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 (4) integrálně diferenciální rovnice: shrnují zákonitosti elmag. pole souvislost el. a mag.pole existence elmag. vlnění

Vektorové diferenciální operátory Operátor je předpis, který funkci z určitého oboru funkcí přiřazuje jinou funkci, je to „funkce na množině funkcí“ skalární pole u (x,y,z) gradient grad grad u je vektor, který definujeme ve skalárním poli u operátor, tzv. „nabla“, je předpis: totální diferenciál postupujeme po ekvipot. ploše, pak u se nemění → udává směr, ve kterém se v prostoru skalární veličina u nejvíce mění grad 𝑢= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑘 = 𝛻 𝑢 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝑑𝑢= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧=grad 𝑢∙𝑑 𝑟 𝑑𝑢=grad 𝑢∙𝑑 𝑟 =0 grad 𝑢⊥𝑑 𝑟 Fyzika II, 2014-15, přednáška 3

gradient grad Fyzika II, 2014-15, přednáška 3

Vektorové diferenciální operátory divergence div div: tok vekt. veličiny uzavř. plochou vztažený na jedn. objem div je skalár, který je definován na vektorovém poli 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 pojí se s tokem vektoru uzavřenou plochou tabule vekt. pole 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 div 𝑣 = lim Δ𝑉→0 1 Δ𝑉 Δ𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 div 𝑣 = 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 div 𝑣 = 𝛻 ∙ 𝑣 = 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 elementární tok elemen. uzavř. plochou dS : tok konečnou uzavřenou plochou S: div 𝑣 𝑑𝑉 𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 = 𝑉 div 𝑣 ∙𝑑𝑉 Gausssova věta

Vektorové diferenciální operátory rotace rot rot je vektor, který je definován na vektorovém poli 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 pojí se s cirkulací vektoru po uzavřené křivce tabule vekt. pole 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 rot 𝑣 ∙ 𝑛 0 = lim Δ𝑆→0 1 Δ𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 Pro zvolený směr plochy ohraničené křivkou: v limitě DS→0: 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 = 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑦 ΔxΔy rot 𝑣 𝑧 = 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑦 všechny složky: rot 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 = 𝛻 × 𝑣

Vektorové diferenciální operátory rotace rot elementární cirkulace podél elementární uzavřené křivky: Výsledná cirkulace podél křivky konečné velikosti – „součet“ el. cirkulací: Některé vztahy pro diferenciální operátory: rot 𝑣 ∙ 𝑛 0 = lim Δ𝑆→0 1 Δ𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 rot 𝑣 ∙𝑑 𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 = 𝑆 rot 𝑣 ∙𝑑 𝑆 Stokesova věta 𝛻 ∙ 𝛻 𝑢= 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 =△𝑢 D … Laplaceův operátor na skalární pole △ 𝑣 = 𝑖 △ 𝑣 𝑥 + 𝑗 △ 𝑣 𝑦 + 𝑘 △ 𝑣 𝑧 aplikace Laplaceova operátoru na vekt. pole – trojnásobná aplikace na všechny tři složky rot rot 𝑣 =grad div 𝑣 −Δ 𝑣

3.7 Elektromagnetické vlnění kvalitativně