Použití derivací. a f(a) T t 1) Tečna ke grafu funkce Mějme funkci f(x), bod a z definičního oboru a bod T(a, f(a)) na grafu funkce. Protože (viz definice) derivace f´(a) je směrnice tečny v bodě T, je směrnicová rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě T tato: Po úpravě Př.: Derivace obecně je a v bodě a Rovnice tečny v bodě T je potom po úpravě

Napišme rovnici tečny ke grafu dané funkce v daném tečném bodě. Jeho ypsilonová souřadnice není zadána, snadno se vypočítá, je to f(a). a) b) c) d)

Věta o střední hodnotě Je to věta, která popisuje chování spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, které tam mají vlastní derivaci. V.: Mějme funkci f(x), která je spojitá na intervalu <a,b> a která má vlastní derivaci v (a,b). Potom lze najít alespoň jedno tak, že platí Věta říká, že v bodě (c, f( c)) je tečna ke grafu rovnoběžná s přímkou, která spojuje body (a, f(a)) a (b, f(b)). Věta se používá v mnoha teoretických odvozeních, my ji použijeme také k jistému odvození v následujících dvou odstavcích. f(b) f(c) f(a) a c b

L’Hospitalovo pravidlo Je pravidlo na počítání limit pomocí derivací. počítáme limitu podílu Používá se na tyto případy: je to neurčitý výraz V.: 1) Je-li nebo 2) Je-li a přitom existuje , pak je

Ukážeme pomocí věty o střední hodnotě, že to platí. Ta říká neboli Vezměme si třeba případ 1) Je-li Protože limita nezávisí na hodnotě v bodě a, můžeme položit f(a)=g(a)=0. Pak jsou obě funkce spojité v bodě 0 a můžeme použít větu (b=x). a je jasné že c d a x čili můžeme psát

Je třeba si zapamatovat, že ačkoliv je to podíl, nederivujeme jako podíl, ale děláme podíl derivací! Příklady: 1 Když zlomek nesplňuje podmínky věty, nelze pravidlo použít, 1 vyjde nesmysl!! ale použitím pravidla 2

Neurčité výrazy typu se musí nějak upravit na podíl, abychom mohli pravidlo použít:

Monotonní funkce Již víme – jsou to funkce rostoucí, neklesající, nerostoucí a klesající. Tyto vlastnosti se poznají velice snadno pomocí derivací: V.: Má-li funkce f(x) na intervalu I derivaci, potom Ukažme si, opět pomocí věty o střední hodnotě, proč to tak je, proberme třeba případ a).

Vzpomeňme, co říká věta o střední hodnotě: neboli Funkce je rostoucí na intervalu I, jestliže pro všechny dvojice x<y z intervalu I platí f(x)<f(y), neboli 0<f(y)- f(x) . Vezměme tedy dva libovolné body x<y z I, tedy y-x>0. Použijme na ně větu o střední hodnotě …. b=y, a=x: >0 >0 podle bodu a) Tedy i f(y)-f(x)>0, neboli f(x)<f(y).

Příklady. 1. Kde je rostoucí funkce D(f)=R. Vypočtěme f´(x) a rozhodněme, kdy je kladná: Funkce je tedy rostoucí v intervalu (1, ). Na zbytku D(f) je tedy nerostoucí, tj. klesající. 2. Kde je klesající funkce D(f)=R. Vypočtěme f´(x) a rozhodněme, kdy je tentokrát záporná: Funkce je tedy klesající v intervalu (- , -1). Na zbytku D(f) je proto neklesající, tj. rostoucí.

Je jasné z obrázku, že funkce rostoucí a klesající ne množině M jsou prosté. Je-li tedy na množině M buď f´(x)>0 nebo f´(x)<0, je funkce f(x) na množině M prostá. Máme tedy tři možnosti, jak zjistit, že nějaká funkce je prostá: z obrázku – týká se hlavně elementárních funkcí derivace je buď kladná nebo záporná složená z prostých je prostá

Př.: Je funkce prostá pro Obrázek funkce neznáme a není to ani funkce složená, je to součin dvou elementárních. Vypočtěme tedy derivaci: a vyšetřeme např., kdy je kladná, tedy kdy je funkce rostoucí: Nerovnost vyřešíme nejlépe graficky: Z obrázku je vidět, že 1 -1 Funkce je rostoucí v intervalu Interval je jeho podmnožina, čili i na něm je funkce rostoucí, tedy prostá.

Extrémy funkcí lokální globální Jsou skutečně největší a nejmenší hodnoty funkce na určité množině Jsou v bodech, v nichž je funkční hodnota větší nebo menší než hodnoty v jistém jejich okolí

Lokální extrémy D.: Nechť a je bod z D(f) funkce f(x). Funkce má v bodě a lokální maximum, jestliže můžeme najít nějaké okolí U bodu a tak, že pro všechna Je-li tato nerovnost ostrá, říká se mu ostré lokální maximum. 2) lokální minimum, jestliže můžeme najít nějaké okolí U bodu a tak, že pro všechna Je-li tato nerovnost ostrá, říká se mu ostré lokální minimum. f(a) ostré x y x y minimum maximum f(x) f(x) f(a) x U a x a U neostré

V1.: Funkce nabývá lokální extrémy buď v bodech, kde je f´(x)=0 nebo v bodech, kde f´(x) neexistuje (v hrotech). Jsou to jediné body, podezřelé z lokálního extrému. Jinde být extrém nemůže. x y tečna rovnoběžná s osou x

V2.: Nechť a je bod, podezřelý z lokálního extrému funkce f(x). Potom: Je-li funkce v některém levém okolí bodu a rostoucí a v některém pravém okolí bodu a klesající, má v bodě a ostré maximum. 2) Je-li funkce v některém levém okolí bodu a klesající a v některém pravém okolí bodu a rostoucí, má v bodě a ostré minimum. x y levé okolí pravé okolí a a a a

V3.: Má-li funkce v bodě a, podezřelém z lokálního extrému, první a druhou derivaci (tzn. f´(a)=0), potom: 1) je-li f´´(a)<0, je v bodě a ostré maximum. 2) je-li f´´(a)>0, je v bodě a ostré minimum. x y konvexní konkávní Podmínka f´(a)=0 sama nestačí k tomu, aby byl v bodě a lokální extrém! Třeba funkce f(x)= má v bodě 0 derivaci rovnou nule (f´(x)= ), ale extrém v bodě 0 není.

Příklady: 1. Najděme lokální extrémy funkce D(f´)=R, derivace existuje všude, D(f)=R. na jejím grafu nejsou hroty. Jediné možné body, kde mohou být extrémy, jsou ty, kde je f´=0. Tedy: Vyšetřeme nejprve bod x= z hlediska věty 2, tj. podívejme se, jak se funkce chová kolem tohoto bodu. -1 1 -1 Když si nakreslíme obrázek derivace, vidíme, že nalevo od bodu 1 je f´<0 ... funkce tam klesá, a napravo je f´>0….funkce roste. f(1)=-2. V bodě x=1 je tedy ostré lokální minimum, 2 b) Bod x=-1 vyšetřeme podle věty 3. -1 1 v bodě x=-1 je ostré lokální maximum, f(-1)=2. -2

2. Najděme lokální extrémy funkce D(f)=R. D(f´)=R, derivace opět existuje všude, na jejím grafu nejsou hroty. Zase jsou jediné možné body, kde mohou být extrémy, jen ty, kde je f´=0: Protože existuje f´´a je celkem lehké ji vypočítat, použijme větu 3. V případě, že je f´´ složitá, je lepší použít větu 2. v bodě x=1 je ostré lokální maximum.

3. Najděme lokální extrémy funkce D(f´)=R-{2}, derivace existuje všude na D(f) a jak je vidět, nikdy se nerovná 0 (je pořád záporná, funkce klesá na každé části D(f)). Lokální extrémy tedy nemá žádné. 1 2

Globální extrémy Globální extrémy funkce na množině jsou největší a nejmenší hodnoty, které funkce na množině nabývá. Přesně řečeno: D.: Nechť . Funkce nabývá v bodě a globální maximum na množině M, jestliže pro všechny body množiny M platí: Funkce nabývá v bodě a globální minimum na množině M, jestliže pro všechny body množiny M platí: Číslo f(a) se nazývá potom maximální resp. minimální hodnotou funkce f(x) na množině M, označují se.

y max f f(x) x M min f Otázka je, kdy funkce takové hodnoty nabývá. V.: Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá vždy své maximální a minimální hodnoty.

Teď kde se tyto hodnoty mají hledat? V.: Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svých maximálních a minimálních hodnot buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu. Jinde je tedy nebudeme hledat….. Možné situace jsou: x M y x M y max f x M y max f max f f(x) f(x) f(x) min f min f min f Neexistují lokální extrémy,extrémy jsou jen na krajích extrémy jsou v bodech lokálních extrémů jeden extrém je na kraji, druhý v lokálním extrému

Příklady: na intervalu <-1, 2>. 1) Najděme globální extrémy funkce Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, globální extrémy existují. Proberme nejprve krajní body: f(2)=-3. f(-1)=0, Kdyby funkce neměla žádný lokální extrém, bylo by v bodě -1 maximum 0 a v bodě 2 minimum –3. Hledejme nyní lokální extrém: V bodě 0 je tedy lokální maximum, f(0)=1. je –3<0<1. Nyní je třeba porovnat tyto tři hodnoty: 1 Proto je Je-li -1 2 M pro všechny ostatní hodnoty platí -3

2) Najděme globální extrémy funkce na intervalu <0, 3>. Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, globální extrémy existují. Proberme nejprve krajní body: f(0)=0, f(3)=-3/2. Hledejme nyní lokální extrém: Proto je M 3

Konvexní a konkávní funkce První derivace podává informaci o tendencích funkce – o růstu a klesání. Druhá derivace podává informaci o tvaru (prohnutí)grafu funkce. D.: Spojitá funkce na intervalu I je konvexní, jestliže pro každou trojici bodů x<y<z leží bod Y=(y,f(y)) pod přímkou, která spojuje body X=(x, f(x)) a Z=(z, f(z)). Leží-li bod Y nad touto přímkou, je funkce konkávní. konvexní konkávní x y z x y z Y X Z Z X Y

V.: Má-li funkce na intervalu I druhou derivaci, potom: a) je-li pro všechny body z I f´´(x)>0, je funkce konvexní b) je-li pro všechny body z I f´´(x)<0, je funkce konkávní. x y z X Z Y konvexní konkávní

Příklady: a) Rozhodněme, kde je konvexní funkce Vypočtěme druhou derivaci: f´´(x)>0 pro x<0 funkce je konvexní pro záporná x. 1 b) Rozhodněme, kde je konkávní funkce Funkce je tedy na svém D(f) konkávní. -1

Inflexní bod Inflexní bod je tam, kde graf funkce mění svoji křivost přechází z konvexní do konkávní, nebo naopak. Druhá derivace tedy kolem tohoto bodu mění své znaménko, proto musí v něm být f´´(x)=0. D.: Spojitá funkce má v bodě (a, f(a)) inflexní bod, jesliže je na nějakém intervalu (a , b) konvexní a na nějakém intervalu (c, a) je konkávní, nebo naopak. Někdy říkáme,že v bodě a má funkce inflexi. V.: Má-li funkce na svém D(f) třetí derivaci, pak inflexe je v bodě a, ve kterém je f´´(a)=0 a přitom f´´(x) mění kolem bodu a znaménko, tedy f´´´(a) .

Příklad. Rozhodněme, zda má funkce na svém D(f) inflexi. Vypočteme druhou derivaci: Bod x=1 je tedy podezřelý z inflexe. Podíváme-li se na graf druhé derivace (je to přímka, která protíná osu x v bodě x=1), mění jasně kolem bodu x=1 znaménko. Nalevo od něj je kladná, napravo záporná. Funkce má v bodě x=1 proto inflexi. 6 Jen pro zajímavost: f´´´(x)=-6 a ta se nerovná nikdy nule, což potvrzuje předešlý závěr.

Asymptoty ke grafu funkce Asymptoty jsou přímky, k nimž se graf funkce v jistých bodech blíží. Asymptoty jsou svislé (vertikální) v konečných bodech a vodorovné (horizontální) a obecné šikmé v nekonečnech. D.: Má-li funkce v některém konečném bodě alespoň z jedné strany nekonečnou limitu, tedy platí-li v některém bodě a alespoň jeden ze vztahů má v tomto bodě svislou asymptotu. Př. Funkce má v bodě x=0 jasně svislou asymptotu.

D.: Má-li funkce v některém nekonečnu konečnou limitu, tedy platí-li v některém nekonečnu jeden ze vztahů má v tomto nekonečnu vodorovnou asymptotu. Př.: Funkce má v kladném nekonečnu asymptotu y=0 a v záporném zase

D.: Funkce má v některém nekonečnu obecnou asymptotu y=ax+b, jestliže v tom nekonečnu platí

V.: Má-li funkce v některém nekonečnu obecnou asymptotu y=ax+b, potom: jsou-li obě limity konečné. Př.: Najděme obecnou asymptotu funkce v kladném nekonečnu. l´Hospital pr.

Asymptota má tvar y=x.